Matemaatiline statistika on metoodika, mis võimaldab teha teadlikke otsuseid ebakindlates tingimustes. See matemaatika haru tegeleb andmete kogumise ja süstematiseerimise meetodite uurimisega, katsete ja massijuhuslikkusega katsete lõpptulemuste töötlemisega ning mis tahes mustrite avastamisega. Mõelge matemaatilise statistika põhikontseptsioonidele.
Erinevus tõenäosusteooriaga
Matemaatilise statistika meetodid ristuvad tihed alt tõenäosusteooriaga. Mõlemad matemaatika harud tegelevad arvukate juhuslike nähtuste uurimisega. Neid kahte distsipliini ühendavad piirteoreemid. Nende teaduste vahel on aga suur erinevus. Kui tõenäosusteooria määrab reaalses maailmas toimuva protsessi tunnused matemaatilise mudeli alusel, siis matemaatiline statistika teeb vastupidist - seab mudeli omadusedvaadeldud teabe põhjal.
Sammid
Matemaatilist statistikat saab rakendada ainult seoses juhuslike sündmuste või protsessidega või õigemini nende vaatlemisel saadud andmetega. Ja see toimub mitmes etapis. Esiteks läbivad katsete ja katsete andmed teatud töötlemise. Need on tellitud selguse ja analüüsi hõlbustamiseks. Seejärel antakse vaadeldava juhusliku protsessi vajalike parameetrite täpne või ligikaudne hinnang. Need võivad olla:
- sündmuse tõenäosuse hindamine (selle tõenäosus on esialgu teadmata);
- määramatu jaotusfunktsiooni käitumise uurimine;
- ootuste prognoos;
- variatsioonihinnang
- jne
Kolmas etapp on enne analüüsi püstitatud hüpoteeside kontrollimine, st vastuse saamine küsimusele, kuidas katsete tulemused vastavad teoreetilistele arvutustele. Tegelikult on see matemaatilise statistika peamine etapp. Näiteks võiks kaaluda, kas vaadeldava juhusliku protsessi käitumine jääb normaaljaotuse piiresse.
Rahvastik
Matemaatilise statistika põhimõisted hõlmavad üld- ja näidispopulatsioone. See distsipliin on seotud teatud objektide hulga uurimisega seoses mõne omadusega. Näitena võib tuua taksojuhi töö. Võtke arvesse neid juhuslikke muutujaid:
- koormus või klientide arv: päevas, enne lõunat, pärast lõunat, …;
- keskmine reisiaeg;
- sissetulevate avalduste arv või nende manustamine linnaosadele ja palju muud.
Samuti väärib märkimist, et on võimalik uurida sarnaste juhuslike protsesside kogumit, mis on ühtlasi ka jälgitav juhuslik suurus.
Niisiis nimetatakse matemaatilise statistika meetodites üldkogumiks uuritavate objektide kogumit või erinevate vaatluste tulemusi, mis tehakse antud objektil samadel tingimustel. Teisisõnu, matemaatiliselt rangem alt öeldes, on see juhuslik suurus, mis on defineeritud elementaarsündmuste ruumis, milles on määratud alamhulkade klass, mille elementide tõenäosus on teada.
Näidiskogum
On juhtumeid, kui iga objekti uurimiseks on mingil põhjusel (kulu, aeg) võimatu või ebaotstarbekas pidevat uuringut läbi viia. Näiteks iga suletud moosipurgi avamine selle kvaliteedi kontrollimiseks on kahtlane otsus ja iga õhumolekuli trajektoori kuupmeetris on võimatu hinnata. Sellistel juhtudel kasutatakse valikulise vaatluse meetodit: üldpopulatsioonist valitakse (tavaliselt juhuslikult) teatud arv objekte ja neid analüüsitakse.
Need mõisted võivad alguses tunduda keerulised. Seetõttu peate teema täielikuks mõistmiseks tutvuma V. E. Gmurmani õpikuga "Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika". Seega on valimikomplekt ehk valim üldhulgast juhuslikult valitud objektide jada. Rangelt matemaatiliselt võttes on see sõltumatute ühtlaselt jaotatud juhuslike muutujate jada, millest igaühe jaotus langeb kokku üldise juhusliku muutuja jaotusega.
Põhimõisted
Vaatleme lühid alt mitmeid teisi matemaatilise statistika põhimõisteid. Objektide arvu üldkogumis või valimis nimetatakse mahuks. Katse käigus saadud proovi väärtusi nimetatakse proovi realiseerimiseks. Et valimil põhinev hinnang üldkogumile oleks usaldusväärne, on oluline nn esindusliku või esindusliku valimi olemasolu. See tähendab, et valim peab üldkogumit täielikult esindama. Seda on võimalik saavutada ainult siis, kui kõikidel üldkogumi elementidel on valimisse kuulumise tõenäosus võrdne.
Näidised eristavad tagastamist ja tagastamatust. Esimesel juhul tagastatakse valimi sisus korduv element üldhulka, teisel juhul mitte. Tavaliselt kasutatakse praktikas proovivõttu ilma asendusteta. Samuti tuleb märkida, et üldkogumi suurus ületab alati oluliselt valimi suurust. Olemasproovivõtuprotsessi jaoks palju valikuid:
- lihtne – üksused valitakse juhuslikult ükshaaval;
- tüüpitud - üldpopulatsioon jagatakse tüüpideks ja igaühe hulgast tehakse valik; näide on elanike küsitlus: mehed ja naised eraldi;
- mehaaniline – näiteks valige iga 10. element;
- seeria - valik tehakse elementide jadana.
Statistiline jaotus
Gmurmani sõnul on tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika teadusmaailmas äärmiselt olulised distsipliinid, eriti selle praktilises osas. Võtke arvesse valimi statistilist jaotust.
Oletame, et meil on rühm õpilasi, keda testiti matemaatikas. Selle tulemusel on meil hinnangute kogum: 5, 3, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 4, 4, 5 – see on meie peamine statistiline materjal.
Kõigepe alt peame selle sorteerima või sooritama järjestustoimingu: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 – ja saame seega variatsiooniseeria. Iga hinnangu korduste arvu nimetatakse hindamissageduseks ja nende suhet valimi suurusesse suhteliseks sageduseks. Teeme valimi statistilise jaotuse tabeli või lihts alt statistilise jada:
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1 | 1 | 2 | 4 | 3 |
või
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1/11 | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 3/11 |
Oleme juhusliku muutujaga, mille põhjal viime läbi rea katseid ja vaatame, millise väärtuse see muutuja omandab. Oletame, et ta võttis väärtuse a1 - m1 korda; a2 - m2 korda jne. Selle valimi suurus on m1 + … + mk=m. Hulk ai, kus i varieerub vahemikus 1 kuni k, on statistiline jada.
Intervalljaotus
VE Gmurmani raamatus "Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika" on esitatud ka intervallstatistika seeria. Selle koostamine on võimalik, kui uuritava tunnuse väärtus on teatud intervalliga pidev ja väärtuste arv on suur. Mõelge õpilaste rühmale või õigemini nende pikkusele: 163, 180, 185, 172, 161, 171, 189, 157, 165, 174, 180, 181, 175, 182, 167, 159, 173, 61, 4 179, 160, 180, 166, 178, 156, 180, 189, 173, 174, 175 - kokku 30 õpilast. Ilmselgelt on inimese pikkus pidev väärtus. Peame määratlema intervalli sammu. Selleks kasutatakse Sturgesi valemit.
| h= | max - min | = | 190 - 156 | = | 33 | = | 5, 59 |
| 1+log2m | 1+log230 | 5, 9 |
Seega võib intervalli suuruseks võtta väärtust 6. Samuti tuleb öelda, et väärtus 1+log2m on valemintervallide arvu määramine (loomulikult koos ümardamisega). Seega saadakse valemite kohaselt 6 intervalli, millest igaühe suurus on 6. Algintervalli esimene väärtus on valemiga määratud arv: min - h / 2=156 - 6/2=153. Teeme tabeli, mis sisaldab intervalle ja õpilaste arvu, kelle kasv jäi teatud intervalli sisse.
| H | [153; 159) | [159; 165) | [165; 171) | [171; 177) | [177; 183) | [183; 189) |
| P | 2 | 5 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| P | 0, 06 | 0, 17 | 0, 1 | 0, 3 | 0, 27 | 0, 1 |
See pole muidugi veel kõik, sest matemaatilises statistikas on palju rohkem valemeid. Oleme käsitlenud ainult mõnda põhimõistet.
Levitamise ajakava
Matemaatilise statistika põhimõisted hõlmavad ka jaotuse graafilist esitust, mida eristab selgus. Graafe on kahte tüüpi: hulknurk ja histogramm. Esimest kasutatakse diskreetse statistilise jada jaoks. Ja pidevaks levitamiseks vastav alt teine.
