Polüeedrid äratasid matemaatikute ja teadlaste tähelepanu isegi iidsetel aegadel. Egiptlased ehitasid püramiide. Ja kreeklased uurisid "regulaarseid hulktahukaid". Neid nimetatakse mõnikord platoonilisteks tahketeks aineteks. "Traditsioonilised hulktahukad" koosnevad tasapindadest, sirgetest servadest ja tippudest. Kuid põhiküsimus on alati olnud see, millistele reeglitele need eraldiseisvad osad peavad vastama, samuti millised täiendavad globaalsed tingimused peavad olema täidetud, et objekt kvalifitseeruks hulktahukaks. Vastus sellele küsimusele esitatakse artiklis.
Probleemid definitsioonis
Millest see näitaja koosneb? Polühedron on suletud tahke kuju, millel on lamedad tahud ja sirged servad. Seetõttu võib selle määratluse esimest probleemi nimetada täpselt joonise külgedeks. Mitte kõik tasapinnas lebavad näod pole alati hulktahuka märgiks. Võtame näiteks "kolmnurkse silindri". Millest see koosneb? Osa selle pinnast kolm paarikauparistuvat vertika altasapinda ei saa pidada hulknurkadeks. Põhjus on selles, et sellel pole tippe. Sellise kujundi pind moodustub kolme ühes punktis kohtuva kiire põhjal.
Veel üks probleem – lennukid. "Kolmnurkse silindri" puhul on see nende piiramatutes osades. Kujundit peetakse kumeraks, kui selles on ka lõik, mis ühendab hulga kaht punkti. Tutvustame ühte nende olulistest omadustest. Kumerate hulkade puhul on see, et hulgale ühiste punktide hulk on sama. On ka teist tüüpi figuure. Need on mittekumerad 2D hulktahukad, millel on kas sälgud või augud.
Kujundid, mis ei ole hulktahukad
Lame punktide kogum võib olla erinev (näiteks mittekumer) ega vasta polüheedri tavapärasele määratlusele. Isegi selle kaudu on see piiratud liinilõikudega. Kumera hulktahuka jooned koosnevad kumeratest kujunditest. Selline lähenemine määratlusele välistab aga lõpmatusse suunduva kujundi. Selle näiteks on kolm kiirt, mis ei kohtu samas punktis. Kuid samal ajal on nad ühendatud mõne teise kujundi tippudega. Traditsiooniliselt oli hulktahuka jaoks oluline, et see koosneks tasapinnalistest pindadest. Kuid aja jooksul see mõiste laienes, mis tõi kaasa polüheedrite algse "kitsama" klassi mõistmise olulise paranemise, samuti uue, laiema määratluse tekkimise.
Õige
Tutvustame veel ühte määratlust. Korrapärane hulktahukas on selline, mille iga tahk on ühtlane korrapäranekumerad hulknurgad ja kõik tipud on "sama". See tähendab, et igal tipul on sama arv korrapäraseid hulknurki. Kasutage seda määratlust. Nii et võite leida viis tavalist hulktahukat.
Euleri polühedra teoreemi esimesed sammud
Kreeklased teadsid hulknurgast, mida tänapäeval nimetatakse pentagrammiks. Seda hulknurka võiks nimetada korrapäraseks, kuna selle kõik küljed on võrdse pikkusega. Samuti on veel üks oluline märkus. Kahe järjestikuse külje vaheline nurk on alati sama. Tasapinnal joonistades ei määratle see aga kumerat hulka ja hulktahuka küljed lõikuvad üksteisega. See ei olnud aga alati nii. Matemaatikud on pikka aega kaalunud "mittekumerate" korrapäraste hulktahukate ideed. Pentagramm oli üks neist. Lubatud olid ka "tähepolügoonid". On avastatud mitmeid uusi näiteid "tavalistest polüheedritest". Nüüd nimetatakse neid Kepleri-Poinsoti polühedriks. Hiljem laiendasid G. S. M. Coxeter ja Branko Grünbaum reegleid ja avastasid teisi "tavalisi hulktahukaid".
Polüedriline valem
Nende arvude süstemaatiline uurimine algas suhteliselt varakult matemaatika ajaloos. Leonhard Euler märkas esimesena, et nende tippude, tahkude ja servade arvu seostav valem kehtib kumera 3D polüeedri puhul.
Ta näeb välja selline:
V + F - E=2, kus V on hulktahukate tippude arv, F on hulktahuka servade arv ja E tahkude arv.
Leonhard Euler on šveitslanematemaatik, keda peetakse kõigi aegade üheks suurimaks ja produktiivsemaks teadlaseks. Ta on olnud suurema osa oma elust pime, kuid nägemise kaotus andis talle põhjuse veelgi produktiivsemaks muutuda. Tema järgi on nimetatud mitu valemit ja seda, mida me just vaatasime, nimetatakse mõnikord Euleri polühedra valemiks.
Seal on üks selgitus. Euleri valem töötab aga ainult polüheedrite puhul, mis järgivad teatud reegleid. Need seisnevad selles, et vormil ei tohiks olla auke. Ja see on vastuvõetamatu, et see ületab ennast. Samuti ei saa hulktahukat koosneda kahest omavahel ühendatud osast, näiteks kahest sama tipuga kuubist. Euler mainis oma uurimistöö tulemust kirjas Christian Goldbachile 1750. aastal. Hiljem avaldas ta kaks artiklit, milles kirjeldas, kuidas ta püüdis leida tõestust oma uuele avastusele. Tegelikult on vorme, mis annavad V + F - E erineva vastuse. Summa F + V - E=X vastust nimetatakse Euleri tunnuseks. Tal on veel üks aspekt. Mõnel kujundil võib isegi olla negatiivne Euleri tunnus
Graafiteooria
Mõnikord väidetakse, et Descartes tuletas Euleri teoreemi varem. Kuigi see teadlane avastas fakte kolmemõõtmeliste hulktahukate kohta, mis võimaldaks tal tuletada soovitud valemi, ei astunud ta seda täiendavat sammu. Tänapäeval peetakse Eulerit graafiteooria "isaks". Ta lahendas oma ideid kasutades Königsbergi silla probleemi. Kuid teadlane ei vaadanud hulktahukat kontekstisgraafikuteooria. Euler püüdis anda tõestuse valemile, mis põhineb hulktahuka lagunemisel lihtsamateks osadeks. See katse ei vasta tänapäevastele tõestusstandarditele. Kuigi Euler ei andnud oma valemile esimest õiget põhjendust, ei saa tõestada oletusi, mida pole tehtud. Kuid tulemused, mida hiljem põhjendati, võimaldavad Euleri teoreemi kasutada ka praegu. Esimese tõestuse sai matemaatik Adrian Marie Legendre.
Euleri valemi tõestus
Euler sõnastas polühedraalvalemi esm alt polüheedri teoreemina. Tänapäeval käsitletakse seda sageli seotud graafikute üldisemas kontekstis. Näiteks punktidest ja neid ühendavatest sirglõikudest koosnevate struktuuridena, mis asuvad samas osas. Augustin Louis Cauchy oli esimene inimene, kes selle olulise seose leidis. See oli Euleri teoreemi tõestus. Sisuliselt märkas ta, et kumera hulktahuka (või tänapäeval selliseks kutsutava) graafik on sfääri suhtes topoloogiliselt homöomorfne, sellel on tasapinnaline ühendatud graaf. Mis see on? Tasapinnaline graaf on selline, mis on tasapinnal joonestatud nii, et selle servad kohtuvad või lõikuvad ainult ühes tipus. Siit leiti seos Euleri teoreemi ja graafikute vahel.
Tulemuse olulisuse üks viide on see, et David Epstein suutis koguda seitseteist erinevat tõendit. Euleri hulktahulise valemi õigustamiseks on palju võimalusi. Teatud mõttes on kõige ilmsemad tõendid meetodid, mis kasutavad matemaatilist induktsiooni. Tulemust saab tõestadajoonistades selle piki graafi servade, tahkude või tippude arvu.
Rademacheri ja Toeplitzi tõend
Eriti atraktiivne on Rademacheri ja Toeplitzi järgmine tõestus, mis põhineb Von Staudti lähenemisel. Euleri teoreemi õigustamiseks oletame, et G on tasapinnale põimitud ühendatud graaf. Kui sellel on skeemid, siis on võimalik neist igaühest üks serv välja jätta nii, et säiliks omadus, et see seotuks jääb. Eemaldatud osade vahel on üks-ühele vastavus ühendatud graafile ilma sulgemiseta minemiseks ja nende vahel, mis ei ole lõpmatu serv. See uurimus viis "orienteeritavate pindade" klassifitseerimiseni nn Euleri karakteristiku järgi.
Jordaania kõver. Teoreem
Põhitees, mida kasutatakse otseselt või kaudselt graafide Euleri teoreemi polühedra valemi tõestuses, sõltub Jordani kõverast. See idee on seotud üldistamisega. See ütleb, et iga lihtne suletud kõver jagab tasapinna kolmeks: punktid sellel, selle sees ja väljaspool. Kuna huvi Euleri hulktahulise valemi vastu tekkis 19. sajandil, tehti palju katseid seda üldistada. See uurimus pani aluse algebralise topoloogia arengule ning ühendas selle algebra ja arvuteooriaga.
Moebiuse grupp
Varsti avastati, et mõnda pinda saab järjepidev alt "orienteerida" ainult lokaalselt, mitte globaalselt. Tuntud Möbiuse rühmitus on selle illustratsioonikspinnad. Selle avastas mõnevõrra varem Johann Listing. See mõiste hõlmab graafiku perekonna mõistet: kõige vähem deskriptoreid g. See tuleb lisada sfääri pinnale ja laiendatud pinnale saab selle kinnistada nii, et servad kohtuvad ainult tippudes. Selgub, et mis tahes orienteeruvat pinda Eukleidilises ruumis võib pidada teatud arvu käepidemetega sfääriks.
Euleri diagramm
Teadlane tegi veel ühe avastuse, mida kasutatakse siiani. See niinimetatud Euleri diagramm on ringide graafiline kujutis, mida tavaliselt kasutatakse hulkade või rühmade vaheliste suhete illustreerimiseks. Diagrammid sisaldavad tavaliselt värve, mis segunevad piirkondades, kus ringid kattuvad. Komplektid on kujutatud täpselt ringide või ovaalidena, kuigi nende jaoks võib kasutada ka muid kujundeid. Kaasamist kujutab ellipsi kattumine, mida nimetatakse Euleri ringideks.
Need esindavad hulgad ja alamhulgad. Erandiks on mittekattuvad ringid. Euleri diagrammid on tihed alt seotud teiste graafiliste kujutistega. Sageli on nad segaduses. Seda graafilist esitust nimetatakse Venni diagrammideks. Olenev alt kõnealustest komplektidest võivad mõlemad versioonid välja näha ühesugused. Kuid Venni diagrammides ei näita kattuvad ringid tingimata hulkade ühisust, vaid ainult võimalikku loogilist seost, kui nende sildid ei oleristuv ring. Mõlemad võimalused võeti kasutusele hulgateooria õpetamisel 1960. aastate uue matemaatilise liikumise osana.
Fermat' ja Euleri teoreemid
Euler jättis matemaatikasse märgatava jälje. Algebralist arvuteooriat rikastas tema järgi nimetatud teoreem. See on ka teise olulise avastuse tagajärg. See on nn üldine algebraline Lagrange'i teoreem. Euleri nime seostatakse ka Fermat' väikese teoreemiga. See ütleb, et kui p on algarv ja a on täisarv, mis ei jagu p-ga, siis:
ap-1 - 1 jagub p.
Mõnikord kannab sama avastus teistsugust nime, kõige sagedamini leidub seda väliskirjanduses. See kõlab nagu Fermat' jõuluteoreem. Asi on selles, et avastus sai teatavaks tänu teadlase kirjale, mis saadeti 25. detsembri 1640 eelõhtul. Aga väidet ennast on varemgi kohatud. Seda kasutas teine teadlane Albert Girard. Fermat püüdis ainult oma teooriat tõestada. Autor vihjab teises kirjas, et teda inspireeris lõpmatu laskumise meetod. Kuid ta ei esitanud mingeid tõendeid. Hiljem pöördus sama meetodi poole ka Eider. Ja pärast teda - paljud teised kuulsad teadlased, sealhulgas Lagrange, Gauss ja Minkosky.
Identiteedi omadused
Fermat' väikest teoreemi nimetatakse ka arvuteooriast tuleneva teoreemi erijuhuks Euleri tõttu. Selles teoorias loeb Euleri identiteedifunktsioon positiivseid täisarve kuni antud täisarvuni n. Nende suhtes on nad parimadn. Euleri teoreem arvuteoorias on kirjutatud kreeka tähega φ ja näeb välja nagu φ(n). Formaalsem alt saab seda defineerida kui täisarvude arvu k vahemikus 1 ≦ k ≦ n, mille suurim ühisjagaja gcd(n, k) on 1. Tähistust φ(n) võib nimetada ka Euleri phi funktsiooniks. Selle kuju täisarve k nimetatakse mõnikord koguarvuks. Arvuteooria keskmes on Euleri identiteedifunktsioon multiplikatiivne, mis tähendab, et kui kaks arvu m ja n on kaasalgarvud, siis φ(mn)=φ(m)φ(n). Samuti mängib see võtmerolli RSA krüpteerimissüsteemi määratlemisel.
Euleri funktsioon võeti kasutusele aastal 1763. Kuid tol ajal ei valinud matemaatik sellele ühtegi konkreetset sümbolit. 1784. aasta väljaandes uuris Euler seda funktsiooni üksikasjalikum alt ja valis selle tähistamiseks kreeka tähe π. James Sylvester lõi selle funktsiooni jaoks termini "kokku". Seetõttu nimetatakse seda ka Euleri kogusummaks. Positiivse täisarvu n, mis on suurem kui 1, kogu φ(n) on n-st väiksemate positiivsete täisarvude arv, mis on suhteliselt algarvud kuni n.φ(1) on määratletud kui 1. Euleri funktsioon või phi(φ) on väga oluline arvuteoreetiline funktsioon, mis on sügav alt seotud algarvude ja nn täisarvude järjestusega.
