Tõelised teadmised põhinesid igal ajal mustri kehtestamisel ja selle tõesuse tõestamisel teatud asjaoludel. Loogilise arutluse nii pikaks eksisteerimiseks anti reeglite sõnastused ja Aristoteles koostas isegi "õigete arutluste" loendi. Ajalooliselt on tavaks jagada kõik järeldused kahte tüüpi - konkreetsest mitmuseni (induktsioon) ja vastupidi (deduktsioon). Tuleb märkida, et tõendite liigid konkreetsest üldiseks ja üldisest konkreetseks eksisteerivad ainult seoses ja neid ei saa omavahel vahetada.
Induktsioon matemaatikas
Termina "induktsioon" (induktsioon) on ladina juured ja see tähendab sõna-sõn alt "juhendamist". Lähemal uurimisel võib eristada sõna struktuuri, nimelt ladina eesliidet - in- (tähistab suunatud tegevust sissepoole või sees olemist) ja -duction - sissejuhatus. Väärib märkimist, et neid on kahte tüüpi - täielik ja mittetäielik induktsioon. Täisvormi iseloomustavad järeldused, mis on tehtud teatud klassi kõigi ainete õppimisel.
Puudulik – järeldused,rakendatakse kõigile klassi üksustele, kuid põhineb ainult mõne üksuse uurimisel.
Täielik matemaatiline induktsioon – järeldus, mis põhineb üldisel järeldusel kõigi objektide kogu klassi kohta, mis on funktsionaalselt seotud arvude loomulike jadade suhetega, mis põhineb selle funktsionaalse seose teadmisel. Sel juhul toimub tõestusprotsess kolmes etapis:
- esimesel on tõestatud matemaatilise induktsiooni väite õigsus. Näide: f=1, see on induktsiooni alus;
- Järgmine etapp põhineb eeldusel, et positsioon kehtib kõigi naturaalarvude puhul. See tähendab, et f=h, see on induktsioonihüpotees;
- kolmandas etapis tõestatakse positsiooni kehtivus arvu f=h+1 jaoks, lähtudes eelmise lõigu positsiooni õigsusest - see on induktsioonisiire ehk matemaatilise induktsiooni samm. Näitena võib tuua nn doominoprintsiibi: kui esimene luu reas langeb (baas), siis kõik reas olevad kivid kukuvad (üleminek).
Naljatav ja tõsine
Tajumise hõlbustamiseks nimetatakse matemaatilise induktsiooni meetodi lahenduste näiteid naljaprobleemidena. See on viisaka järjekorra ülesanne:
Käitumisreeglid keelavad mehel naise ette pöörde võtta (sellises olukorras lastakse ette). Selle väite põhjal, kui järjekorras viimane on mees, siis kõik ülejäänud on mehed
Matemaatilise induktsiooni meetodi silmatorkav näide on ülesanne "Dimensioonideta lend":
Seda tuleb tõestadaväikebuss mahutab suvalise arvu inimesi. Tõsi, üks inimene mahub raskusteta (aluselt) transpordi sisse. Kuid olenemata sellest, kui täis on väikebuss, mahub sinna alati 1 reisija (sisselaskmise samm)
Tuttavad ringid
Näited ülesannete ja võrrandite lahendamisest matemaatilise induktsiooni abil on üsna levinud. Selle lähenemisviisi illustreerimiseks kaaluge järgmist probleemi.
Seisund: lennukis on h ringid. Tuleb tõestada, et kujundite mis tahes paigutuse korral saab nende moodustatud kaarti õigesti kahe värviga värvida.
Otsus: kui h=1 on väite tõesus ilmne, seega koostatakse tõestus ringide arvule h+1.
Oletame, et väide kehtib mis tahes kaardi puhul ja h+1 ringid on antud tasapinnal. Kui eemaldate kogusummast ühe ringi, saate kahe värviga (must ja valge) õigesti värvitud kaardi.
Kustutatud ringi taastamisel muutub iga ala värv vastupidiseks (antud juhul ringi sees). Tulemuseks on kahe värviga õigesti värvitud kaart, mida tuli tõestada.
Naturaalarvude näited
Matemaatilise induktsiooni meetodi rakendamist on illustreeritud allpool.
Lahendusnäited:
Tõesta, et iga h korral on võrdsus õige:
12+22+32+…+h 2=h(h+1)(2h+1)/6.
Lahendus:
1. Olgu h=1, siis:
R1=12=1(1+1)(2+1)/6=1
Sellest järeldub, et h=1 puhul on väide õige.
2. Eeldades, et h=d, on võrrand:
R1=d2=d(d+1)(2d+1)/6=1
3. Eeldades, et h=d+1, selgub:
Rd+1=(d+1) (d+2) (2p+3)/6
Rd+1=12+22+3 2+…+d2+(d+1)2=d(d+1)(2p+1))/6+ (d+1)2=(d(d+1)(2d+1)+6(d+1)2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2p2+7p+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6.
Seega on tõestatud võrdsuse kehtivus h=d+1 korral, seega on väide tõene mis tahes naturaalarvu puhul, mis on toodud lahendi näitel matemaatilise induktsiooniga.
Ülesanne
Tingimus: nõutav on tõend, et iga h väärtuse korral jagub avaldis 7h-1 6-ga ilma jäägita.
Lahendus:
1. Oletame, et h=1, antud juhul:
R1=71-1=6 (st jagub 6-ga ilma jäägita)
Seega on h=1 väide tõene;
2. Olgu h=d ja 7d-1 jagub 6-ga ilma jäägita;
3. Väite kehtivuse tõestuseks h=d+1 korral on valem:
Rd+1=7d+1 -1=7∙7d-7+6=7(7d-1)+6
Sel juhul jagub esimene liige 6-ga vastav alt esimese lõigu eeldusele ja teine liigetermin on 6. Väide, et 7h-1 jagub 6-ga ilma jäägita iga loomuliku h korral, on tõene.
Vale kohtuotsus
Tihti kasutatakse tõestustes valesid arutluskäike, mis on tingitud kasutatud loogiliste konstruktsioonide ebatäpsusest. Põhimõtteliselt juhtub see siis, kui rikutakse tõestuse struktuuri ja loogikat. Ebaõige arutluskäigu näide on järgmine illustratsioon.
Ülesanne
Tingimus: nõutav on tõend, et ükski kivihunnik ei ole hunnik.
Lahendus:
1. Oletame, et h=1, sel juhul on hunnikus 1 kivi ja väide on tõene (alus);
2. Olgu h=d puhul tõsi, et kivihunnik ei ole hunnik (eeldus);
3. Olgu h=d+1, millest järeldub, et kui lisada veel üks kivi, siis komplekt ei ole hunnik. Järeldus viitab sellele, et eeldus kehtib kõigi loomulike h.
Viga seisneb selles, et puudub definitsioon, mitu kivi hunnikut moodustab. Sellist väljajätmist nimetatakse matemaatilise induktsiooni meetodis kiireks üldistamiseks. Näide näitab seda selgelt.
Induktsioon ja loogikaseadused
Ajalooliselt käivad induktsiooni ja deduktsiooni näited alati käsikäes. Sellised teadusharud nagu loogika ja filosoofia kirjeldavad neid vastanditena.
Loogikaseaduse seisukoh alt põhinevad induktiivsed definitsioonid faktidel ning eelduste tõepärasus ei määra sellest tuleneva väite õigsust. Sageli saadudteatud tõenäosuse ja usutavusega järeldusi, mida tuleb loomulikult kontrollida ja kinnitada täiendavate uuringutega. Loogika induktsiooni näide oleks lause:
Eestis põud, Lätis kuiv, Leedus kuiv.
Eesti, Läti ja Leedu on B alti riigid. Põud kõigis B alti riikides.
Näite põhjal võime järeldada, et uut teavet või tõde ei saa induktsiooni meetodil saada. Kõik, millele võite loota, on järelduste võimalik õigsus. Pealegi ei taga ruumide tõesus samu järeldusi. See asjaolu ei tähenda aga, et induktsioon vegeteerib mahaarvamise tagahoovis: induktsioonimeetodi abil põhjendatakse tohutult palju sätteid ja teaduslikke seadusi. Eeskujuks võivad olla matemaatika, bioloogia ja muud teadused. See on enamasti tingitud täielikust induktsioonimeetodist, kuid mõnel juhul on rakendatav ka osaline meetod.
Induktsiooni auväärne ajastu võimaldas sellel tungida peaaegu kõikidesse inimtegevuse valdkondadesse – see on teadus, majandus ja igapäevased järeldused.
Induktsioon teaduskeskkonnas
Induktsioonimeetod nõuab hoolikat suhtumist, sest liiga palju sõltub terviku uuritavate detailide arvust: mida suurem on uuritud arv, seda usaldusväärsem on tulemus. Selle tunnuse põhjal testitakse induktsiooniga saadud teaduslikke seadusi pikka aega tõenäosuslike eelduste tasemel, et isoleerida ja uurida kõiki võimalikkestruktuurielemendid, seosed ja mõjud.
Teaduses põhineb induktiivne järeldus olulistel tunnustel, välja arvatud juhuslikud sätted. See asjaolu on oluline seoses teaduslike teadmiste spetsiifikaga. See on selgelt näha induktsiooni näidetes teaduses.
Teadusmaailmas on kahte tüüpi induktsiooni (seoses õppimisviisiga):
- induktsioon-valik (või valik);
- induktsioon – välistamine (elimineerimine).
Esimest tüüpi iseloomustab klassi (alaklasside) metoodiline (kontroll) valimi võtmine selle erinevatest piirkondadest.
Seda tüüpi induktsiooni näide on järgmine: hõbe (või hõbedasoolad) puhastab vett. Järeldus põhineb pikaajalistel vaatlustel (omamoodi kinnituste ja ümberlükkamiste valik – valik).
Teist tüüpi induktsioon põhineb järeldustel, mis loovad põhjuslikud seosed ja välistavad asjaolud, mis ei vasta selle omadustele, nimelt universaalsus, ajalise järjestuse järgimine, vajalikkus ja ühemõttelisus.
Induktsioon ja deduktsioon filosoofia seisukoh alt
Kui vaadata ajaloolist tagasivaadet, siis terminit "induktsioon" mainis esmakordselt Sokrates. Aristoteles kirjeldas näiteid induktsioonist filosoofias ligikaudses terminoloogilises sõnastikus, kuid mittetäieliku induktsiooni küsimus jääb lahtiseks. Pärast aristotelese süllogismi tagakiusamist hakati induktiivset meetodit tunnistama viljakaks ja ainuvõimalikuks loodusteadustes. Peekonit peetakse iseseisva erimeetodina induktsiooni isaks, kuid tal ei õnnestunud eraldada,nagu kaasaegsed nõudsid, induktsioon deduktiivsest meetodist.
Induktsiooni edasiarenduse viis läbi J. Mill, kes käsitles induktsiooniteooriat nelja peamise meetodi positsioonilt: kokkulepe, erinevus, jäägid ja vastavad muutused. Pole üllatav, et tänapäeval on loetletud meetodid, kui neid üksikasjalikult uurida, deduktiivsed.
Teadlikkus Baconi ja Milli teooriate ebaõnnestumisest ajendas teadlased uurima induktsiooni tõenäosuslikku alust. Kuid isegi siin esines mõningaid äärmusi: tõenäosusteooria esilekutsumist püüti taandada koos kõigi sellest tulenevate tagajärgedega.
Induktsioon saab teatud ainevaldkondade praktilise rakendamise ja induktiivse aluse meetrilise täpsuse tõttu usaldushääletuse. Induktsiooni ja deduktsiooni näiteks filosoofias võib pidada universaalse gravitatsiooni seadust. Seaduse avastamise kuupäeval suutis Newton seda kontrollida 4-protsendilise täpsusega. Ja enam kui kahesaja aasta pärast testimisel kinnitati õigsust 0,0001-protsendilise täpsusega, kuigi test viidi läbi samade induktiivsete üldistustega.
Kaasaegne filosoofia pöörab rohkem tähelepanu deduktsioonile, mille dikteerib loogiline soov ammutada uut teadmist (või tõde) juba teadaolevast, ilma kogemuse, intuitsiooni abita, vaid kasutades "puhast" arutlust. Kui viidatakse deduktiivse meetodi tõelistele eeldustele, on väljundiks kõigil juhtudel tõene väide.
See väga oluline omadus ei tohiks varjutada induktiivse meetodi väärtust. Alates induktsioonist, tuginedes kogemuste saavutustele,muutub ka selle töötlemise (sh üldistamise ja süstematiseerimise) vahendiks.
Induktsiooni rakendamine majanduses
Induktsiooni ja deduktsiooni on pikka aega kasutatud meetoditena majanduse uurimiseks ja selle arengu ennustamiseks.
Sissejuhatusmeetodi kasutusala on üsna lai: prognoosinäitajate (kasum, kulum jne) täitumise uurimine ja ettevõtte seisu üldhinnang; tõhusa ettevõtte edendamise poliitika kujundamine, mis põhineb faktidel ja nende suhetel.
Sama induktsioonimeetodit kasutatakse Shewharti diagrammides, kus eeldusel, et protsessid jagunevad juhitavateks ja mittehallatavateks, on märgitud, et juhitava protsessi raamistik on passiivne.
Tuleb märkida, et teaduslikud seadused on põhjendatud ja kinnitatud induktsioonimeetodiga ning kuna majandusteadus on teadus, mis kasutab sageli matemaatilist analüüsi, riskiteooriat ja statistilisi andmeid, siis pole üllatav, et induktsioon kaasatakse peamiste meetodite loend.
Järgmine olukord võib olla induktsiooni ja mahaarvamise näide majandusteaduses. Toiduainete (tarbijakorvist) ja esmatarbekaupade kallinemine sunnib tarbijat mõtlema riigis tekkivale kallile hinnale (induktsioon). Samas on kõrge hinna faktist matemaatilisi meetodeid kasutades võimalik tuletada üksikute kaupade või kaubakategooriate hinnatõusu näitajaid (mahaarvamine).
Enamasti viitavad juhtivtöötajad, juhid ja majandusteadlased induktsioonimeetodile. Selleks, etoli võimalik piisava tõepärasusega ennustada ettevõtte arengut, turu käitumist, konkurentsi tagajärgi, info analüüsimisel ja töötlemisel on vaja induktiiv-deduktiivset lähenemist.
Illustreeriv näide induktsioonist majandusteaduses, mis on seotud ekslike otsustega:
-
ettevõtte kasum langes 30%;
konkurent laiendab tootesarja;
muud pole muutunud;
- konkurendi tootmispoliitika põhjustas 30% kasumikärbe;
- seetõttu on vaja rakendada sama tootmispoliitikat.
Näide on värvikas näide sellest, kuidas induktsioonimeetodi oskamatu kasutamine aitab kaasa ettevõtte hävingule.
Psühholoogias mahaarvamine ja induktsioon
Kuna meetod on olemas, siis loogiliselt võttes on ka korralikult organiseeritud mõtlemine (meetodi kasutamiseks). Psühholoogia kui teadus, mis uurib vaimseid protsesse, nende teket, arengut, suhteid, interaktsioone, pöörab tähelepanu "deduktiivsele" mõtlemisele kui ühele deduktsiooni ja induktsiooni avaldumisvormidest. Kahjuks ei ole Internetis psühholoogia lehekülgedel deduktiiv-induktiivse meetodi terviklikkus praktiliselt õigustatud. Kuigi professionaalsed psühholoogid kogevad tõenäolisem alt induktsiooni ilminguid või õigemini ekslikke järeldusi.
Näide induktsioonist psühholoogias, mis illustreerib ekslikke otsuseid, on väide: minu ema on petis, seega on kõik naised petjad. Saate õppida veelgi rohkem "eksitavaid" näiteid elust induktsiooni kohta:
- õpilane pole millekski võimeline, kui ta sai matemaatikas kahekohalise;
- ta on loll;
- ta on tark;
- Ma saan kõike teha;
- ja palju muid väärtushinnanguid, mis põhinevad täiesti juhuslikel ja mõnikord ebaolulistel sõnumitel.
Tuleb märkida: kui inimese hinnangute ekslikkus jõuab absurdini, on psühhoterapeudil ees töörind. Üks näide eriarsti vastuvõtule sisseelamisest:
“Patsient on täiesti kindel, et punane värv kannab tema jaoks ainult ohtu kõigis ilmingutes. Selle tulemusena on inimene selle värvilahenduse oma elust välja jätnud – nii palju kui võimalik. Kodukeskkonnas on palju võimalusi mugavaks elamiseks. Saate keelduda kõigist punastest esemetest või asendada need analoogidega, mis on valmistatud erinevas värviskeemis. Kuid avalikes kohtades, tööl, poes - see on võimatu. Stressiolukorda sattudes kogeb patsient iga kord täiesti erinevate emotsionaalsete seisundite tõusu, mis võib olla teistele ohtlik.”
Seda induktsiooni näidet nimetatakse alateadlikult "fikseeritud ideedeks". Kui see juhtub vaimselt terve inimesega, võime rääkida vaimse tegevuse organiseerituse puudumisest. Deduktiivse mõtlemise elementaarne arendamine võib saada võimaluseks obsessiivsetest seisunditest vabanemiseks. Muudel juhtudel töötavad selliste patsientidega psühhiaatrid.
Ül altoodud näited induktsiooni kohta näitavad, et „seaduse mitteteadmine ei tee sedavabastab tagajärgedest (ekslikud otsused).”
Psühholoogid, kes töötavad deduktiivse arutluskäigu teemal, on koostanud nimekirja soovitustest, mille eesmärk on aidata inimestel seda meetodit omandada.
Esimene üksus on probleemide lahendamine. Nagu näha, võib matemaatikas kasutatavat induktsiooni vormi pidada "klassikaliseks" ja selle meetodi kasutamine aitab kaasa mõistuse "distsipliinile".
Järgmine tingimus deduktiivse mõtlemise arendamiseks on silmaringi laiendamine (selgelt mõtlevad, selgelt ütlevad). See soovitus suunab „vaevused” teaduse ja teabe varandusse (raamatukogud, veebisaidid, haridusalgatused, reisimine jne).
Järgmine soovitus on täpsus. Induktsioonimeetodite kasutamise näidetest on ju selgelt näha, et see on paljuski väidete tõesuse garantii.
Need ei läinud mööda mõistuse paindlikkusest, vihjates võimalusele kasutada probleemi lahendamisel erinevaid viise ja lähenemisi ning arvestada sündmuste arengu varieeruvust.
Ja muidugi vaatlus, mis on peamine empiirilise kogemuse allikas.
Eriti tuleks mainida niinimetatud "psühholoogilist induktsiooni". Seda terminit, kuigi harva, võib leida Internetist. Kõik allikad ei anna selle mõiste definitsiooni vähem alt lühid alt, vaid viitavad "näidetele elust", esitades samas uut tüüpi induktsioonina kas vihjeid või mõningaid vaimuhaiguse vorme,Need on inimese psüühika äärmuslikud seisundid. Kõigest eelnevast on selge, et katse tuletada "uus termin", mis põhineb valedel (sageli ebatõestel) eeldustel, paneb katse läbiviija saama eksliku (või kiirustava) väite.
Tuleb märkida, et viide 1960. aasta katsetele (määramata toimumiskohta, katsetajate nimesid, katsealuste valimit ja mis kõige tähtsam, katse eesmärki) näeb pehmelt öeldes välja., ebaveenv ning väide, et aju tajub infot kõigist tajuorganitest mööda minnes (fraas "mõjutatud" sobiks antud juhul orgaanilisem alt), paneb mõtlema väite autori kergeusklikkusele ja kriitikamatusele.
Järelduse asemel
Teaduste kuninganna – matemaatika, kasutab teadlikult kõiki induktsiooni- ja deduktsioonimeetodi võimalikke reserve. Vaatletud näited lubavad järeldada, et isegi kõige täpsemate ja usaldusväärsemate meetodite pealiskaudne ja oskamatu (mõtlematu, nagu öeldakse) rakendamine viib alati ekslike tulemusteni.
Massiteadvuses seostatakse deduktsioonimeetodit kuulsa Sherlock Holmesiga, kes oma loogilistes konstruktsioonides kasutab sageli induktsiooni näiteid, kasutades selleks vajalikes olukordades deduktsiooni.
Artiklis vaadeldi näiteid nende meetodite rakendamisest erinevates teadustes ja inimelu valdkondades.
