Ruumikujundite mahu arvutamise oskus on oluline mitmete geomeetria praktiliste ülesannete lahendamisel. Üks levinumaid kujundeid on püramiid. Selles artiklis käsitleme nii täis- kui ka kärbitud püramiidi ruumala valemeid.
Püramiid kui kolmemõõtmeline figuur
Kõik teavad Egiptuse püramiididest, seega on neil hea ettekujutus sellest, millist kujundit arutatakse. Egiptuse kiviehitised on aga vaid erijuht tohutust püramiidide klassist.
Vaatatavaks geomeetriliseks objektiks on üldjuhul hulknurkne alus, mille iga tipp on ühendatud mingi ruumipunktiga, mis ei kuulu alustasandisse. See definitsioon viib jooniseni, mis koosneb ühest n-nurgast ja n kolmnurgast.
Iga püramiid koosneb n+1 tahkest, 2n servast ja n+1 tipust. Kuna vaadeldav joonis on täiuslik hulktahukas, järgivad märgitud elementide arvud Euleri võrdsust:
2n=(n+1) + (n+1) – 2.
Püramiidi nimetuse annab põhjas olev hulknurk,näiteks kolmnurkne, viisnurkne jne. Erinevate alustega püramiidide komplekt on näidatud alloleval fotol.
Punkti, kus on ühendatud joonise n kolmnurka, nimetatakse püramiidi tipuks. Kui risti langetatakse sellelt alusele ja see lõikub sellega geomeetrilises keskpunktis, nimetatakse sellist kujundit sirgeks. Kui see tingimus ei ole täidetud, on tegemist kaldus püramiidiga.
Sirget kujundit, mille aluse moodustab võrdkülgne (võrdnurkne) n-nurk, nimetatakse regulaarseks.
Püramiidi mahu valem
Püramiidi ruumala arvutamiseks kasutame integraalarvutust. Selleks jagame joonise alusega paralleelsete risttasapindade järgi lõpmatu arvu õhukesteks kihtideks. Alloleval joonisel on kujutatud nelinurkset püramiidi kõrgusega h ja külje pikkusega L, mille õhukesele lõikekihile on märgitud nelinurk.
Iga sellise kihi pindala saab arvutada järgmise valemi abil:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Siin A0 on aluse pindala, z on vertikaalkoordinaadi väärtus. On näha, et kui z=0, siis valem annab väärtuse A0.
Püramiidi ruumala valemi saamiseks peaksite arvutama integraali kogu joonise kõrgusele, see tähendab:
V=∫h0(A(z)dz).
Asendades sõltuvuse A(z) ja arvutades antiderivaadi, saame avaldise:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Saime püramiidi ruumala valemi. V väärtuse leidmiseks piisab, kui korrutada joonise kõrgus aluse pindalaga ja seejärel jagada tulemus kolmega.
Pange tähele, et saadud avaldis kehtib suvalist tüüpi püramiidi ruumala arvutamiseks. See tähendab, et see võib olla kaldu ja selle alus võib olla suvaline n-nurk.
Õige püramiid ja selle maht
Eelmises lõigus saadud üldvalemit mahu kohta saab täpsustada õige alusega püramiidi puhul. Sellise aluse pindala arvutatakse järgmise valemi abil:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Siin L on n tipuga korrapärase hulknurga külje pikkus. Sümbol pi on arv pi.
Asendades üldvalemis avaldise A0, saame tavalise püramiidi ruumala:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Näiteks kolmnurkpüramiidi korral annab see valem järgmise avaldise:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Tavalise nelinurkse püramiidi puhul on mahuvalem järgmine:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Tavaliste püramiidide ruumala määramiseks on vaja teada nende aluse külge ja kujundi kõrgust.
Tügatud püramiid
Oletame, et võtsimesuvalise püramiidi ja lõika ära osa selle külgpinnast, mis sisaldab tippu. Ülejäänud kujundit nimetatakse kärbitud püramiidiks. See koosneb juba kahest n-nurksest alusest ja n trapetsist, mis neid ühendavad. Kui lõiketasand oli joonise põhjaga paralleelne, siis moodustatakse paralleelsete sarnaste alustega kärbitud püramiid. See tähendab, et ühe külje pikkused saab saada, korrutades teise külje pikkused mingi koefitsiendiga k.
Ülaloleval pildil on näha kärbitud korrapärane kuusnurkne püramiid. On näha, et selle ülemise aluse, nagu ka alumise, moodustab korrapärane kuusnurk.
Kärbitud püramiidi ruumala valem, mille saab tuletada antud integraalarvutuse abil, on järgmine:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Kus A0 ja A1 on vastav alt alumise (suure) ja ülemise (väikese) aluse alad. Muutuja h on kärbitud püramiidi kõrgus.
Cheopsi püramiidi maht
Huvitav on lahendada Egiptuse suurima püramiidi mahu määramise probleem.
1984. aastal määrasid Briti egüptoloogid Mark Lehner ja Jon Goodman Cheopsi püramiidi täpsed mõõtmed. Selle algne kõrgus oli 146,50 meetrit (praegu umbes 137 meetrit). Konstruktsiooni nelja külje keskmine pikkus oli 230 363 meetrit. Püramiidi põhi on suure täpsusega ruudukujuline.
Kasutame antud arve selle kivihiiglase mahu määramiseks. Kuna püramiid on korrapärane nelinurkne, siis selle jaoks kehtib valem:
V4=1/3L2h.
Asendage numbrid, saame:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Cheopsi püramiidi maht on peaaegu 2,6 miljonit m3. Võrdluseks märgime, et olümpiabasseini maht on 2,5 tuhat m3. See tähendab, et kogu Cheopsi püramiidi täitmiseks on vaja rohkem kui 1000 sellist basseini!
