Kuidas arvutada püramiidi pindala: alus, külg ja täis?

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Matemaatika eksamiks valmistudes peavad õpilased süstematiseerima oma teadmised algebrast ja geomeetriast. Tahaksin ühendada kogu teadaoleva teabe, näiteks püramiidi pindala arvutamise kohta. Lisaks alustades alus- ja külgpinnast kuni kogu pinnani. Kui külgpindade puhul on olukord selge, kuna need on kolmnurgad, siis on alus alati erinev.

Kuidas leida püramiidi aluse pindala?

See võib olla absoluutselt mis tahes kujuga: suvalisest kolmnurgast kuni n-nurgani. Ja see alus võib lisaks nurkade arvu erinevusele olla tavaline või vale kujund. Koolilastele huvipakkuvates KASUTUSülesannetes on põhjas vaid õigete joonistega ülesanded. Seetõttu räägime ainult neist.

Tavaline kolmnurk

See on võrdkülgne. Selline, mille kõik küljed on võrdsed ja tähistatud tähega "a". Sel juhul arvutatakse püramiidi aluse pindala järgmise valemiga:

S=(a2√3) / 4.

Ruut

Selle pindala arvutamise valem on kõige lihtsam,siin "a" on jälle külg:

S=a2.

Suvaline tavaline n-gon

Hulknurga küljel on sama tähistus. Nurkade arvu jaoks kasutatakse ladina tähte n.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Kuidas arvutada külg- ja kogupindala?

Kuna alus on tavaline kujund, on püramiidi kõik küljed võrdsed. Pealegi on igaüks neist võrdhaarne kolmnurk, kuna külgmised servad on võrdsed. Seejärel vajate püramiidi külgmise pindala arvutamiseks valemit, mis koosneb identsete monomialide summast. Tingimuste arv määratakse aluse külgede arvu järgi.

Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutatakse valemiga, milles pool aluse korrutist korrutatakse kõrgusega. Seda kõrgust püramiidis nimetatakse apoteemiks. Selle tähis on "A". Külgpinna üldvalem on:

S=½ PA, kus P on püramiidi aluse ümbermõõt.

On olukordi, kus aluse küljed ei ole teada, kuid külgservad (c) ja tasanurk selle tipus (α) on antud. Seejärel peaks püramiidi külgpinna arvutamiseks kasutama seda valemit:

S=n/2in2 sin α.

Probleem 1

Seisukord. Leidke püramiidi kogupindala, kui selle alus on võrdkülgne kolmnurk küljega 4 cm ja apoteem on √3 cm.

Otsus. TemaAlustuseks peate arvutama aluse ümbermõõdu. Kuna see on tavaline kolmnurk, siis P \u003d 34 \u003d 12 cm. Kuna apoteem on teada, saate kohe arvutada kogu külgpinna pindala: ½12√3=6 √3 cm 2.

Alus asuva kolmnurga puhul saate järgmise pindala väärtuse: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

Kogupindala määramiseks peate liitma kaks saadud väärtust: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Vastus. 10√3cm2.

Probleem 2

Seisukord. Seal on tavaline nelinurkne püramiid. Aluse külje pikkus on 7 mm, külgserv 16 mm. Peate teadma selle pindala.

Otsus. Kuna hulktahukas on nelinurkne ja korrapärane, siis on selle alus ruut. Olles õppinud aluse ja külgpindade pindala, on võimalik arvutada püramiidi pindala. Ruudu valem on toodud ülal. Ja külgpindade juures on kolmnurga kõik küljed teada. Seetõttu saate nende pindalade arvutamiseks kasutada Heroni valemit.

Esimesed arvutused on lihtsad ja viivad selle numbrini: 49 mm². Teise väärtuse jaoks peate arvutama poolperimeetri: (7 + 162): 2=19,5 mm. Nüüd saate arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)²)=√2985,9375=54,644 mm ^{2. Selliseid kolmnurki on ainult neli, nii et lõpliku arvu arvutamisel peate selle korrutama 4-ga.}

Selgub: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Vastus. Soovitud väärtus 267 576mm2.

Probleem 3

Seisukord. Tavalise nelinurkse püramiidi jaoks peate arvutama pindala. Ta teab ruudu külge - 6 cm ja kõrgust - 4 cm.

Otsus. Lihtsaim viis on kasutada valemit perimeetri ja apoteemi korrutisega. Esimest väärtust on lihtne leida. Teine on veidi keerulisem.

Peame meeles pidama Pythagorase teoreemi ja kaaluma täisnurkset kolmnurka. Selle moodustavad püramiidi kõrgus ja apoteem, mis on hüpotenuus. Teine jalg on võrdne poole ruudu küljega, kuna hulktahuka kõrgus langeb selle keskele.

Soovitav apoteem (täisnurkse kolmnurga hüpotenuus) on √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Nüüd saate arvutada vajaliku väärtuse: ½(46)5+6²=96 (vt^2).

Vastus. 96 cm2.

Probleem 4

Seisukord. Antud on korrapärane kuusnurkne püramiid. Selle põhja küljed on 22 mm, külgmised ribid on 61 mm. Kui suur on selle hulktahuka külgpindala?

Otsus. Põhjendus selles on sama, mis on kirjeldatud ülesandes nr 2. Ainult seal anti püramiid, mille põhjas on ruut, ja nüüd on see kuusnurk.

Kõigepe alt arvutatakse aluse pindala ül altoodud valemi abil: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm^2.

Nüüd peate välja selgitama võrdhaarse kolmnurga poolperimeetri, mis on külgpind. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Jääb välja arvutada iga sellise pindalakolmnurka, korrutage see kuuega ja lisage see ühele, mis sai aluseks.

Arvutamine Heroni valemiga: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm² . Arvutused, mis annavad külgpinna pindala: 6606=3960 cm². Kogu pinna väljaselgitamiseks jääb need kokku liita: 5217, 47≈5217 cm^2.

Vastus. Alus - 726√3cm², külgpind - 3960cm², üldpind - 5217cm^2.