Steineri teoreem või paralleeltelgede teoreem inertsmomendi arvutamiseks

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Pöörleva liikumise matemaatilisel kirjeldamisel on oluline teada süsteemi inertsimomenti telje suhtes. Üldjuhul hõlmab selle suuruse leidmise protseduur integreerimisprotsessi rakendamist. Nn Steineri teoreem muudab arvutamise lihtsamaks. Vaatleme seda artiklis üksikasjalikum alt.

Mis on inertsimoment?

Enne Steineri teoreemi sõnastust on vaja käsitleda inertsmomendi mõistet. Oletame, et on olemas teatud massiga ja suvalise kujuga keha. See keha võib olla kas materiaalne punkt või mis tahes kahe- või kolmemõõtmeline objekt (varras, silinder, kuul jne). Kui kõnealune objekt teeb ringikujulise liikumise ümber mingi telje konstantse nurkkiirendusega α, siis saab kirjutada järgmise võrrandi:

M=Iα

Siin tähistab väärtus M jõudude summaarset momenti, mis annab kogu süsteemile kiirenduse α. Nimetatakse nendevahelist proportsionaalsuse koefitsienti - Iinertsimoment. See füüsikaline suurus arvutatakse järgmise üldvalemi abil:

I=∫_m (r²dm)

Siin r on kaugus massiga dm elemendi ja pöörlemistelje vahel. See avaldis tähendab, et on vaja leida kauguste r² ja elementaarmassi dm korrutiste summa. See tähendab, et inertsimoment ei ole keha puhas omadus, mis eristab seda lineaarsest inertsist. See sõltub massi jaotusest kogu pöörleval objektil, samuti kaugusest teljest ja keha orientatsioonist selle suhtes. Näiteks on vardal erinev I, kui seda pöörata ümber massikeskme ja otsa ümber.

Inertsimoment ja Steineri teoreem

Kuulus Šveitsi matemaatik Jakob Steiner tõestas teoreemi paralleeltelgede ja inertsmomendi kohta, mis nüüd kannab tema nime. See teoreem postuleerib, et absoluutselt iga suvalise geomeetriaga jäiga keha inertsimoment mõne pöörlemistelje suhtes on võrdne inertsmomendi summaga selle telje suhtes, mis lõikub keha massikeskmega ja on paralleelne esimesega. ja kehamassi korrutis nende telgede vahelise kauguse ruuduga. Matemaatiliselt on see sõnastus kirjutatud järgmiselt:

I_Z=I_O + ml²

I_Z ja I_O - inertsmomendid Z-telje ja sellega paralleelse O-telje suhtes, mis möödub läbi keha massikeskme, l - joonte Z ja O vaheline kaugus.

Teoreem võimaldab, teades I_O väärtust, arvutadamis tahes muu hetk I_Z telje ümber, mis on paralleelne O-ga.

Teoreemi tõestus

Steineri teoreemi valemit saab hõlpsasti ise hankida. Selleks kaaluge suvalist keha xy tasapinnal. Laske koordinaatide alguspunkt läbida selle keha massikeskme. Arvutame inertsmomendi I_O, mis läbib xy-tasandiga risti alguspunkti. Kuna kaugus keha mis tahes punktini on väljendatud valemiga r=√ (x² + y²), saame integraali:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Nüüd liigutame telge paralleelselt piki x-telge vahemaa l võrra, näiteks positiivses suunas, siis uue inertsmomendi telje arvutus näeb välja järgmine:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Laiendage sulgudes olevat täisruutu ja jagage integrandid, saame:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Esimene neist terminitest on väärtus I_O, kolmas liige pärast integreerimist annab termini l²m, ja siin on teine liige null. Määratud integraali nullimine tuleneb sellest, et see on võetud x ja massielementide dm korrutisest, miskeskmine annab nulli, kuna massikese on algpunktis. Selle tulemusena saadakse Steineri teoreemi valem.

Vaadeldatud juhtumit tasapinnal saab üldistada kolmemõõtmeliseks kehaks.

Steineri valemi kontrollimine varda näitel

Toome lihtsa näite, et demonstreerida, kuidas ül altoodud teoreemi kasutada.

On teada, et varda pikkusega L ja massiga m on inertsimoment I_O(telg läbib massikeskme) on võrdne m L² /12 ja hetk I_Z (telg läbib varda otsa) on võrdne mL 2^{/3. Kontrollime neid andmeid Steineri teoreemi abil. Kuna kahe telje vaheline kaugus on L/2, siis saame hetke I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

See tähendab, et kontrollisime Steineri valemit ja saime I_Z jaoks sama väärtuse, mis allikas.

Sarnaseid arvutusi saab teha ka teiste kehade (silinder, kuul, ketas) puhul, saades samal ajal vajalikud inertsimomendid ja ilma integreerimist tegemata.

Inertsimoment ja risti teljed

Vaatatav teoreem puudutab paralleeltelgesid. Teabe täielikkuse huvides on kasulik esitada ka teoreem risti asetsevate telgede kohta. See on sõnastatud järgmiselt: suvalise kujuga lameda objekti puhul on inertsmoment sellega risti oleva telje suhtes võrdne kahe inertsmomendi summaga kahe vastastikku risti asetseva ja asetseva objekti suhtes.telgede objekti tasapinnal, kusjuures kõik kolm telge läbivad sama punkti. Matemaatiliselt on see kirjutatud järgmiselt:

I_z=I_x + I_y

Siin z, x, y on kolm üksteisega risti olevat pöörlemistelge.

Selle teoreemi ja Steineri teoreemi põhiline erinevus seisneb selles, et seda saab kasutada ainult lamedate (kahemõõtmeliste) tahkete objektide puhul. Sellegipoolest kasutatakse seda praktikas laialdaselt, lõigates keha vaimselt eraldi kihtideks ja seejärel lisades saadud inertsimomente.