Kolmnurk on üks levinumaid geomeetrilisi kujundeid, millega oleme tuttavad juba põhikoolis. Küsimus, kuidas leida kolmnurga pindala, seisab silmitsi iga geomeetriatundide õpilasega. Niisiis, millised on antud figuuri ala leidmise tunnused, mida saab eristada? Selles artiklis käsitleme sellise ülesande täitmiseks vajalikke põhivalemeid, samuti analüüsime kolmnurkade tüüpe.
Kolmnurkade tüübid
Kolmnurga pindala saab leida täiesti erineval viisil, sest geomeetrias on rohkem kui ühte tüüpi kolme nurka sisaldavaid kujundeid. Nende liikide hulka kuuluvad:
- Äge kolmnurk.
- Obt-nurkne.
- Võrdkülgne (õige).
- Ristnurkne kolmnurk.
- Vihhaarne.
Vaatleme iga olemasolevat kolmnurga tüüpi lähem alt.
Ägekolmnurk
Sellist geomeetrilist kujundit peetakse geomeetriliste ülesannete lahendamisel kõige levinumaks. Kui on vaja joonistada suvaline kolmnurk, tuleb see valik appi.
Nagu nimigi viitab terava kolmnurga puhul, on kõik nurgad teravnurgad ja summeeritud kuni 180°.
Obtnurkne kolmnurk
See kolmnurk on samuti väga levinud, kuid mõnevõrra vähem levinud kui teravnurkne kolmnurk. Näiteks kolmnurkade lahendamisel (st tead selle mitut külge ja nurki ning pead leidma ülejäänud elemendid) tuleb vahel määrata, kas nurk on nüri või mitte. Nürinurga koosinus on negatiivne arv.
Nürises kolmnurgas ületab ühe nurga väärtus 90°, seega võivad ülejäänud kaks nurka olla väikesed (näiteks 15° või isegi 3°).
Seda tüüpi kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma mõningaid nüansse, millest räägime hiljem.
Regulaarsed ja võrdhaarsed kolmnurgad
Tavaline hulknurk on kujund, mis sisaldab n nurka ning kõik küljed ja nurgad on võrdsed. See on täisnurkne kolmnurk. Kuna kolmnurga kõigi nurkade summa on 180°, on kõik kolm nurka 60°.
Regulaarset kolmnurka nimetatakse selle omaduse tõttu ka võrdkülgseks kujundiks.
Samuti väärib märkimist, et intavalist kolmnurka saab kirjutada ainult ühe ringiga ja selle ümber saab kirjutada ainult ühe ringi ning nende keskpunktid asuvad ühes punktis.
Peale võrdkülgse tüübi saab valida ka võrdhaarse kolmnurga, mis sellest veidi erineb. Sellises kolmnurgas on kaks külge ja kaks nurka üksteisega võrdsed ning kolmas külg (millega külgnevad võrdsed nurgad) on alus.
Joonis näitab võrdhaarset kolmnurka DEF, mille nurgad D ja F on võrdsed ning DF on alus.
Täisnurkne kolmnurk
Täisnurkne kolmnurk on nimetatud nii, kuna üks selle nurkadest on täisnurk, st võrdne 90°-ga. Ülejäänud kaks nurka annavad kokku 90°.
Sellise kolmnurga suurim külg, mis asub 90° nurga vastas, on hüpotenuus, ülejäänud kaks külge on aga jalad. Seda tüüpi kolmnurkade puhul kehtib Pythagorase teoreem:
Jalgade pikkuste ruutude summa võrdub hüpotenuusi pikkuse ruuduga.
Joonis näitab täisnurkset kolmnurka BAC hüpotenuusiga AC ning jalgadega AB ja BC.
Täisnurgaga kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma selle jalgade arvväärtusi.
Liikume selle joonise pindala leidmise valemite juurde.
Põhilised alavalemid
Geomeetrias on kaks valemit, mis sobivad enamiku kolmnurkade pindala leidmiseks, nimelt teravnurksete, nürinurksete, korrapäraste javõrdhaarsed kolmnurgad. Analüüsime neid kõiki.
Kõrval ja kõrgusel
See valem on universaalne vaadeldava joonise ala leidmiseks. Selleks piisab, kui on teada külje pikkus ja sellele tõmmatud kõrguse pikkus. Valem ise (pool aluse ja kõrguse korrutist) näeb välja selline:
S=½AH, kus A on antud kolmnurga külg ja H on kolmnurga kõrgus.
Näiteks teravnurkse kolmnurga ACB pindala leidmiseks peate korrutama selle külje AB kõrgusega CD ja jagama saadud väärtuse kahega.
Siiski pole sel viisil kolmnurga pindala alati lihtne leida. Näiteks selle valemi kasutamiseks nürinurkse kolmnurga jaoks peate jätkama selle ühte külge ja alles pärast seda joonistama sellele kõrguse.
Praktikas kasutatakse seda valemit sagedamini kui teisi.
Kahel küljel ja nurgas
See valem, nagu ka eelmine, sobib enamiku kolmnurkade jaoks ja on oma tähenduses kolmnurga külje ja kõrguse järgi pindala leidmise valemi tagajärg. See tähendab, et vaadeldava valemi saab eelmisest hõlpsasti tuletada. Tema sõnastus näeb välja selline:
S=½sinOAB, kus A ja B on kolmnurga küljed ning O on nurk külgede A ja B vahel.
Tuletame meelde, et nurga siinust saab vaadata spetsiaalses tabelis, mis on nime saanud väljapaistva nõukogude matemaatiku V. M. Bradise järgi.
Ja nüüd liigume edasi teiste valemite juurde,sobib ainult erakordset tüüpi kolmnurkade jaoks.
Täisnurkse kolmnurga pindala
Lisaks universaalsele valemile, mis sisaldab vajadust joonistada kolmnurga kõrgus, saab täisnurka sisaldava kolmnurga pindala leida selle jalgade järgi.
Seega on täisnurka sisaldava kolmnurga pindala pool selle jalgade korrutisest või:
S=½ab, kus a ja b on täisnurkse kolmnurga jalad.
Tavaline kolmnurk
Seda tüüpi geomeetrilised kujundid erinevad selle poolest, et selle pindala võib leida ainult selle ühe külje määratud väärtusega (kuna tavalise kolmnurga kõik küljed on võrdsed). Niisiis, olles täitnud ülesande "leida kolmnurga pindala, kui küljed on võrdsed", peate kasutama järgmist valemit:
S=A2√3/4, kus A on võrdkülgse kolmnurga külg.
Heroni valem
Viimane võimalus kolmnurga pindala leidmiseks on Heroni valem. Selle kasutamiseks peate teadma joonise kolme külje pikkust. Heroni valem näeb välja selline:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), kus a, b ja c on selle kolmnurga küljed.
Mõnikord antakse ülesanne: "korrapärase kolmnurga pindala – leidke selle külje pikkus." Sel juhul tuleb tavalise kolmnurga pindala leidmiseks kasutada juba tuntud valemit ja tuletada sellest külje (või selle ruudu) väärtus:
A2=4S / √3.
Eksamiprobleemid
GIA ülesannetesMatemaatikas on palju valemeid. Lisaks on sageli vaja leida ruudulisel paberil kolmnurga pindala.
Sellisel juhul on kõige mugavam joonistada joonise ühe külje kõrgus, määrata selle pikkus lahtrite kaupa ja kasutada pindala leidmiseks universaalset valemit:
S=½AH.
Seega, pärast artiklis esitatud valemite uurimist, ei teki teil probleeme mingisuguse kolmnurga pindala leidmisega.
