Kolmnurk on hulknurk, millel on kolm külge (kolm nurka). Kõige sagedamini tähistatakse külgi väikeste tähtedega, mis vastavad vastastippu tähistavatele suurtähtedele. Selles artiklis tutvume nende geomeetriliste kujundite tüüpidega, teoreemiga, mis määrab kolmnurga nurkade summa.
Vaated nurkade järgi
Eristatakse järgmist tüüpi kolme tipuga hulknurki:
- äge nurga all, mille kõik nurgad on teravad;
- ristkülikukujuline, millel on üks täisnurk, samas kui selle moodustavaid külgi nimetatakse jalgadeks ja seda külge, mis asetseb täisnurga vastas, nimetatakse hüpotenuusiks;
- nüri, kui üks nurk on nüri;
- võrdhaarsed, mille kaks külge on võrdsed ja neid nimetatakse külgmisteks ja kolmas on kolmnurga alus;
- võrdkülgsed, millel on kõik kolm võrdset külge.
Atribuudid
Need tõstavad esile peamised omadused, mis on iseloomulikud igat tüüpi kolmnurkadele:
- suurema külje vastas on alati suurem nurk ja vastupidi;
- võrdse suurusega vastasküljed on võrdsed nurgad ja vastupidi;
- igal kolmnurgal on kaks teravnurka;
- välisnurk on suurem kui mis tahes sisenurk, mis ei külgne sellega;
- suvalise kahe nurga summa on alati väiksem kui 180 kraadi;
- välisnurk võrdub kahe ülejäänud nurga summaga, mis sellega ei ristu.
Kolmnurga nurkade summa teoreem
Teoreem ütleb, et kui liita kokku antud geomeetrilise kujundi kõik nurgad, mis asub Eukleidilise tasapinnal, siis on nende summa 180 kraadi. Proovime seda teoreemi tõestada.
Teeme suvalise kolmnurga KMN tippudega.
Joonistage läbi tipu M sirgjoonega KN paralleelne sirge (seda joont nimetatakse ka eukleidiliseks sirgeks). Märgistame sellele punkti A nii, et punktid K ja A asuvad sirge MN eri külgedel. Saame võrdsed nurgad AMN ja KNM, mis, nagu sisemisedki, asetsevad risti ja on moodustatud sekant MN koos paralleelsete sirgjoontega KN ja MA. Sellest järeldub, et tippudes M ja H asuva kolmnurga nurkade summa on võrdne nurga KMA suurusega. Kõik kolm nurka moodustavad summa, mis on võrdne nurkade KMA ja MKN summaga. Kuna need nurgad on sisemiselt ühepoolsedparalleelsed sirgjooned KN ja MA, millel on lõik KM, nende summa on 180 kraadi. Teoreem tõestatud.
Tagajärg
Eespool tõestatud teoreemist tuleneb järgmine järeldus: igal kolmnurgal on kaks teravnurka. Selle tõestamiseks oletame, et antud geomeetrilisel kujundil on ainult üks teravnurk. Samuti võib eeldada, et ükski nurk ei ole terav. Sel juhul peab olema vähem alt kaks nurka, mis on 90 kraadi või suuremad. Kuid siis on nurkade summa suurem kui 180 kraadi. Kuid see ei saa olla, sest teoreemi kohaselt on kolmnurga nurkade summa 180 ° - ei rohkem ega vähem. Seda tuli tõestada.
Välisnurga kinnistu
Mis on kolmnurga välisnurkade summa? Sellele küsimusele saab vastata kahel viisil. Esimene on see, et on vaja leida nurkade summa, mis võetakse igast tipust üks, see tähendab kolm nurka. Teine tähendab, et peate leidma tippude kõigi kuue nurga summa. Esiteks käsitleme esimest võimalust. Seega sisaldab kolmnurk kuus välisnurka – kaks igas tipus.
Igal paaril on võrdsed nurgad, kuna need on vertikaalsed:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Pealegi on teada, et kolmnurga välisnurk võrdub kahe sisenurga summaga, mis kolmnurgaga ei ristu. Seetõttu
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Sellest selgub, et väliste summanurgad, mis võetakse igast tipust üks, on võrdsed:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Arvestades, et nurkade summa on 180 kraadi, võib väita, et ∟A + ∟B + ∟C=180°. Ja see tähendab, et ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Kui kasutada teist võimalust, on kuue nurga summa vastav alt kaks korda suurem. See tähendab, et kolmnurga välisnurkade summa on:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Täisnurkne kolmnurk
Mis on täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa? Vastus sellele küsimusele tuleneb jällegi teoreemist, mis väidab, et kolmnurga nurgad annavad kokku 180 kraadi. Ja meie väide (omadus) kõlab nii: täisnurkses kolmnurgas annavad teravnurgad kokku 90 kraadi. Tõestame selle õigsust.
Andke meile kolmnurk KMN, milles ∟Н=90°. On vaja tõestada, et ∟K + ∟M=90°.
Niisiis vastav alt nurkade summa teoreemile ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Meie tingimus ütleb, et ∟Н=90°. Nii selgub, ∟K + ∟M + 90°=180°. See tähendab, et ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Seda pidime tõestama.
Lisaks ül altoodud täisnurkse kolmnurga omadustele saate lisada järgmise:
- jalgade vastas olevad nurgad on teravad;
- hüpotenuus on rohkem kolmnurkne kui ükski jalg;
- jalgade summa on suurem kui hüpotenuus;
- jalgkolmnurk, mis asub 30-kraadise nurga vastas, on pool hüpotenuusist, st võrdne poolega sellest.
Selle geomeetrilise kujundi teise omadusena võib eristada Pythagorase teoreemi. Ta väidab, et kolmnurgas, mille nurk on 90 kraadi (ristkülikukujuline), võrdub jalgade ruutude summa hüpotenuusi ruuduga.
Võrdhaarse kolmnurga nurkade summa
Varem ütlesime, et võrdhaarne on kolme tipuga hulknurk, millel on kaks võrdset külge. See antud geomeetrilise kujundi omadus on teada: nurgad selle aluses on võrdsed. Tõestame seda.
Võtke kolmnurk KMN, mis on võrdhaarne, KN on selle alus.
Peame tõestama, et ∟К=∟Н. Niisiis, oletame, et MA on meie kolmnurga KMN poolitaja. MCA kolmnurk, võttes arvesse esimest võrdusmärki, on võrdne MCA kolmnurgaga. Nimelt on tingimusega antud, et KM=NM, MA on ühine pool, ∟1=∟2, kuna MA on poolitaja. Kasutades asjaolu, et need kaks kolmnurka on võrdsed, saame väita, et ∟K=∟Н. Seega on teoreem tõestatud.
Aga meid huvitab, mis on kolmnurga (võrdhaarsete) nurkade summa. Kuna selles osas sellel oma eripärad puuduvad, siis lähtume varem käsitletud teoreemist. See tähendab, et võime öelda, et ∟K + ∟M + ∟H=180° või 2 x ∟K + ∟M=180° (kuna ∟K=∟H). Me ei tõesta seda omadust, kuna kolmnurga summa teoreem ise tõestati varem.
V.a arutatuomadused kolmnurga nurkade kohta, on ka selliseid olulisi väiteid:
- võrdhaarses kolmnurgas on alusele langetatud kõrgus nii mediaan, võrdsete külgede vahelise nurga poolitaja kui ka selle aluse sümmeetriatelg;
- mediaanid (poolitajad, kõrgused), mis on tõmmatud sellise geomeetrilise kujundi külgedele, on võrdsed.
Võrdkülgne kolmnurk
Seda nimetatakse ka õigeks, see on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. Seetõttu on ka nurgad võrdsed. Igaüks neist on 60 kraadi. Tõestame seda omadust.
Oletame, et meil on kolmnurk KMN. Teame, et KM=NM=KN. Ja see tähendab, et võrdhaarse kolmnurga aluses asuvate nurkade omaduse järgi on ∟К=∟М=∟Н. Kuna teoreemi järgi on kolmnurga nurkade summa ∟К + ∟М + ∟Н=180°, siis 3 x ∟К=180° või ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Seega on väide tõestatud.
Nagu ül altoodud teoreemil põhinevast tõestusest näha, on võrdkülgse kolmnurga nurkade summa, nagu iga teise kolmnurga nurkade summa, 180 kraadi. Seda teoreemi pole vaja uuesti tõestada.
Võrdkülgsele kolmnurgale on iseloomulikud ka sellised omadused:
- mediaan, poolitaja, kõrgus sellisel geomeetrilisel joonisel on samad ja nende pikkus arvutatakse järgmiselt (a x √3): 2;
- Kui kirjeldate ringi ümber antud hulknurga, siis on selle raadiusvõrdub (a x √3): 3;
- kui kirjutate ringi võrdkülgsesse kolmnurka, on selle raadius (a x √3): 6;
- selle geomeetrilise kujundi pindala arvutatakse järgmise valemiga: (a2 x √3): 4.
Obtnurkne kolmnurk
Nüri kolmnurga definitsiooni järgi on üks selle nurkadest vahemikus 90–180 kraadi. Kuid arvestades, et selle geomeetrilise kujundi ülejäänud kaks nurka on teravad, võime järeldada, et need ei ületa 90 kraadi. Seetõttu töötab kolmnurga nurkade summa teoreem nüri kolmnurga nurkade summa arvutamisel. Selgub, et eelmainitud teoreemile tuginedes võib julgelt väita, et nüri kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. Jällegi, seda teoreemi ei ole vaja uuesti tõestada.
