Püramiidi apoteem. Korrapärase kolmnurkpüramiidi apoteemi valemid

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Püramiid on ruumiline hulktahukas ehk hulktahukas, mis esineb geomeetrilistes ülesannetes. Selle joonise peamised omadused on selle maht ja pindala, mis arvutatakse selle mis tahes kahe lineaarse karakteristiku teadmiste põhjal. Üks neist omadustest on püramiidi apoteem. Seda arutatakse artiklis.

Püramiidi kuju

Enne püramiidi apoteemi definitsiooni andmist tutvume kujundi endaga. Püramiid on hulktahukas, mille moodustavad üks n-nurkne alus ja n kolmnurka, mis moodustavad joonise külgpinna.

Igal püramiidil on tipp – kõigi kolmnurkade ühenduspunkt. Sellest tipust aluse külge tõmmatud risti nimetatakse kõrguseks. Kui kõrgus lõikub alusega geomeetrilises keskpunktis, nimetatakse joonist sirgjooneks. Võrdkülgse põhjaga sirget püramiidi nimetatakse tavaliseks püramiidiks. Joonisel on kuusnurkse põhjaga püramiid, mida vaadeldakse näo ja serva küljelt.

Parema püramiidi apoteem

Teda nimetatakse ka apoteemaks. Seda mõistetakse kui risti, mis on tõmmatud püramiidi tipust joonise aluse külje poole. Definitsiooni järgi vastab see risti kolmnurga kõrgusele, mis moodustab püramiidi külgpinna.

Kuna käsitleme tavalist n-nurkse alusega püramiidi, siis on selle kõik n apoteemid samad, kuna sellised on joonise külgpinna võrdhaarsed kolmnurgad. Pange tähele, et identsed apoteemid on tavalise püramiidi omadus. Üldist tüüpi figuuri puhul (kaldus ebakorrapärase n-nurgaga) on kõik n apoteemid erinevad.

Tavalise püramiidi apoteemi teine omadus on see, et see on samaaegselt vastava kolmnurga kõrgus, mediaan ja poolitaja. See tähendab, et ta jagab selle kaheks identseks täisnurkseks kolmnurgaks.

Kolmnurkne püramiid ja valemid selle apoteemi määramiseks

Iga tavapüramiidi puhul on olulised lineaarsed karakteristikud selle aluse külje pikkus, külgserv b, kõrgus h ja apoteem h_{b. Need suurused on omavahel seotud vastavate valemitega, mille saab püramiidi joonistades ja vajalikke täisnurkseid kolmnurki arvesse võttes.}

Regulaarne kolmnurkne püramiid koosneb neljast kolmnurksest tahust ja üks neist (põhi) peab olema võrdkülgne. Ülejäänud on üldjuhul võrdhaarsed. apoteemkolmnurkset püramiidi saab määrata teiste suuruste järgi, kasutades järgmisi valemeid:

h_b=√(b²- a^2/4);

h_b=√(a²/12 + h²⁾

Esimene neist avaldistest kehtib mis tahes õige alusega püramiidi puhul. Teine avaldis on iseloomulik ainult kolmnurksele püramiidile. See näitab, et apoteem on alati suurem kui joonise kõrgus.

Ärge ajage püramiidi apoteemi segamini hulktahuka omaga. Viimasel juhul on apoteem ristlõike, mis on tõmmatud hulktahuka keskpunktist küljele. Näiteks võrdkülgse kolmnurga apoteem on √3/6a.

Apoteemi ülesanne

Olgu antud tavaline püramiid, mille põhjas on kolmnurk. Selle apoteemi on vaja arvutada, kui on teada, et selle kolmnurga pindala on 34 cm2 ja püramiid ise koosneb neljast identsest tahust.

Vastav alt ülesande tingimusele on tegemist tetraeedriga, mis koosneb võrdkülgsetest kolmnurkadest. Ühe näo pindala valem on:

S=√3/4a2

Kus saame külje a pikkuse:

a=2√(S/√3)

Apoteemi h_{bmääramiseks kasutame valemit, mis sisaldab külgserva b. Vaadeldaval juhul on selle pikkus võrdne aluse pikkusega, meil on:}

h_b=√(b²- a^{2/4)=√3/2 a}

Asendades väärtuse a kuni S,saame lõpliku valemi:

h_{b=√3/22√(S/√3)=√(S√3)}

Saime lihtsa valemi, milles püramiidi apoteem sõltub ainult selle aluse pindalast. Kui asendame väärtuse S ülesande tingimusest, saame vastuse: h_{b≈ 7, 674 cm.}