Prisma on üsna lihtne geomeetriline kolmemõõtmeline kujund. Sellegipoolest on mõnel kooliõpilasel probleeme selle põhiomaduste kindlaksmääramisega, mille põhjus on reeglina seotud valesti kasutatud terminoloogiaga. Selles artiklis vaatleme, mis on prismad, kuidas neid nimetatakse, ning kirjeldame üksikasjalikult ka õiget nelinurkset prismat.
Prisma geomeetrias
Kolmemõõtmeliste kujundite uurimine on stereomeetria ülesanne – ruumigeomeetria oluline osa. Prisma all mõistetakse stereomeetrias sellist kujundit, mis moodustub suvalise tasapinnalise hulknurga paralleelsel translatsioonil teatud kaugusel ruumis. Paralleeltõlge eeldab liikumist, mille korral on täielikult välistatud pöörlemine ümber hulknurga tasapinnaga risti oleva telje.
Kirjeldatud prisma saamise meetodi tulemusena moodustub kujund, mis on piiratud kahegasamade mõõtmetega hulknurgad, mis asuvad paralleelsetel tasapindadel, ja teatud arv rööpkülikuid. Nende arv langeb kokku hulknurga külgede (tippude) arvuga. Ühesuguseid hulknurki nimetatakse prisma alusteks ja nende pindala on aluste pindala. Kaht alust ühendavad paralleelogrammid moodustavad külgpinna.
Prisma elemendid ja Euleri teoreem
Kuna vaadeldav ruumiline kujund on hulktahukas, see tähendab, et selle moodustab ristuvate tasandite hulk, siis iseloomustab seda teatud arv tippe, servi ja tahke. Need on kõik prisma elemendid.
18. sajandi keskel lõi Šveitsi matemaatik Leonhard Euler seose hulktahuka põhielementide arvu vahel. See seos on kirjutatud järgmise lihtsa valemiga:
Servade arv=tippude arv + tahkude arv - 2
Iga prisma puhul kehtib see võrdsus. Toome näite selle kasutamisest. Oletame, et on olemas korrapärane nelinurkne prisma. Ta on pildil allpool.
On näha, et selle tippude arv on 8 (iga nelinurkse aluse kohta 4). Külgede või tahkude arv on 6 (2 alust ja 4 külgmist ristkülikut). Siis on selle servade arv:
ribide arv=8 + 6 - 2=12
Neid kõiki saab üles lugeda, kui viitate samale pildile. Kaheksa serva asuvad alustel ja neli serva on nende alustega risti.
Prismade täielik klassifikatsioon
Sellest klassifikatsioonist on oluline aru saada, et mitte hiljem terminoloogias segadusse sattuda ja kasutada näiteks kujundite pindala või ruumala arvutamiseks õigeid valemeid.
Iga suvalise kujuga prisma puhul saab eristada 4 tunnust, mis seda iseloomustavad. Loetleme need:
- Hulknurga nurkade arvu järgi põhjas: kolmnurkne, viisnurkne, kaheksanurkne ja nii edasi.
- Polügooni tüüp. See võib olla õige või vale. Näiteks täisnurkne kolmnurk on ebakorrapärane, aga võrdkülgne kolmnurk on õige.
- Vastav alt hulknurga kumeruse tüübile. See võib olla nõgus või kumer. Kõige tavalisemad on kumerad prismad.
- Aluste ja külgmiste rööpkülikute vaheliste nurkade all. Kui kõik need nurgad on võrdsed 90o, siis räägivad nad täisprismast, kui mitte kõik pole õiged, siis nimetatakse sellist kujundit kaldus.
Kõigist neist punktidest tahaksin peatuda viimasel. Sirget prismat nimetatakse ka ristkülikukujuliseks prismaks. Selle põhjuseks on asjaolu, et selle jaoks on rööpkülikud üldjuhul ristkülikud (mõnel juhul võivad need olla ruudud).
Näiteks on ül altoodud joonisel viisnurkne nõgus ristkülikukujuline või sirge kujund.
Tavaline nelinurkne prisma
Selle prisma alus on korrapärane nelinurk, st ruut. Ül altoodud joonisel on juba näidatud, milline see prisma välja näeb. Lisaks kahele ruudule, mis temapiira üla- ja alaosa, sisaldab ka 4 ristkülikut.
Tähistame korrapärase nelinurkse prisma aluse külge tähega a, selle külgserva pikkust tähistame tähega c. See pikkus on ka figuuri kõrgus. Seejärel väljendatakse selle prisma kogu pinna pindala valemiga:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Siin näitab esimene liige aluste panust kogupindalas, teine liige on külgpinna pindala.
Võttes arvesse kasutusele võetud külgede pikkuste tähistusi, kirjutame vaadeldava kujundi mahu valemi:
V=a2c
See tähendab, et ruumala arvutatakse ruudu aluse pindala ja külgserva pikkuse korrutisena.
Kuubi kuju
Kõik teavad seda ideaalset kolmemõõtmelist kujundit, kuid vähesed arvasid, et see on korrapärane nelinurkne prisma, mille külg on võrdne ruudu aluse külje pikkusega, st c=a.
Kuubi puhul on kogupindala ja -mahu valemid järgmiselt:
S=6a2
V=a3
Kuna kuup on prisma, mis koosneb 6 identsest ruudust, võib nende mis tahes paralleelset paari pidada aluseks.
Kuup on ülisümmeetriline kujund, mis looduses realiseerub paljude metallmaterjalide kristallvõre ja ioonkristallide kujul. Näiteks võred kullast, hõbedast, vasest ja lauastsoolad on kuupmeetrilised.
