Aritmeetilise keskmise ja geomeetrilise keskmise teema on matemaatika programmis 6.-7.klassile. Kuna lõigust on üsna lihtne mõista, saab see kiiresti läbi ja kooliaasta lõpuks unustavad õpilased selle. Kuid eksami sooritamiseks ja ka rahvusvaheliste SAT-eksamite jaoks on vaja teadmisi põhistatistikast. Ja igapäevaelus ei tee arenenud analüütiline mõtlemine kunagi halba.
Kuidas arvutada arvude aritmeetilist ja geomeetrilist keskmist
Oletame, et numbreid on mitu: 11, 4 ja 3. Aritmeetiline keskmine on kõigi arvude summa jagatud antud arvude arvuga. See tähendab, et numbrite 11, 4, 3 puhul on vastus 6. Kuidas saadakse 6?
Lahendus: (11 + 4 + 3) / 3=6
Nimetaja peab sisaldama arvu, mis on võrdne nende arvude arvuga, mille keskmine tuleb leida. Summa jagub 3-ga, kuna seal on kolm liiget.
Nüüd peame tegelema geomeetrilise keskmisega. Oletame, et on arvude jada: 4, 2 ja 8.
Geomeetriline keskmine on kõigi antud arvude korrutis, mis on juure all astmega, mis on võrdne antud arvude arvuga ehk siis arvude 4, 2 ja 8 puhul on vastus 4. See juhtus järgmiselt:
Lahendus: ∛(4 × 2 × 8)=4
Mõlemal juhul saadi terved vastused, kuna näiteks võeti erinumbrid. See ei ole alati nii. Enamikul juhtudel tuleb vastus ümardada või jätta juure. Näiteks arvude 11, 7 ja 20 aritmeetiline keskmine on ≈ 12,67 ja geomeetriline keskmine on ∛1540. Ja numbrite 6 ja 5 puhul on vastused vastav alt 5, 5 ja √30.
Kas võib juhtuda, et aritmeetiline keskmine võrdub geomeetrilise keskmisega?
Muidugi saab. Kuid ainult kahel juhul. Kui on arvude jada, mis koosneb ainult ühtedest või nullidest. Samuti on tähelepanuväärne, et vastus ei sõltu nende arvust.
Tõestus ühikutega: (1 + 1 + 1) / 3=3 / 3=1 (aritmeetiline keskmine).
∛(1 × 1 × 1)=∛1=1 (geomeetriline keskmine).
1=1
Tõestus nullidega: (0 + 0) / 2=0 (aritmeetiline keskmine).
√(0 × 0)=0 (geomeetriline keskmine).
0=0
Muud võimalust pole ja ei saagi olla.
