Fourier' jada kujutab endast suvaliselt võetud funktsiooni kindla perioodiga jaana. Üldiselt nimetatakse seda lahendust elemendi lagunemiseks ortogonaalsel alusel. Funktsioonide laiendamine Fourier' seerias on selle teisenduse omaduste tõttu üsna võimas tööriist erinevate probleemide lahendamiseks argumendis ja konvolutsioonis avaldise integreerimisel, eristamisel ja nihutamisel.
Inimene, kes pole kursis kõrgema matemaatikaga ega ka prantsuse teadlase Fourier' töödega, ei saa tõenäoliselt aru, mis need "read" on ja milleks need on. Vahepeal on see transformatsioon meie elus muutunud üsna tihedaks. Seda ei kasuta mitte ainult matemaatikud, vaid ka füüsikud, keemikud, arstid, astronoomid, seismoloogid, okeanograafid ja paljud teised. Vaatame lähem alt suure prantsuse teadlase töid, kes tegi avastuse oma ajast ees.
Inimene ja Fourier' teisendus
Fourier' jada on üks Fourier' teisenduse meetoditest (koos analüüsi ja teistega). See protsess toimub iga kord, kui inimene kuuleb heli. Meie kõrv teisendab heli automaatseltlained. Elastses keskkonnas olevate elementaarosakeste võnkuvad liikumised jaotatakse erineva kõrgusega toonide helitugevuse järjestikuste väärtuste ridadeks (piki spektrit). Järgmiseks muudab aju need andmed meile tuttavateks helideks. Kõik see juhtub lisaks meie soovile või teadvusele iseenesest, kuid nende protsesside mõistmiseks kulub kõrgema matemaatika õppimiseks mitu aastat.
Lisateavet Fourier' teisenduse kohta
Fourier' teisendust saab läbi viia analüütiliste, numbriliste ja muude meetoditega. Fourier' seeriad viitavad võnkeprotsesside lagundamise numbrilisele viisile - alates ookeani loodetest ja valguslainetest kuni päikese (ja muude astronoomiliste objektide) aktiivsuse tsükliteni. Neid matemaatilisi tehnikaid kasutades on võimalik analüüsida funktsioone, mis esindavad mis tahes võnkuvaid protsesse sinusoidsete komponentide seeriana, mis lähevad miinimumist maksimumini ja vastupidi. Fourier' teisendus on funktsioon, mis kirjeldab konkreetsele sagedusele vastavate sinusoidide faasi ja amplituudi. Seda protsessi saab kasutada väga keeruliste võrrandite lahendamiseks, mis kirjeldavad soojus-, valgus- või elektrienergia mõjul toimuvaid dünaamilisi protsesse. Samuti võimaldavad Fourier' seeriad eraldada keerulistes võnkesignaalides konstantseid komponente, mis võimaldasid õigesti tõlgendada saadud eksperimentaalseid tähelepanekuid meditsiinis, keemias ja astronoomias.
Ajalooline taust
Selle teooria asutajaJean Baptiste Joseph Fourier on prantsuse matemaatik. See ümberkujundamine nimetati hiljem tema järgi. Esialgu rakendas teadlane oma meetodit soojusjuhtivuse – soojuse leviku tahkes aines – mehhanismide uurimiseks ja selgitamiseks. Fourier soovitas, et kuumalaine esialgse ebakorrapärase jaotuse saab lagundada kõige lihtsamateks sinusoidideks, millest igaühel on oma temperatuuri miinimum ja maksimum, samuti oma faas. Sel juhul mõõdetakse iga sellist komponenti miinimumist maksimumini ja vastupidi. Matemaatilist funktsiooni, mis kirjeldab kõvera ülemist ja alumist piiki, samuti iga harmoonilise faasi, nimetatakse temperatuurijaotuse avaldise Fourier' teisenduseks. Teooria autor taandas matemaatiliselt raskesti kirjeldatava üldise jaotusfunktsiooni väga lihts alt käsitletavaks perioodiliste koosinus- ja siinusfunktsioonide jadaks, mis liidetakse esialgse jaotusega.
Muundamise põhimõte ja kaasaegsete vaated
Teadlase kaasaegsed – üheksateistkümnenda sajandi alguse juhtivad matemaatikud – ei aktsepteerinud seda teooriat. Peamine vastuväide oli Fourier' väide, et sirgjoont või katkendlikku kõverat kirjeldavat katkendlikku funktsiooni saab esitada pidevate siinusavaldiste summana. Vaatleme näiteks Heaviside'i "sammu": selle väärtus on tühimusest vasakul null ja üks paremal. See funktsioon kirjeldab elektrivoolu sõltuvust ajamuutujast, kui ahel on suletud. Tolleaegsed teooria kaasaegsed polnud selliseid veel kohanudolukord, kus katkendlikku avaldist kirjeldatakse pidevate tavaliste funktsioonide kombinatsiooniga, nagu eksponentsiaalne, sinusoidne, lineaarne või ruutfunktsioon.
Mis ajas Prantsuse matemaatikuid Fourier' teoorias segadusse?
Lõppude lõpuks, kui matemaatikul oli oma väidetes õigus, siis lõpmatu trigonomeetrilise Fourier' jada kokkuvõttes saate sammuavaldise täpse esituse isegi siis, kui sellel on palju sarnaseid samme. 19. sajandi alguses tundus selline väide absurdne. Kuid hoolimata kõigist kahtlustest on paljud matemaatikud selle nähtuse uurimise ulatust laiendanud, viies selle soojusjuhtivuse uuringute ulatusest välja. Kuid enamik teadlasi jätkas piinamist küsimuse pärast: "Kas sinusoidaalsete jadate summa võib läheneda katkendliku funktsiooni täpsele väärtusele?"
Fourier' rea lähenemine: näide
Konvergentsi küsimus tõstatatakse alati, kui on vaja kokku võtta lõpmatu arvude jada. Selle nähtuse mõistmiseks kaaluge klassikalist näidet. Kas jõuate kunagi seinani, kui iga järgnev samm on poole väiksem kui eelmine? Oletame, et olete eesmärgist kaks meetrit, esimene samm viib teid lähemale poolele, järgmine kolmveerandmärgile ja pärast viiendat läbite peaaegu 97 protsenti teest. Kuid ükskõik kui palju samme te ka ei tee, te ei saavuta seatud eesmärki ranges matemaatilises mõttes. Numbriliste arvutuste abil saab tõestada, et lõpuks võib jõuda nii lähedale, kui meeldib.väike määratud vahemaa. See tõestus on samaväärne demonstreerimisega, et poole, neljandiku jne summa väärtus kipub olema üks.
Lähenemise küsimus: teine tulemine ehk Lord Kelvini seade
Seda küsimust tõstatati korduv alt 19. sajandi lõpus, kui Fourier' seeriaid püüti kasutada mõõna ja voolu intensiivsuse ennustamiseks. Sel ajal leiutas Lord Kelvin seadme, mis on analoogarvuti, mis võimaldas sõjaväe ja kaubalaevastiku meremeestel seda loodusnähtust jälgida. See mehhanism määras faaside ja amplituudide komplektid loodete kõrguste ja neile vastavate ajahetkede tabelist, mida mõõdeti aasta jooksul hoolik alt antud sadamas. Iga parameeter oli tõusulaine kõrguse ekspressiooni sinusoidne komponent ja üks tavalistest komponentidest. Mõõtmiste tulemused sisestati Lord Kelvini kalkulaatorisse, mis sünteesis kõvera, mis ennustas vee kõrguse aja funktsioonina järgmiseks aastaks. Üsna pea koostati sarnased kõverad kõigi maailma sadamate jaoks.
Ja kui protsessi katkestab katkendlik funktsioon?
Tol ajal tundus ilmselge, et suure hulga loenduselementidega tõusulaine ennustaja suudab arvutada suure hulga faase ja amplituudi ning seega anda täpsemaid prognoose. Sellegipoolest selgus, et seda regulaarsust ei täheldata juhtudel, kui loodete väljendus, mis järgnebsünteesida, sisaldas järsku hüpet, see tähendab, et see oli katkendlik. Kui andmed sisestatakse seadmesse ajahetkede tabelist, arvutab see mitu Fourier' koefitsienti. Algne funktsioon taastatakse tänu sinusoidaalsetele komponentidele (vastav alt leitud koefitsientidele). Algse ja taastatud avaldise lahknevust saab mõõta igal hetkel. Korduvate arvutuste ja võrdluste tegemisel on näha, et suurima vea väärtus ei vähene. Kuid need paiknevad katkestuspunktile vastavas piirkonnas ja kipuvad nulli jõudma mis tahes muus punktis. 1899. aastal kinnitas seda tulemust teoreetiliselt Joshua Willard Gibbs Yale'i ülikoolist.
Fourier' ridade lähenemine ja matemaatika areng üldiselt
Fourier' analüüs ei ole rakendatav avaldiste puhul, mis sisaldavad teatud intervalli jooksul lõpmatut arvu purskeid. Üldiselt lähenevad Fourier' seeriad alati, kui algfunktsioon on tegeliku füüsilise mõõtmise tulemus. Küsimused selle protsessi konvergentsi kohta konkreetsete funktsiooniklasside puhul on viinud matemaatikas uute osade tekkeni, näiteks üldistatud funktsioonide teooria. Seda seostatakse selliste nimedega nagu L. Schwartz, J. Mikusinsky ja J. Temple. Selle teooria raames loodi selge ja täpne teoreetiline alus sellistele avaldistele nagu Diraci delta funktsioon (see kirjeldab ühe ala pindala, mis on koondunud punkti lõpmatult väikesesse naabrusesse) ja Heaviside. samm”. Tänu sellele tööle sai Fourier-seeria kohaldatavaksvõrrandite ja ülesannete lahendamine, mis hõlmavad intuitiivseid mõisteid: punktlaeng, punktmass, magnetdipoolid, aga ka tala kontsentreeritud koormus.
Fourier' meetod
Fourier' seeriad algavad vastav alt interferentsi põhimõtetele keerukate vormide lagundamisest lihtsamateks. Näiteks soojusvoo muutust seletatakse selle läbimisega erinevate ebakorrapärase kujuga soojusisolatsioonimaterjalist takistuste või maapinna muutusega - maavärin, taevakeha orbiidi muutus - mõju planeedid. Reeglina lahendatakse iga üksiku laine jaoks elementaarselt sarnased võrrandid, mis kirjeldavad lihtsaid klassikalisi süsteeme. Fourier näitas, et lihtsaid lahendusi saab liita ka keerukamate probleemide lahendamiseks. Matemaatika keeles on Fourier-seeria tehnika avaldise esitamiseks harmooniliste – koosinuse ja sinusoidide – summana. Seetõttu nimetatakse seda analüüsi ka harmooniliseks analüüsiks.
Fourier-seeria – ideaalne tehnika enne "arvutiajastut"
Enne arvutitehnoloogia loomist oli Fourier tehnika teadlaste arsenalis parim relv meie maailma lainelise olemusega töötamisel. Keerulisel kujul Fourier' seeria võimaldab lahendada mitte ainult lihtsaid ülesandeid, mida saab vahetult rakendada Newtoni mehaanika seadustele, vaid ka põhivõrrandeid. Suurem osa Newtoni teaduse avastustest 19. sajandil sai võimalikuks ainult Fourier’ tehnika abil.
Fourier-seeria täna
Fourieri teisendusarvutite väljatöötamisegatõstetud täiesti uuele tasemele. See tehnika on kindl alt juurdunud peaaegu kõigis teaduse ja tehnoloogia valdkondades. Näiteks on digitaalne heli- ja videosignaal. Selle realiseerimine sai võimalikuks ainult tänu teooriale, mille üheksateistkümnenda sajandi alguses töötas välja prantsuse matemaatik. Seega võimaldas Fourier' seeria keerulisel kujul teha läbimurde avakosmose uurimisel. Lisaks mõjutas see pooljuhtmaterjalide ja plasma füüsika uurimist, mikrolaineakustikat, okeanograafiat, radarit, seismoloogiat.
Trigonomeetriline Fourier-seeria
Matemaatikas on Fourier' jada viis suvaliste keerukate funktsioonide esitamiseks lihtsamate funktsioonide summana. Üldjuhul võib selliste avaldiste arv olla lõpmatu. Pealegi, mida rohkem nende arvu arvutamisel arvesse võetakse, seda täpsem on lõpptulemus. Kõige sagedamini kasutatakse koosinuse või siinuse trigonomeetrilisi funktsioone kui lihtsamaid funktsioone. Sel juhul nimetatakse Fourier' jadaid trigonomeetrilisteks ja selliste avaldiste lahendust harmoonilise laienemiseks. See meetod mängib matemaatikas olulist rolli. Esiteks pakub trigonomeetriline seeria nii kujutise kui ka funktsioonide uurimise vahendit, see on teooria peamine aparaat. Lisaks võimaldab see lahendada mitmeid matemaatilise füüsika ülesandeid. Lõpuks aitas see teooria kaasa matemaatilise analüüsi arengule, andis aluse mitmetele väga olulistele matemaatikateaduse osadele (integraaliteooria, perioodiliste funktsioonide teooria). Lisaks oli see lähtepunktiks järgmiste teooriate väljatöötamisel: hulgad, funktsioonidreaalne muutuja, funktsionaalne analüüs ja ühtlasi pani aluse harmoonilisele analüüsile.
