Absoluutselt iga ruumifiguuri uurimisel on oluline teada, kuidas arvutada selle mahtu. See artikkel annab valemi tavalise nelinurkse püramiidi ruumala kohta ja näitab ka, kuidas seda valemit kasutada, kasutades näidet ülesannete lahendamisel.
Millisest püramiidist me räägime?
Iga keskkooliõpilane teab, et püramiid on hulktahukas, mis koosneb kolmnurkadest ja hulknurgast. Viimane on joonise aluseks. Kolmnurkadel on üks ühine külg põhjaga ja need ristuvad ühes punktis, mis on püramiidi tipp.
Iga püramiidi iseloomustab aluse külgede pikkus, külgservade pikkus ja kõrgus. Viimane on risti olev segment, mis on joonise ülaosast alandatud.
Regulaarne nelinurkne püramiid on ruudukujulise alusega kujund, mille kõrgus lõikub selle ruudu keskel. Võib-olla on seda tüüpi püramiidide kuulsaim näide Vana-Egiptuse kiviehitised. Allpool on fotoCheopsi püramiidid.
Uuritaval joonisel on viis tahku, millest neli on identsed võrdhaarsed kolmnurgad. Seda iseloomustavad ka viis tippu, millest neli kuuluvad alusele, ja kaheksa serva (4 aluse serva ja 4 külgpindade serva).
Nelinurkse püramiidi ruumala valem on õige
Kõnealuse kujundi maht on osa ruumist, mis on piiratud viie küljega. Selle ruumala arvutamiseks kasutame püramiidi põhjaga paralleelse lõigu pindala Sz järgmist sõltuvust vertikaalsest koordinaadist z:
Sz=So (h - z/h)2
Siin So on ruudu aluse pindala. Kui asendame kirjalikus avaldises z=h, saame Sz väärtuseks nulli. See z väärtus vastab lõigule, mis sisaldab ainult püramiidi tippu. Kui z=0, siis saame baaspindala väärtuse So.
Püramiidi ruumala on lihtne leida, kui tead funktsiooni Sz(z), selleks piisab, kui lõigata kujund lõpmatuks arvuks alusega paralleelsed kihid ja seejärel viige läbi integreerimistoiming. Ma järgin seda tehnikat, saame:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
Sest S0 onruudu aluse pindala, siis, tähistades ruudu külge tähega a, saame tavalise nelinurkse püramiidi ruumala valemi:
V=1/3a2h.
Nüüd kasutame probleemide lahendamise näiteid, et näidata, kuidas seda avaldist tuleks rakendada.
Püramiidi ruumala määramise probleem selle apoteemi ja külgserva kaudu
Püramiidi apoteem on selle külgmise kolmnurga kõrgus, mis on langetatud aluse küljele. Kuna tavalises püramiidis on kõik kolmnurgad võrdsed, on ka nende apoteemid samad. Tähistagem selle pikkust sümboliga hb. Tähistage külgserva kui b.
Teades, et püramiidi apoteem on 12 cm ja selle külgserv on 15 cm, leidke tavalise nelinurkse püramiidi ruumala.
Eelmises lõigus kirjutatud joonise mahu valem sisaldab kahte parameetrit: külje pikkus a ja kõrgus h. Hetkel me neist ühtegi ei tea, seega vaatame nende arvutusi.
Ruudu a külje pikkust on lihtne arvutada, kui kasutada täisnurkse kolmnurga jaoks Pythagorase teoreemi, mille hüpotenuus on serv b ja jalad on apoteem h b ja pool aluse külge a/2. Saame:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Asendades teadaolevad väärtused tingimusest, saame väärtuse a=18 cm.
Püramiidi kõrguse h arvutamiseks võite teha kahte asja: kaaluda ristkülikukujulistkolmnurk hüpotenuus-külgservaga või hüpotenuus-apoteemiga. Mõlemad meetodid on võrdsed ja hõlmavad sama arvu matemaatilisi tehteid. Vaatleme kolmnurka, kus hüpotenuus on apoteem hb. Selles olevad jalad on h ja a / 2. Siis saame:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Nüüd saate kasutada V helitugevuse valemit:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Seega on tavalise nelinurkse püramiidi maht ligikaudu 0,86 liitrit.
Cheopsi püramiidi maht
Nüüd lahendame huvitava ja praktiliselt olulise probleemi: leidke Giza suurima püramiidi maht. Kirjandusest on teada, et hoone algkõrgus oli 146,5 meetrit ja selle aluse pikkus 230,363 meetrit. Need arvud võimaldavad meil V arvutamiseks kasutada valemit. Saame:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Saadud väärtus on peaaegu 2,6 miljonit m3. See maht vastab kuubi mahule, mille külg on 137,4 meetrit.
