Korrapärase nelinurkse püramiidi külgpinna pindala: valemid ja probleemide näited

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Tüüpilised geomeetrilised ülesanded tasapinnas ja kolmemõõtmelises ruumis on erinevate kujundite pindalade määramise ülesanded. Selles artiklis esitame tavalise nelinurkse püramiidi külgpinna pindala valemi.

Mis on püramiid?

Anname püramiidi range geomeetrilise määratluse. Oletame, et on mõni hulknurk, millel on n külge ja n nurka. Valime ruumis suvalise punkti, mis ei asu määratud n-nurga tasapinnal, ja ühendame selle hulknurga iga tipuga. Saame mingi ruumalaga kujundi, mida nimetatakse n-nurkseks püramiidiks. Näiteks näitame alloleval joonisel, kuidas näeb välja viisnurkne püramiid.

Iga püramiidi kaks olulist elementi on selle põhi (n-nurk) ja tipp. Need elemendid on omavahel ühendatud n kolmnurgaga, mis üldiselt ei ole üksteisega võrdsed. Perpendikulaarselt langenudül alt alla nimetatakse figuuri kõrguseks. Kui see lõikub alusega geomeetrilises keskpunktis (kattub hulknurga massikeskmega), siis nimetatakse sellist püramiidi sirgeks. Kui lisaks sellele tingimusele on aluseks korrapärane hulknurk, siis nimetatakse kogu püramiidi korrapäraseks. Alloleval joonisel on näha, kuidas näevad välja tavalised kolmnurkse, nelinurkse, viisnurkse ja kuusnurkse põhjaga püramiidid.

Püramiidi pind

Enne kui asume küsimuse juurde korrapärase nelinurkse püramiidi külgpinna pindala kohta, peaksime peatuma pinna enda mõistel.

Nagu ülalpool mainitud ja joonistel näidatud, koosneb iga püramiid tahkude või külgede komplektist. Üks külg on alus ja n külge kolmnurgad. Kogu joonise pind on selle iga külje pindalade summa.

Pinda on mugav uurida lahtivolditava figuuri näitel. Tavalise nelinurkse püramiidi skaneerimine on näidatud allolevatel joonistel.

Näeme, et selle pindala on võrdne nelja identse võrdhaarse kolmnurga pindala ja ruudu pindala summaga.

Kõigi joonise külgi moodustavate kolmnurkade kogupindala nimetatakse külgpinna pindalaks. Järgmisena näitame, kuidas seda tavalise nelinurkse püramiidi jaoks arvutada.

Nelinurkse korrapärase püramiidi külgpinna pindala

Lateraalse pindala arvutamiseksmääratud joonise pinnale, pöördume uuesti ül altoodud skannimise poole. Oletame, et teame ruudu aluse külge. Tähistame seda sümboliga a. On näha, et kõigil neljal identsel kolmnurgal on alus pikkusega a. Nende kogupindala arvutamiseks peate teadma seda väärtust ühe kolmnurga kohta. Geomeetria kursusest on teada, et kolmnurga pindala S_{t võrdub aluse ja kõrguse korrutisega, mis tuleks jagada pooleks. See on:}

S_t=1/2h_ba.

Kus h_b on aluse a külge tõmmatud võrdhaarse kolmnurga kõrgus. Püramiidi jaoks on see kõrgus apoteem. Nüüd jääb üle saadud avaldis korrutada 4-ga, et saada kõnealuse püramiidi külgpinna pindala S_b:

S_b=4S_t=2h_ba.

See valem sisaldab kahte parameetrit: apoteemi ja aluse külge. Kui viimane on enamiku ülesannete tingimustes teada, siis esimest tuleb arvutada teisi suurusi teades. Siin on valemid apoteema h_{b arvutamiseks kahel juhul:}

• kui külgribi pikkus on teada;
• kui püramiidi kõrgus on teada.

Kui tähistame külgserva (võrdhaarse kolmnurga külje) pikkust sümboliga L, siis apoteem h_{b määratakse valemiga:}

h_b=√(L² - a^2/4).

See avaldis on Pythagorase teoreemi rakendamise tulemus külgpinna kolmnurga jaoks.

Kui on teadapüramiidi kõrgus h, siis saab apoteemi h_{b arvutada järgmiselt:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Selle avaldise saamine pole ka keeruline, kui arvestada püramiidi sees täisnurkset kolmnurka, mille moodustavad jalad h ja a/2 ning hüpotenuus h_b.

Näitame, kuidas neid valemeid rakendada, lahendades kaks huvitavat ülesannet.

Probleem teadaoleva pindalaga

On teada, et korrapärase nelinurkse püramiidi külgpindala on 108 cm². Vaja on arvutada selle apoteemi pikkuse väärtus h_{b, kui püramiidi kõrgus on 7 cm.}

Kirjutame läbi kõrguse külgpinna S_{bvalemi. Meil on:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Siin me lihts alt asendasime vastava apoteema valemi avaldisega S_{b. Teeme võrrandi mõlemad pooled ruudus:}

S_b²=4a²h² + a^4.

A väärtuse leidmiseks muudame muutujaid:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Asendame nüüd teadaolevad väärtused ja lahendame ruutvõrrandi:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Kirjutasime välja ainult selle võrrandi positiivse juure. Siis on püramiidi aluse küljed:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Apoteema pikkuse saamiseks,kasutage lihts alt valemit:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 vt}

Cheopsi püramiidi külgpind

Määrake Egiptuse suurima püramiidi külgpinna väärtus. Teadaolev alt asub selle aluses ruut, mille külje pikkus on 230,363 meetrit. Ehitise kõrgus oli algselt 146,5 meetrit. Asendage need numbrid vastava valemiga S_{b, saame:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Leitud väärtus on veidi suurem kui 17 jalgpalliväljaku pindala.