Tüvipüramiidi külgpinna pindala ja ruumala: valemid ja näide tüüpilise ülesande lahendamisest

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Stereomeetria raames kolmemõõtmelises ruumis figuuride omadusi uurides tuleb sageli lahendada ülesandeid ruumala ja pindala määramiseks. Selles artiklis näitame, kuidas arvutada kärbitud püramiidi ruumala ja külgpindala tuntud valemite abil.

Püramiid geomeetrias

Geomeetrias on tavaline püramiid ruumikuju, mis on ehitatud mingile tasasele n-nurgale. Kõik selle tipud on ühendatud ühe punktiga, mis asub väljaspool hulknurga tasapinda. Näiteks siin on foto viisnurkse püramiidiga.

Selle kujundi moodustavad tahud, tipud ja servad. Viisnurkset nägu nimetatakse aluspinnaks. Ülejäänud kolmnurksed pinnad moodustavad külgpinna. Kõigi kolmnurkade lõikepunkt on püramiidi põhitipp. Kui risti langetatakse sellelt alusele, on ristumispunkti asukoha jaoks kaks võimalust:

• geomeetrilises keskpunktis, siis nimetatakse püramiidi sirgjooneks;
• pole sissegeomeetriline keskpunkt, siis on joonis kaldus.

Edaspidi käsitleme ainult sirgeid kujundeid, millel on tavaline n-nurkne alus.

Mis see kujund on – kärbitud püramiid?

Tühitud püramiidi ruumala määramiseks on vaja selgelt aru saada, millist kujundit konkreetselt kõne all on. Teeme selle probleemi selgeks.

Oletame, et võtame tavalise püramiidi põhjaga paralleelse lõiketasandi ja lõikame sellega osa külgpinnast ära. Kui seda toimingut teha ül altoodud viisnurkse püramiidiga, saate sellise joonise nagu alloleval joonisel.

Fotolt on näha, et sellel püramiidil on juba kaks alust ja ülemine sarnaneb alumisele, kuid on oma mõõtmetelt väiksem. Külgpinda ei kujuta enam kolmnurgad, vaid trapetsid. Need on võrdhaarsed ja nende arv vastab aluse külgede arvule. Kärbitud kujundil ei ole põhitippu, nagu tavalisel püramiidil, ja selle kõrguse määrab paralleelsete aluste vaheline kaugus.

Üldiselt, kui vaadeldav kujund on moodustatud n-nurksetest alustest, on sellel n+2 tahku või külge, 2n tippu ja 3n serva. See tähendab, et kärbitud püramiid on hulktahukas.

Tügatud püramiidi ruumala valem

Tuletame meelde, et tavalise püramiidi ruumala on 1/3 selle kõrguse ja aluse pindala korrutisest. See valem ei sobi kärbitud püramiidi jaoks, kuna sellel on kaks alust. Ja selle mahton alati väiksem kui tavalise arvu sama väärtus, millest see tuletatakse.

Avaldise saamise matemaatilisi üksikasju laskumata esitame kärbitud püramiidi ruumala lõpliku valemi. See on kirjutatud järgmiselt:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Siin S₁ ja S_{2 on vastav alt alumise ja ülemise aluse pindalad, h on joonise kõrgus. Kirjalik avaldis kehtib mitte ainult sirge korrapärase kärbitud püramiidi, vaid ka selle klassi kõigi kujundite kohta. Veelgi enam, sõltumata põhihulknurkade tüübist. Ainus tingimus, mis piirab avaldise V kasutamist, on vajadus, et püramiidi alused oleksid üksteisega paralleelsed.}

Selle valemi omadusi uurides saab teha mitmeid olulisi järeldusi. Niisiis, kui ülemise aluse pindala on null, siis jõuame tavalise püramiidi V valemini. Kui aluste pindalad on üksteisega võrdsed, siis saame prisma ruumala valemi.

Kuidas määrata külgpinda?

Tükitud püramiidi omaduste tundmine eeldab mitte ainult selle ruumala arvutamise oskust, vaid ka oskust määrata külgpinna pindala.

Kärbitud püramiid koosneb kahte tüüpi tahkudest:

• võrdhaarsed trapetsid;
• hulknurksed alused.

Kui alustes on korrapärane hulknurk, siis selle pindala arvutamine ei esinda suurtraskusi. Selleks pead teadma vaid külje a pikkust ja nende arvu n.

Külgpinna puhul hõlmab selle pindala arvutamine selle väärtuse määramist iga n trapetsi jaoks. Kui n-nurk on õige, on külgpinna valem järgmine:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Siin h_b on trapetsi kõrgus, mida nimetatakse figuuri apoteemiks. Suurused a₁ ja a_{2on tavaliste n-nurksete aluste külgede pikkused.}

Iga tavalise n-nurkse kärbitud püramiidi puhul saab apoteemi h_b üheselt defineerida parameetrite a₁ ja a _{kaudu. 2ja kujundi kõrgus h.}

Figuuri ruumala ja pindala arvutamise ülesanne

Arvestades korrapärase kolmnurkse tüvipüramiidi. Teadaolev alt on selle kõrgus h 10 cm ja aluste külgede pikkused on 5 cm ja 3 cm. Kui suur on kärbitud püramiidi ruumala ja selle külgpinna pindala?

Kõigepe alt arvutame välja väärtuse V. Selleks leidke joonise alustel paiknevate võrdkülgsete kolmnurkade pindalad. Meil on:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Asendage andmed valemis V, saame soovitud helitugevuse:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Külgpinna määramiseks peaksite teadmaapoteemi pikkus h_{b. Arvestades vastavat täisnurkset kolmnurka püramiidi sees, saame kirjutada selle võrdsuse:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Apoteemi väärtus ja kolmnurksete aluste küljed asendatakse avaldisega S_{b ja saame vastuse:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 cm²

Seega vastasime kõikidele ülesande küsimustele: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.