Üks kujundeid, mis ruumis geomeetriliste ülesannete lahendamisel ilmneb, on koonus. Erinev alt hulktahukast kuulub see pöörlevate figuuride klassi. Vaatleme artiklis, mida see geomeetrias tähendab, ja uurime koonuse erinevate osade omadusi.
Koonus geomeetrias
Oletame, et tasapinnal on mingi kõver. See võib olla parabool, ring, ellips ja nii edasi. Võtke punkt, mis ei kuulu määratud tasapinnale, ja ühendage sellega kõik kõvera punktid. Saadud pinda nimetatakse koonuseks või lihts alt koonuseks.
Kui algkõver on suletud, siis saab koonilise pinna täita ainega. Sel viisil saadud kujund on kolmemõõtmeline keha. Seda nimetatakse ka koonuseks. Allpool on näidatud mitu paberikoonust.
Kooniline pind on igapäevaelus. Näiteks jäätisetorbik või triibuline liikluskoonus on sellise kujuga, mis on mõeldud juhtide tähelepanu köitmiseks jajalakäijad.
Koonuste tüübid
Nagu võite arvata, erinevad vaadeldavad arvud üksteisest kõvera tüübi järgi, millel need on moodustatud. Näiteks on ümmargune koonus või elliptiline. Seda kõverat nimetatakse joonise aluseks. Siiski pole aluse kuju ainus omadus, mis võimaldab koonuseid klassifitseerida.
Teine oluline tunnus on kõrguse asend aluse suhtes. Koonuse kõrgus on sirgjooneline segment, mis on langetatud joonise ülaosast aluse tasapinnale ja on selle tasapinnaga risti. Kui kõrgus lõikub alusega geomeetrilises keskpunktis (näiteks ringi keskel), on koonus sirge, kui risti segment langeb aluse mõnda teise punkti või sellest kaugemale, siis on joonis kaldus.
Edaspidi käsitleme artiklis ainult ümarat sirget koonust vaadeldava figuuriklassi ereda esindajana.
Koonuselementide geomeetrilised nimetused
Eelpool öeldi, et koonusel on alus. Seda piirab ring, mida nimetatakse koonuse juhikuks. Segmente, mis ühendavad juhiku punktiga, mis ei asu aluse tasapinnas, nimetatakse generaatoriteks. Generaatorite kõigi punktide kogumit nimetatakse joonise koonus- või külgpinnaks. Ümmarguse paremkoonuse korral on kõik generaatorid ühepikkused.
Punkti, kus generaatorid ristuvad, nimetatakse joonise tipuks. Erinev alt hulktahukast on koonusel üks tipp ja nrserv.
Joonist, mis läbib joonise ülaosa ja ringi keskpunkti, nimetatakse teljeks. Telg sisaldab sirge koonuse kõrgust, seega moodustab see aluse tasapinnaga täisnurga. See teave on oluline koonuse aksiaalse lõigu pindala arvutamisel.
Ümmargune sirge koonus – pöörlemisnäitaja
Vaatatav koonus on üsna sümmeetriline kujund, mille võib saada kolmnurga pööramise tulemusena. Oletame, et meil on täisnurgaga kolmnurk. Koonuse saamiseks piisab selle kolmnurga pööramisest ümber ühe jala, nagu on näidatud alloleval joonisel.
On näha, et pöörlemistelg on koonuse telg. Üks jalg on võrdne figuuri kõrgusega ja teisest jalast saab aluse raadius. Kolmnurga hüpotenuus pöörlemise tulemusena kirjeldab koonusekujulist pinda. Sellest saab koonuse generatrix.
Seda ümmarguse sirge koonuse saamise meetodit on mugav kasutada joonise lineaarsete parameetrite: kõrguse h, ümmarguse aluse raadiuse r ja juhiku g vahelise matemaatilise seose uurimiseks. Täisnurkse kolmnurga omadustest tuleneb vastav valem. See on loetletud allpool:
g2=h2+ r2.
Kuna meil on üks võrrand ja kolm muutujat, tähendab see, et ümara koonuse parameetrite unikaalseks määramiseks peate teadma kahte suurust.
Koonuse lõiked tasapinnaga, mis ei sisalda kujundi tippu
Figuuri lõikude konstrueerimise küsimus ei oletriviaalne. Fakt on see, et koonuse läbilõike kuju pinna järgi sõltub kujundi ja seikandi suhtelisest asendist.
Oletame, et ristame koonuse tasapinnaga. Mis on selle geomeetrilise operatsiooni tulemus? Sektsiooni kuju valikud on näidatud alloleval joonisel.
Roosa osa on ring. See moodustub joonise ristumise tulemusena tasapinnaga, mis on paralleelne koonuse põhjaga. Need on joonise teljega risti olevad lõigud. Lõiketasapinna kohale moodustatud kujund on koonus, mis on sarnane algsele, kuid mille põhjas on väiksem ring.
Roheline osa on ellips. See saadakse siis, kui lõiketasand ei ole alusega paralleelne, vaid lõikub ainult koonuse külgpinnaga. Tasapinna koh alt ära lõigatud kuju nimetatakse elliptiliseks kaldus koonuseks.
Sinised ja oranžid jaotised on vastav alt paraboolsed ja hüperboolsed. Nagu jooniselt näha, saadakse need siis, kui lõiketasapind lõikub samaaegselt joonise külgpinna ja põhjaga.
Arvestatud koonuse lõikude pindalade määramiseks on vaja kasutada tasapinnal vastava joonise valemeid. Näiteks ringi puhul on see arv Pi korrutatuna raadiuse ruuduga ja ellipsi korral on see Pi ning väiksema ja suurema pooltelje pikkuse korrutis:
ring: S=pir2;
ellips: S=piab.
Koonuse ülaosa sisaldavad lõigud
Nüüd kaaluge lõikude valikuid, mis tekivad, kui lõiketasapind onläbima koonuse ülaosa. Võimalikud on kolm juhtumit:
- Jaotis on üks punkt. Näiteks tippu läbiv ja alusega paralleelne tasapind annab just sellise lõigu.
- Lõige on sirge. Selline olukord tekib siis, kui tasapind puutub kokku koonilise pinnaga. Lõike sirgjoon on sel juhul koonuse generaator.
- Aksiaalne sektsioon. See moodustub siis, kui tasapind sisaldab mitte ainult joonise ülaosa, vaid ka kogu selle telge. Sel juhul on tasapind risti ümara põhjaga ja jagab koonuse kaheks võrdseks osaks.
Ilmselt on kahte esimest tüüpi sektsioonide pindalad võrdsed nulliga. Mis puudutab 3. tüübi koonuse ristlõike pindala, siis seda küsimust käsitletakse üksikasjalikum alt järgmises lõigus.
Aksiaalne sektsioon
Eelpool märgiti, et koonuse telglõik on kujund, mis tekib siis, kui koonust lõikub selle telge läbiv tasapind. On lihtne arvata, et see jaotis esindab alloleval joonisel näidatud joonist.
See on võrdhaarne kolmnurk. Koonuse telglõike tipp on selle kolmnurga tipp, mis on moodustatud identsete külgede lõikepunktist. Viimased on võrdsed koonuse generatriksi pikkusega. Kolmnurga alus on koonuse aluse läbimõõt.
Koonuse telglõike pindala arvutamine taandatakse saadud kolmnurga pindala leidmiseks. Kui algselt on teada aluse r raadius ja koonuse kõrgus h, siis vaadeldava lõigu pindala S on:
S=hr.
Seeavaldis tuleneb kolmnurga pindala standardvalemi rakendamisest (pool kõrguse korrutisest alusega).
Pange tähele, et kui koonuse generatriks on võrdne selle ümara aluse läbimõõduga, siis on koonuse telglõike võrdkülgne kolmnurk.
Kolmnurkne lõige tekib siis, kui lõiketasand on risti koonuse põhjaga ja läbib selle telge. Iga teine nimetatud tasapinnaga paralleelne tasapind annab lõikes hüperbooli. Kui aga tasapind sisaldab koonuse tippu ja lõikub selle alusega mitte läbi diameetri, on tulemuseks ka võrdhaarne kolmnurk.
Koonuse lineaarsete parameetrite määramise probleem
Näitame, kuidas kasutada aksiaalse lõigu pindala jaoks kirjutatud valemit geomeetrilise ülesande lahendamiseks.
On teada, et koonuse telglõike pindala on 100 cm2. Saadud kolmnurk on võrdkülgne. Mis on koonuse kõrgus ja selle aluse raadius?
Kuna kolmnurk on võrdkülgne, on selle kõrgus h seotud külje a pikkusega järgmiselt:
h=√3/2a.
Arvestades, et kolmnurga külg on kaks korda suurem koonuse aluse raadiusest ja asendades selle avaldise ristlõikepindala valemis, saame:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Siis on koonuse kõrgus:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Jääb üle piirkonna väärtuse asendada probleemi seisukorragaja saate vastuse:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
Millistes valdkondades on oluline teada vaadeldavate sektsioonide parameetreid?
Eri tüüpi koonuselõike uurimine ei paku mitte ainult teoreetiliselt huvi, vaid sellel on ka praktilisi rakendusi.
Esiteks tuleb ära märkida aerodünaamika valdkond, kus kooniliste lõigete abil on võimalik luua ideaalseid siledaid tahkete kehade vorme.
Teiseks on koonilised lõigud trajektoorid, mida mööda kosmoseobjektid gravitatsiooniväljades liiguvad. Millist tüüpi lõik kujutab süsteemi kosmiliste kehade liikumise trajektoori, määrab nende masside, absoluutkiiruste ja nendevaheliste kauguste suhe.
