Püthagorase teoreem: hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruudu summaga

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Iga õpilane teab, et hüpotenuusi ruut on alati võrdne jalgade summaga, millest igaüks on ruudus. Seda väidet nimetatakse Pythagorase teoreemiks. See on üks kuulsamaid teoreeme trigonomeetrias ja matemaatikas üldiselt. Mõelge sellele üksikasjalikum alt.

Täisnurkse kolmnurga mõiste

Enne Pythagorase teoreemi käsitlemist, mille kohaselt hüpotenuusi ruut võrdub ruudukujuliste jalgade summaga, peaksime kaaluma täisnurkse kolmnurga mõistet ja omadusi, mille teoreem kehtib.

Kolmnurk on lame kujund, millel on kolm nurka ja kolm külge. Täisnurksel kolmnurgal, nagu nimigi ütleb, on üks täisnurk, see tähendab, et see nurk on 90o.

Kõigi kolmnurkade üldistest omadustest on teada, et selle joonise kõigi kolme nurga summa on 180^o, mis tähendab, et täisnurkse kolmnurga puhul on kaks nurka, mis ei ole õiged, on 180^o -90^o=90^o. Viimane fakt tähendab, et täisnurkse kolmnurga iga nurk, mis ei ole täisnurk, on alati väiksem kui 90^o.

Täisnurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks. Ülejäänud kaks külge on kolmnurga jalad, need võivad olla üksteisega võrdsed või erinevad. Trigonomeetriast on teada, et mida suurem on nurk, mille vastu kolmnurga külg asetseb, seda suurem on selle külje pikkus. See tähendab, et täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus (asub nurga 90^o vastas) alati suurem kui ükski jalg (asub nurkade vastas < 90^o).

Pythagorase teoreemi matemaatiline tähistus

See teoreem ütleb, et hüpotenuusi ruut võrdub jalgade summaga, millest igaüks on eelnev alt ruudus. Selle sõnastuse matemaatiliseks kirjutamiseks kaaluge täisnurkset kolmnurka, mille küljed a, b ja c on vastav alt kaks jalga ja hüpotenuus. Sel juhul saab teoreemi, mis on esitatud hüpotenuusi ruuduna võrdne jalgade ruutude summaga, esitada järgmise valemiga: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Siit on võimalik saada muid praktika jaoks olulisi valemeid: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) ja c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Pange tähele, et täisnurkse võrdkülgse kolmnurga puhul, st a=b, on sõnastus: hüpotenuusi ruut võrdub jalgade summaga, millest igaüksruudus, matemaatiliselt kirjutatud järgmiselt: c²=a² + b²=2a ^{2, mis tähendab võrdsust: c=a√2.}

Ajalooline taust

Püthagorase teoreem, mis ütleb, et hüpotenuusi ruut võrdub jalgade summaga, millest igaüks on ruudus, oli teada juba ammu enne seda, kui kuulus kreeka filosoof sellele tähelepanu pööras. Paljud Vana-Egiptuse papüürused ja babüloonlaste savitahvlid kinnitavad, et need rahvad kasutasid täisnurkse kolmnurga külgede omadust. Näiteks üks esimesi Egiptuse püramiide, Khafre püramiid, mille ehitus pärineb 26. sajandist eKr (2000 aastat enne Pythagorase elu), ehitati 3x4x5 täisnurkses kolmnurgas kuvasuhte teadmise põhjal.

Miks siis on teoreem nüüd kreeklase järgi nimetatud? Vastus on lihtne: Pythagoras on esimene, kes selle teoreemi matemaatiliselt tõestas. Säilinud Babüloonia ja Egiptuse kirjutistes mainitakse ainult selle kasutamist, kuid need ei paku matemaatilist tõestust.

Arvatakse, et Pythagoras tõestas vaadeldava teoreemi, kasutades sarnaste kolmnurkade omadusi, mille ta sai, tõmmates täisnurksesse kolmnurga kõrguse nurgast 90o kuni hüpotenuus.

Näide Pythagorase teoreemi kasutamisest

Mõelge lihtsale probleemile: on vaja määrata kaldtrepi pikkus L, kui on teada, et selle kõrgus on H=3meetrit ja kaugus seinast, mille vastu redel toetub jalale, on P=2,5 meetrit.

Sel juhul on H ja P jalad ning L on hüpotenuus. Kuna hüpotenuusi pikkus võrdub jalgade ruutude summaga, saame: L²=H² + P 2^{, kust L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 meetrit või 3 meetrit ja 90,5 cm.}