Ruumikujude kaalumisel tekivad sageli probleemid nende pindala määramisel. Üks selline kujund on koonus. Vaatleme artiklis, milline on ümara põhjaga koonuse külgpind, aga ka kärbikoonusega.
Ümara põhjaga koonus
Enne koonuse külgpinna käsitlemist näitame, mis kujuga see on ja kuidas seda geomeetriliste meetodite abil saada.
Võtke täisnurkne kolmnurk ABC, kus AB ja AC on jalad. Paneme selle kolmnurga jalale AC ja pöörame ümber jala AB. Selle tulemusena kirjeldavad küljed AC ja BC allpool näidatud joonise kahte pinda.
Pööramisel saadud figuuri nimetatakse ümaraks sirgeks koonuseks. See on ümmargune, kuna selle alus on ring, ja sirge, kuna joonise ülaosast (punkt B) tõmmatud risti lõikub selle keskpunktis ringiga. Selle risti pikkust nimetatakse kõrguseks. Ilmselgelt on see võrdne jalaga AB. Kõrgust tähistatakse tavaliselt tähega h.
Peale kõrguse kirjeldavad vaadeldavat koonust veel kaks lineaarset tunnust:
- genereerimine ehk generatrix (hüpotenuus BC);
- aluse raadius (jalg AC).
Raadiust tähistatakse tähega r ja generaatorit g-ga. Seejärel saame Pythagorase teoreemi arvesse võttes üles kirjutada vaadeldava kujundi jaoks olulise võrdsuse:
g2=h2+ r2
Kooniline pind
Kõigi generatriksite kogusumma moodustab koonuse koonuse või külgpinna. Välimuselt on raske öelda, millisele lamedale figuurile see vastab. Viimast on oluline teada koonilise pinna pindala määramisel. Selle probleemi lahendamiseks kasutatakse pühkimismeetodit. See koosneb järgmisest: pind lõigatakse mõtteliselt mööda suvalist generatriksit ja seejärel volditakse see tasapinnal lahti. Selle pühkimismeetodiga moodustub järgmine tasane kujund.
Nagu arvata võis, vastab ring alusele, kuid ringikujuline sektor on kooniline pind, mille pindala meid huvitab. Sektor on piiratud kahe generatriksi ja kaarega. Viimase pikkus on täpselt võrdne aluse ümbermõõdu perimeetriga (pikkusega). Need omadused määravad unikaalselt kõik ringikujulise sektori omadused. Vahepealseid matemaatilisi arvutusi me ei anna, vaid paneme kohe kirja lõpliku valemi, mille abil saad arvutada koonuse külgpinna pindala. Valem on:
Sb=pigr
Koonilise pinna pindala Sb võrdub kahe parameetri ja Pi korrutisega.
Tüvikoonus ja selle pind
Kui võtame tavalise koonuse ja lõikame selle tipu paralleelse tasapinnaga maha, on ülejäänud kujund tüvikoonus. Selle külgpinda piirab kaks ümarat alust. Tähistame nende raadiused kui R ja r. Joonise kõrgust tähistame h-ga ja generaatorit g-ga. Allpool on selle joonise paberist väljalõige.
On näha, et külgpind ei ole enam ringikujuline sektor, see on pindal alt väiksem, kuna keskosa lõigati sellest ära. Arendus on piiratud nelja joonega, neist kaks on sirge lõigud-generaatorid, ülejäänud kaks on kaared kärbikoonuse aluste vastavate ringide pikkustega.
Külgpind Sbarvutatakse järgmiselt:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, raadiused ja kõrgus on seotud järgmise võrdsusega:
g2=h2+ (R - r)2
Arvude pindalade võrdsuse probleem
Arvestades koonust kõrgusega 20 cm ja aluse raadiusega 8 cm, tuleb leida tüvikoonuse kõrgus, mille külgpinna pindala on selle koonusega sama. Kärbitud kujund on ehitatud samale alusele ja ülemise aluse raadius on 3 cm.
Kõigepe alt paneme kirja koonuse ja kärbitud kujundi pindalade võrdsuse tingimus. Meil on:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Nüüd kirjutame iga kujundi generatriksi avaldised:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Asendage võrdsete pindalade valemis g1 ja g2 ning ruudustage vasak ja parem külg, saame:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Kust saame avaldise h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Me ei lihtsusta seda võrdsust, vaid lihts alt asendame tingimusest teadaolevad andmed:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8–3)2) ≈ 14,85 cm
Seega, et kujundite külgpindade pindala oleks võrdne, peavad kärbikoonusel olema järgmised parameetrid: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
