Geomeetrias kasutatakse kujundite uurimiseks kahte olulist tunnust: külgede pikkused ja nendevahelised nurgad. Ruumikujude puhul lisatakse nendele tunnustele kahetahulised nurgad. Mõelgem, mis see on, ja kirjeldame ka nende nurkade määramise meetodit püramiidi näitel.
Dihedraalnurga mõiste
Kõik teavad, et kaks ristuvat sirget moodustavad nende lõikepunktis tipuga nurga. Seda nurka saab mõõta nurgamõõturiga või selle arvutamiseks kasutada trigonomeetrilisi funktsioone. Nurka, mille moodustavad kaks täisnurka, nimetatakse lineaarseks.
Kujutage nüüd ette, et kolmemõõtmelises ruumis on kaks tasapinda, mis lõikuvad sirgjoonega. Need on näidatud pildil.
Dihedraalnurk on nurk kahe ristuva tasandi vahel. Nii nagu lineaarne, mõõdetakse seda kraadides või radiaanides. Kui mis tahes punkti joonest, mida mööda tasapinnad ristuvad, taastage kaks risti,nendel tasapindadel, siis on nende vaheline nurk soovitud kahetahuliseks. Lihtsaim viis selle nurga määramiseks on kasutada tasandite üldvõrrandeid.
Tasapindade võrrand ja nendevahelise nurga valem
Ruumi iga tasapinna võrrand kirjutatakse üldiselt järgmiselt:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Siin x, y, z on tasapinnale kuuluvate punktide koordinaadid, koefitsiendid A, B, C, D on mõned teadaolevad arvud. Selle võrdsuse mugavus kahetahuliste nurkade arvutamisel seisneb selles, et see sisaldab selgesõnaliselt tasapinna suunavektori koordinaate. Tähistame seda n¯-ga. Siis:
n¯=(A; B; C).
Vektor n¯ on tasapinnaga risti. Nurk kahe tasandi vahel on võrdne nende suunavektorite n1¯ ja n2¯ vahelise nurgaga. Matemaatikast on teada, et kahe vektori moodustatud nurk määratakse üheselt nende skalaarkorrutisest. See võimaldab teil kirjutada valemi kahe tasandi vahelise kahetahulise nurga arvutamiseks:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Kui asendame vektorite koordinaadid, kirjutatakse valem selgesõnaliselt:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Mooduli märki lugejas kasutatakse ainult teravnurga määratlemiseks, kuna kahetahuline nurk on alati väiksem või võrdne 90o.
Püramiid ja selle nurgad
Püramiid on kujund, mis on moodustatud ühest n-nurgast ja n kolmnurgast. Siin on n täisarv, mis on võrdne püramiidi aluseks oleva hulknurga külgede arvuga. See ruumikujund on hulktahukas või hulktahukas, kuna see koosneb tasapinnalistest tahkudest (külgedest).
Püramiid-polüeedri kahetahulised nurgad võivad olla kahte tüüpi:
- aluse ja külje vahel (kolmnurk);
- kahe külje vahel.
Kui püramiidi pidada korrapäraseks, siis on selle jaoks lihtne määrata nimetatud nurgad. Selleks tuleks kolme teadaoleva punkti koordinaate kasutades koostada tasapindade võrrand ja seejärel kasutada ül altoodud lõigus toodud valemit nurga φ jaoks.
Allpool anname näite, milles näitame, kuidas leida nelinurkse korrapärase püramiidi põhjas kahetahulisi nurki.
Nelinurkne korrapärane püramiid ja nurk selle põhjas
Oletame, et antud on tavaline ruudukujulise põhjaga püramiid. Ruudu külje pikkus on a, kujundi kõrgus on h. Leidke nurk püramiidi aluse ja selle külje vahel.
Paigutame koordinaatsüsteemi alguspunkti ruudu keskele. Seejärel punktide koordinaadidPildil näidatud A, B, C, D on:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Vaatleme tasapindu ACB ja ADB. Ilmselgelt on ACB tasapinna suunavektor n1¯:
1¯=(0; 0; 1).
ADB tasandi suunavektori n2¯ määramiseks toimige järgmiselt: leidke kaks sinna kuuluvat suvalist vektorit, näiteks AD¯ ja AB¯, seejärel arvutage nende vektortöö. Selle tulemus annab koordinaadid n2¯. Meil on:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Kuna vektori arvuga korrutamine ja jagamine ei muuda selle suunda, siis teisendame saadud n2¯, jagades selle koordinaadid -a-ga, saame:
2¯=(h; 0; a/2).
Oleme defineerinud vektorjuhikud n1¯ ja n2¯ ACB baas- ja ADB külgtasandite jaoks. Jääb üle kasutada nurga φ valemit:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h¯| 2/4)).
Teisenda saadud avaldis ja kirjuta see ümber järgmiselt:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Saime tavalise nelinurkse püramiidi põhjas oleva kahetahulise nurga valemi. Teades joonise kõrgust ja selle külje pikkust, saate arvutada nurga φ. Näiteks Cheopsi püramiidi puhul, mille aluse külg on 230,4 meetrit ja algkõrgus 146,5 meetrit, on nurk φ 51,8o.
Gomeetrilise meetodi abil on võimalik määrata ka nelinurkse korrapärase püramiidi kahetahulist nurka. Selleks piisab, kui vaadelda täisnurkset kolmnurka, mille moodustab kõrgus h, pool aluse pikkusest a/2 ja võrdhaarse kolmnurga apoteem.
