Iga püramiidi tüüpilised lineaarsed parameetrid on selle aluse külgede pikkused, kõrgus, külgservad ja apoteemid. Sellegipoolest on märgitud parameetritega seotud veel üks omadus - see on kahetahuline nurk. Mõelge artiklis, mis see on ja kuidas seda leida.
Ruumikujuline püramiid
Igal õpilasel on sõna "püramiid" kuuldes hea ettekujutus sellest, mis on kaalul. Seda saab geomeetriliselt konstrueerida järgmiselt: valige teatud hulknurk, seejärel fikseerige punkt ruumis ja ühendage see hulknurga iga nurgaga. Saadud kolmemõõtmeline kujund on suvalist tüüpi püramiid. Seda moodustavat hulknurka nimetatakse aluseks ja punkt, millega kõik selle nurgad on ühendatud, on joonise tipp. Alloleval joonisel on skemaatiliselt kujutatud viisnurkset püramiidi.
On näha, et selle pinda ei moodusta mitte ainult viisnurk, vaid ka viis kolmnurka. Üldiselt on nende kolmnurkade arv võrdne arvugahulknurkse aluse küljed.
Kujundi kahetahulised nurgad
Kui geomeetrilisi probleeme vaadeldakse tasapinnal, moodustavad mis tahes nurga kaks ristuvat sirget või lõiku. Ruumis lisatakse nendele lineaarnurkadele kahetahulised nurgad, mis on moodustatud kahe tasandi lõikest.
Kui vaadeldavale joonisele rakendada märgitud ruuminurga definitsiooni, siis võime öelda, et kahetahulisi nurki on kahte tüüpi:
- Püramiidi põhjas. Selle moodustavad aluse tasapind ja mis tahes külgpind (kolmnurk). See tähendab, et püramiidi aluse nurgad on n, kus n on hulknurga külgede arv.
- Külgede vahel (kolmnurgad). Nende kahetahuliste nurkade arv on samuti n tükki.
Pange tähele, et esimest tüüpi vaadeldavad nurgad on ehitatud aluse servadele, teist tüüpi - külgservadele.
Kuidas arvutada püramiidi nurki?
Dihedraalnurga lineaarnurk on viimase mõõt. Seda pole lihtne arvutada, kuna erinev alt prisma tahkudest ei ristu püramiidi tahud üldiselt täisnurga all. Kõige usaldusväärsem on kahetahuliste nurkade väärtuste arvutamine tasapinna võrrandite abil üldkujul.
Kolmemõõtmelises ruumis antakse tasapind järgmise avaldise abil:
Ax + By + Cz + D=0
Kus A, B, C, D on mõned reaalarvud. Selle võrrandi mugavus seisneb selles, et kolm esimest tähistatud arvu on vektori koordinaadid,mis on antud tasapinnaga risti, st:
n¯=[A; B; C]
Kui on teada kolme tasapinnale kuuluva punkti koordinaadid, siis võttes kahe nendele punktidele ehitatud vektori vektorkorrutise, saab koordinaadid n¯. Vektorit n¯ nimetatakse tasapinna juhisteks.
Definitsiooni järgi on kahe tasandi ristumiskohal moodustatud kahetahuline nurk võrdne nende suunavektorite vahelise lineaarnurgaga. Oletame, et meil on kaks tasapinda, mille normaalvektorid on võrdsed:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Nendevahelise nurga φ arvutamiseks võite kasutada skalaarkorrutise omadust, siis saab vastav valem:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Või koordinaadi kujul:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Näitame, kuidas kasutada ül altoodud meetodit kahetahuliste nurkade arvutamiseks geomeetriliste ülesannete lahendamisel.
Korrapärase nelinurkse püramiidi nurgad
Oletame, et on tavaline püramiid, mille põhjas on ruut, mille külg on 10 cm. Joonise kõrgus on12 cm. Tuleb välja arvutada, millised on kahetahulised nurgad püramiidi põhjas ja külgedel.
Kuna ülesande tingimuses toodud joonis on õige, st sellel on suur sümmeetria, siis on kõik nurgad aluses üksteisega võrdsed. Ka külgpindade poolt moodustatud nurgad on samad. Vajalike kahetahuliste nurkade arvutamiseks leiame aluse ja kahe külgtasandi suunavektorid. Märkige aluse külje pikkus tähega a ja kõrgus h.
Ülaloleval pildil on nelinurkne korrapärane püramiid. Kirjutame välja punktide A, B, C ja D koordinaadid vastav alt sisestatud koordinaatide süsteemile:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Nüüd leiame põhitasandite ABC ning kahe külje ABD ja BCD suunavektorid vastav alt ül altoodud lõigus kirjeldatud meetodile:
ABC jaoks:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
ABD jaoks:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
BCD jaoks:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Nüüd jääb üle rakendada nurga φ jaoks sobiv valem ja asendada külje- ja kõrgusväärtused ülesande lausest:
ABC ja vaheline nurkABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
ABD ja BDC vaheline nurk:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Arvutasime välja nurkade väärtused, mis tuli probleemi olukorra järgi leida. Ülesande lahendamisel saadud valemeid saab kasutada nelinurksete korrapäraste püramiidide kahetahuliste nurkade määramiseks mis tahes väärtustega a ja h.
Kolmnurkse korrapärase püramiidi nurgad
Allpool olev joonis näitab püramiidi, mille alus on korrapärane kolmnurk. On teada, et külgedevaheline kahetahuline nurk on õige. Kui on teada, et kujundi kõrgus on 15 cm, on vaja arvutada aluse pindala.
Dihedraalnurk, mis on võrdne 90o, on joonisel tähistatud kui ABC. Saate probleemi lahendada ül altoodud meetodiga, kuid sel juhul teeme seda lihtsam alt. Tähistame kolmnurga a külge, kujundi kõrgust - h, apoteemi - hb ja külgeribi - b. Nüüd saate kirjutada järgmised valemid:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Kuna püramiidi kaks külgmist kolmnurka on samad, on küljed AB ja CB võrdsed ning need on kolmnurga ABC jalad. Tähistame nende pikkust x-ga, siis:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Külgkolmnurkade pindalade võrdsustamisel ja apoteemi asendamisel vastava avaldisega saame:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Võrdkülgse kolmnurga pindala arvutatakse järgmiselt:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Asenda kõrguse väärtus ülesande tingimusega, saame vastuse: S=584, 567 cm2.
