Kolmnurk on lihtsaim tasapinnal suletud kujund, mis koosneb ainult kolmest omavahel ühendatud segmendist. Geomeetriaülesannetes on sageli vaja määrata selle joonise pindala. Mida peate selleks teadma? Artiklis vastame küsimusele, kuidas leida kolmnurga pindala kolmest küljest.
Üldvalem
Iga õpilane teab, et kolmnurga pindala arvutatakse selle mis tahes külje pikkuse korrutisega - a poole kõrgusega - h, mis on langetatud valitud küljele. Allpool on vastav valem: S=ah/2.
Seda avaldist saab kasutada, kui on teada vähem alt kaks külge ja nendevahelise nurga väärtus. Sel juhul on kõrgust h lihtne arvutada trigonomeetriliste funktsioonide, näiteks siinuse abil. Kuid mitte kõik ei tea, kuidas kolmnurga kolme külje pindala leida.
Heroni valem
See valem on vastus küsimusele, kuidaskolm külge leiavad kolmnurga pindala. Enne kirja panemist tähistame suvalise kujundi lõikude pikkused a, b ja c. Heroni valem on kirjutatud järgmiselt: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Kus p on joonise poolperimeeter, st p=(a+b+c)/2.
Vaatamata näilisele kohmakusele, on ül altoodud avaldis piirkonna S jaoks lihtne meelde jätta. Selleks peate esm alt arvutama kolmnurga poolperimeetri, seejärel lahutama sellest ühe joonise külje pikkuse, korrutama kõik saadud erinevused ja poolperimeetri enda. Lõpuks võtke korrutise ruutjuur.
See valem on saanud nime Aleksandria Heroni järgi, kes elas meie ajastu alguses. Kaasaegne ajalugu usub, et just see filosoof kasutas esimest korda seda väljendit vastavate arvutuste tegemiseks. See valem on avaldatud tema ajakirjas Metrica, mis pärineb aastast 60 pKr. Pange tähele, et mõned Heronist kaks sajandit varem elanud Archimedese teosed sisaldavad märke selle kohta, et kreeka filosoof teadis juba valemit. Lisaks teadsid iidsed hiinlased leida ka kolmnurga pindala, teades kolme külge.
Oluline on märkida, et probleemi saab lahendada Heroni valemi olemasolu teadmata. Selleks tõmmake kolmnurka paar kõrgust ja kasutage eelmise lõigu üldvalemit, koostades sobiva võrrandisüsteemi.
Heroni avaldist saab kasutada suvaliste hulknurkade pindalade arvutamiseks pärast nende jagamistkolmnurgad ja saadud diagonaalide pikkuste arvutamine.
Näide probleemi lahendamisest
Teades, kuidas leida kolmnurga pindala kolmest küljest, kinnitame oma teadmisi järgmise ülesande lahendamisega. Olgu joonise küljed 5 cm, 4 cm ja 3 cm. Leidke pindala.
Kolmnurga kolm külge on teada, nii et saate kasutada Heroni valemit. Arvutame poolperimeetri ja vajalikud erinevused, meil on:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1 cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Siis saame pindala: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Ülesande tingimuses antud kolmnurk on täisnurkne, mida on lihtne kontrollida, kui kasutada Pythagorase teoreemi. Kuna sellise kolmnurga pindala on pool jalgade korrutisest, saame: S=43/2=6 cm2.
Saadud väärtus on sama, mis Heroni valemi puhul, mis kinnitab viimase kehtivust.
