Jalad ja hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga küljed. Esimesed on lõigud, mis külgnevad täisnurgaga, ja hüpotenuus on joonise pikim osa ja asub nurga vastas nurga all 90o. Pythagorase kolmnurk on selline, mille küljed on võrdsed naturaalarvudega; nende pikkusi nimetatakse sel juhul "Pythagorase kolmikuks".
Egiptuse kolmnurk
Selleks, et praegune põlvkond saaks õppida geomeetriat sellisel kujul, nagu seda praegu koolis õpetatakse, on see arenenud juba mitu sajandit. Põhimõte on Pythagorase teoreem. Täisnurkse kolmnurga (kujund on tuntud üle maailma) küljed on 3, 4, 5.
Vähesed inimesed pole tuttavad fraasiga "Pythagorase püksid on igas suunas võrdsed." Tegelikult kõlab teoreem aga järgmiselt: c2 (hüpotenuusi ruut)=a2+b2(ruutude jalgade summa).
Matemaatikute seas nimetatakse kolmnurka külgedega 3, 4, 5 (cm, m jne) "Egiptuseks". Huvitav on see, et joonisele kantud ringi raadius on võrdne ühega. Nimi tekkis umbes 5. sajandil eKr, kui Kreeka filosoofid reisisid Egiptusesse.
Püramiidide ehitamisel kasutasid arhitektid ja geodeedid suhet 3:4:5. Sellised konstruktsioonid osutusid proportsionaalseteks, silmailu meeldivateks ja ruumikateks ning kukkusid harva kokku.
Täisnurga ehitamiseks kasutasid ehitajad köit, millele seoti 12 sõlme. Sel juhul kasvas täisnurkse kolmnurga konstrueerimise tõenäosus 95%ni.
Võrdsete arvude märgid
- Täisnurkse kolmnurga teravnurk ja suur külg, mis on võrdsed teise kolmnurga samade elementidega, on vaieldamatu kujundite võrdsuse märk. Võttes arvesse nurkade summat, on lihtne tõestada, et ka teised teravnurgad on võrdsed. Seega on kolmnurgad teises tunnuses identsed.
- Kui kaks kujundit on üksteise peale asetatud, pöörake neid nii, et need koos muutuksid üheks võrdhaarseks kolmnurgaks. Selle omaduse järgi on küljed või õigemini hüpotenuusid võrdsed, nagu ka nurgad põhjas, mis tähendab, et need arvud on samad.
Esimese märgiga on väga lihtne tõestada, et kolmnurgad on tõesti võrdsed, peaasi, et kaks väiksemat külge (ehk jalad) oleksid omavahel võrdsed.
Kolmnurgad on samad II tunnuses, mille põhiolemus on jala ja teravnurga võrdsus.
Täisnurgaga kolmnurga omadused
Õige nurga alt langetatud kõrgus jagab joonise kaheks võrdseks osaks.
Täisnurkse kolmnurga külgi ja selle mediaani on lihtne ära tunda reegli järgi: mediaan, mis on langetatud hüpotenuusile, võrdub poolega sellest. Figuuri pindala saab leida nii Heroni valemi kui ka väitega, et see võrdub poolega jalgade korrutisest.
Täisnurkses kolmnurgas on nurkade omadused punktides 30o, 45o ja 60o.
- Kui nurk on 30o, pidage meeles, et vastasjalg on võrdne 1/2 suurima küljega.
- Kui nurk on 45o, siis on ka teine teravnurk 45o. See viitab sellele, et kolmnurk on võrdhaarne ja selle jalad on samad.
- Nurga 60o omadus on see, et kolmanda nurga kraadimõõt on 30o.
Piirkonda on lihtne välja selgitada ühe kolmest valemist:
- läbi kõrguse ja külje, millele see langeb;
- Heroni valemi järgi;
- külgedel ja nendevahelisel nurgal.
Täisnurkse kolmnurga küljed või õigemini jalad koonduvad kahe kõrgusega. Kolmanda leidmiseks on vaja arvestada saadud kolmnurgaga ja seejärel Pythagorase teoreemi abil arvutada vajalik pikkus. Lisaks sellele valemile on olemas ka kahekordse ala ja hüpotenuusi pikkuse suhe. Õpilaste seas on kõige levinum väljend esimene, kuna see nõuab vähem arvutusi.
Ristkülikule rakendatud teoreemidkolmnurk
Täisnurkse kolmnurga geomeetria hõlmab selliseid teoreeme nagu:
- Püthagorase teoreem. Selle olemus seisneb selles, et hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga. Eukleidilises geomeetrias on see seos võtmetähtsusega. Valemit saab kasutada siis, kui on antud kolmnurk, näiteks SNH. SN on hüpotenuus ja see tuleb leida. Siis SN2=NH2+HS2.
- Koosinusteoreem. Üldistab Pythagorase teoreemi: g2=f2+s2-2fscos nendevahelise nurga kohta. Näiteks antud kolmnurk DOB. Jalg DB ja hüpotenuus DO on teada, vaja on leida OB. Siis on valem järgmine: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos nurk D. Sellel on kolm tagajärge: kolmnurga nurk on terav, kui kahe külje ruutude summast lahutada kolmandiku pikkuse ruut, peab tulemus olema väiksem kui null. Nurk on nüri, kui see avaldis on suurem kui null. Nurk on täisnurk, kui see võrdub nulliga.
- Siinusteoreem. See näitab külgede ja vastasnurkade suhet. Teisisõnu, see on külgede pikkuste ja vastasnurkade siinuste suhe. Kolmnurgas HFB, kus hüpotenuus on HF, on tõsi: HF/sin nurga B=FB/sin nurga H=HB/sin nurga F.
