Funktsioonide ja nende graafikute uurimine on teema, millele gümnaasiumi õppekava raames pööratakse erilist tähelepanu. Matemaatika eksami profiilitasemes sisalduvad mõned matemaatilise analüüsi põhitõed - diferentseerimine. Mõnel koolilapsel on selle teemaga probleeme, kuna nad ajavad funktsiooni ja tuletise graafikud segi ning unustavad ära ka algoritmid. See artikkel käsitleb peamisi ülesannete tüüpe ja nende lahendamist.
Mis on funktsiooni väärtus?
Matemaatikafunktsioon on erivõrrand. See loob seose numbrite vahel. Funktsioon sõltub argumendi väärtusest.
Funktsiooni väärtus arvutatakse antud valemi järgi. Selleks asendage x asemel mis tahes argument, mis vastab kehtivate väärtuste vahemikule selles valemis, ja tehke vajalikud matemaatilised toimingud. Mida?
Kuidas leida funktsiooni väikseima väärtuse,kas kasutate graafiku funktsiooni?
Funktsiooni argumendist sõltuvuse graafilist esitust nimetatakse funktsioonigraafikuks. See on üles ehitatud teatud ühikulise segmendiga tasapinnale, kus muutuja või argumendi väärtus on kantud piki horisontaalset abstsisstellge ja vastav funktsiooni väärtus piki vertikaalset ordinaattelge.
Mida suurem on argumendi väärtus, seda rohkem asub see graafikul paremal. Ja mida suurem on funktsiooni enda väärtus, seda kõrgem on punkt.
Mida see ütleb? Funktsiooni väikseim väärtus on punkt, mis asub graafikul kõige madalamal. Selle leidmiseks diagrammi segmendis vajate:
1) Otsige üles ja märkige selle lõigu otsad.
2) Määrake visuaalselt, milline punkt sellel lõigul on madalaim.
3) Vastuseks kirjutage üles selle arvväärtus, mille saab määrata punkti projitseerimisega y-teljele.
Ekstreemumipunktid tuletisgraafikul. Kust otsida?
Samas, ülesannete lahendamisel antakse mõnikord graafik mitte funktsioonist, vaid selle tuletisest. Kogemata rumalate vigade vältimiseks on parem tingimused hoolik alt läbi lugeda, sest see sõltub sellest, kust peate äärmuslikke punkte otsima.
Niisiis, tuletis on funktsiooni hetkeline kasvukiirus. Geomeetrilise definitsiooni järgi vastab tuletis puutuja kaldele, mis on tõmmatud otse antud punkti.
On teada, et ekstreemumipunktides on puutuja paralleelne Ox-teljega. See tähendab, et selle kalle on 0.
Sellest võime järeldada, et äärmuspunktides asub tuletis x-teljel või kaob. Kuid lisaks muudab funktsioon nendes punktides oma suunda. See tähendab, et pärast tõusuperioodi hakkab see vähenema ja tuletis muutub vastav alt positiivsest negatiivseks. Või vastupidi.
Kui tuletis muutub positiivsest negatiivseks, on see maksimumpunkt. Kui negatiivsest muutub see positiivseks - miinimumpunkt.
Tähtis: kui ülesandes on vaja määrata miinimum- või maksimumpunkt, siis vastuseks kirjuta vastav väärtus piki abstsisstellge. Kui aga on vaja leida funktsiooni väärtus, siis tuleb esm alt asendada funktsiooniga argumendi vastav väärtus ja see välja arvutada.
Kuidas leida äärmuspunkte tuletise abil?
Vaatletud näited viitavad peamiselt eksami ülesandele number 7, mis hõlmab töötamist tuletise või antiderivaadi graafikuga. Kuid USE ülesanne 12 – funktsiooni väikseima väärtuse leidmine segmendis (mõnikord ka suurim) – täidetakse ilma joonisteta ja see nõuab matemaatilise analüüsi põhioskusi.
Selle sooritamiseks peate suutma leida tuletise abil äärmuspunkte. Nende leidmise algoritm on järgmine:
- Leia funktsiooni tuletis.
- Määrake see nullile.
- Leidke võrrandi juured.
- Kontrollige, kas saadud punktid on äärmus- või käändepunktid.
Selleks joonistage diagramm ja edasisaadud intervallid määravad tuletise märgid, asendades segmentidesse kuuluvad arvud tuletisega. Kui võrrandi lahendamisel saadi topeltkordsuste juured, on need käändepunktid.
Teoreemide rakendamisel määrake, millised punktid on minimaalsed ja millised maksimaalsed
Arvutage funktsiooni väikseim väärtus tuletise abil
Kuid pärast kõigi nende toimingute tegemist leiame piki x-telge minimaalsete ja maksimaalsete punktide väärtused. Aga kuidas leida segmendis funktsiooni väikseim väärtus?
Mida tuleb teha, et leida konkreetses punktis funktsioonile vastav arv? Peate selle valemiga asendama argumendi väärtuse.
Minimaalse ja maksimumi punktid vastavad segmendi funktsiooni väikseimale ja suurimale väärtusele. Seega tuleb funktsiooni väärtuse leidmiseks arvutada funktsioon saadud x väärtuste abil.
Tähtis! Kui ülesanne nõuab miinimum- või maksimumpunkti määramist, siis vastuseks tuleks kirjutada vastav väärtus piki x-telge. Kui aga on vaja leida funktsiooni väärtus, siis tuleb esm alt asendada funktsiooniga argumendi vastav väärtus ja sooritada vajalikud matemaatilised toimingud.
Mida ma peaksin tegema, kui sellel segmendil pole madalaid tasemeid?
Aga kuidas leida funktsiooni väikseimat väärtust lõigul, millel puuduvad äärmuspunktid?
See tähendab, et funktsioon monotoonselt väheneb või suureneb. Seejärel peate funktsiooniga asendama selle segmendi äärmiste punktide väärtuse. On kaks võimalust.
1) Olles arvutanudtuletis ja intervallid, millel see on positiivne või negatiivne, et teha järeldus, kas funktsioon antud segmendis väheneb või suureneb.
Nende kohaselt asendage funktsioonis argumendi suurem või väiksem väärtus.
2) Lihts alt asendage mõlemad punktid funktsiooniga ja võrrelge saadud funktsiooni väärtusi.
Millistes ülesannetes on tuletise leidmine valikuline
Reeglina tuleb USE määrangutes siiski leida tuletis. On vaid paar erandit.
1) Parabool.
Parabooli tipp leitakse valemiga.
Kui < 0, siis on parabooli harud suunatud allapoole. Ja selle tipp on maksimumpunkt.
Kui > 0, siis parabooli harud on suunatud ülespoole, on tipp minimaalne punkt.
Pärast parabooli tipupunkti arvutamist tuleks asendada selle väärtus funktsiooniga ja arvutada funktsioonile vastav väärtus.
2) Funktsioon y=tg x. Või y=ctg x.
Need funktsioonid suurenevad monotoonselt. Seega, mida suurem on argumendi väärtus, seda suurem on funktsiooni enda väärtus. Järgmisena vaatleme näidete abil, kuidas leida segmendi funktsiooni suurim ja väikseim väärtus.
Peamised ülesannete tüübid
Task: funktsiooni suurim või väikseim väärtus. Näide diagrammil.
Pildil näete funktsiooni f (x) tuletise graafikut intervallil [-6; 6]. Millises lõigu punktis [-3; 3] f(x) võtab väikseima väärtuse?
Niisiis, alustuseks peaksite valima määratud segmendi. Sellel võtab funktsioon üks kord nullväärtuse ja muudab oma märki - see on äärmuspunkt. Kuna tuletis negatiivsest muutub positiivseks, tähendab see, et see on funktsiooni miinimumpunkt. See punkt vastab argumendi 2 väärtusele.
Vastus: 2.
Jätkake näidete vaatamist. Ülesanne: leidke lõigul oleva funktsiooni suurim ja väikseim väärtus.
Leia funktsiooni y=(x - 8) väikseim väärtus ex-7 intervallil [6; 8].
1. Võtke kompleksfunktsiooni tuletis.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Võrdsusta saadud tuletis nulliga ja lahenda võrrand.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0 või ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, juurteta
3. Asendage funktsiooni äärmuslike punktide väärtused ja saadud võrrandi juured.
y (6)=(6–8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7–8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8–8) e8-7=0e1=0
Vastus: -1.
Seega käsitleti selles artiklis peamist teooriat selle kohta, kuidas leida segmendil funktsiooni väikseim väärtus, mis on vajalik USE ülesannete edukaks lahendamiseks spetsialiseeritud matemaatikas. Ka matemaatika elemendidanalüüsi kasutatakse eksami C-osa ülesannete lahendamisel, kuid ilmselgelt esindavad need erinevat keerukusastet ja nende lahenduste algoritme on raske ühe materjali raamidesse mahutada.
