Tänapäeva maailmas kasutame üha enam erinevaid autosid ja vidinaid. Ja mitte ainult siis, kui on vaja rakendada sõna otseses mõttes ebainimlikku jõudu: liigutada koormat, tõsta see kõrgusele, kaevata pikk ja sügav kraav jne. Tänapäeval panevad autod kokku robotid, toitu valmistavad multikeetjad ja elementaarsed aritmeetilised arvutused on teostavad kalkulaatorid. Üha sagedamini kuuleme väljendit "Boole'i algebra". Võib-olla on aeg mõista inimese rolli robotite loomisel ja masinate võimet lahendada mitte ainult matemaatilisi, vaid ka loogilisi probleeme.
Logika
Kreeka keelest tõlgituna on loogika korrastatud mõtlemise süsteem, mis loob seoseid etteantud tingimuste vahel ning võimaldab teha järeldusi eelduste ja eelduste põhjal. Üsna sageli küsime üksteiselt: "Kas see on loogiline?" Saadud vastus kinnitab meie oletusi või kritiseerib mõttekäiku. Kuid protsess ei peatu: me jätkame arutlemist.
Mõnikord on tingimuste hulk (sissejuhatav) nii suur ning nendevahelised suhted nii keerulised ja keerulised, et inimese aju ei suuda kõike korraga "seedida". Juhtunu mõistmiseks võib kuluda rohkem kui üks kuu (nädal, aasta). Agakaasaegne elu ei anna meile selliseid ajavahemikke otsuste tegemiseks. Ja me kasutame arvutite abi. Ja siin ilmubki loogika algebra oma seaduste ja omadustega. Kõikide algandmete allalaadimisega võimaldame arvutil tuvastada kõik seosed, kõrvaldada vastuolud ja leida rahuldava lahenduse.
Matemaatika ja loogika
Kuulus Gottfried Wilhelm Leibniz sõnastas mõiste "matemaatiline loogika", mille probleemid olid arusaadavad vaid kitsale teadlaste ringile. See suund erilist huvi ei äratanud ja kuni 19. sajandi keskpaigani teadsid matemaatilisest loogikast vähesed.
Suur huvi teadusringkondade vastu põhjustas vaidluse, mille käigus inglane George Boole teatas oma kavatsusest luua matemaatika haru, millel pole praktiliselt mingit rakendust. Nagu ajaloost mäletame, arenes sel ajal aktiivselt tööstuslik tootmine, arendati kõikvõimalikke abimasinaid ja tööpinke ehk kõik teaduslikud avastused olid praktilise fookusega.
Edasi vaadates oletame, et Boole'i algebra on tänapäeva maailmas matemaatika enimkasutatav osa. Nii et Bull kaotas oma argumendi.
George Buhl
Autori isiksus väärib erilist tähelepanu. Isegi kui arvestada, et vanasti kasvasid inimesed enne meid üles, on siiski võimatu mitte märkida, et 16-aastaselt õpetas J. Buhl külakoolis ja 20-aastaselt avas ta Lincolnis oma kooli. Matemaatik valdas vab alt viit võõrkeelt ja vabal ajal luges ta teoseidNewton ja Lagrange. Ja see kõik käib lihttöölise poja kohta!
Aastal 1839 esitas Boole esmakordselt oma teaduslikud tööd Cambridge Mathematical Journalile. Teadlane on 24-aastane. Boole'i töö huvitas Royal Society liikmeid nii, et 1844. aastal sai ta panuse eest matemaatilise analüüsi arendamisse medali. Veel mitmed avaldatud tööd, mis kirjeldasid matemaatilise loogika elemente, võimaldasid noorel matemaatikul asuda Corki kolledži professori kohale. Tuletage meelde, et Buhlil endal polnud haridust.
Idee
Põhimõtteliselt on Boole'i algebra väga lihtne. On väiteid (loogilisi väljendeid), mida matemaatika seisukoh alt saab määratleda ainult kahe sõnaga: "tõene" või "vale". Näiteks kevadel puud õitsevad – tõsi, suvel sajab lund – vale. Selle matemaatika ilu seisneb selles, et pole ranget vajadust kasutada ainult numbreid. Kõik ühemõttelise tähendusega väited sobivad kohtuotsuste algebraks.
Seega saab loogika algebrat kasutada sõna otseses mõttes kõikjal: ajakavas ja juhiste kirjutamisel, sündmuste vastuolulise teabe analüüsimisel ja tegevuste järjestuse määramisel. Kõige tähtsam on mõista, et on täiesti ebaoluline, kuidas me väite tõesuse või vääruse määrame. Need "kuidas" ja "miks" tuleb ära võtta. Tähtis on ainult faktiväide: tõene-vale.
Loomulikult on programmeerimisel olulised loogika algebra funktsioonid, mille kirjutavad vastavadmärgid ja sümbolid. Ja nende õppimine tähendab uue võõrkeele valdamist. Miski pole võimatu.
Põhimõisted ja määratlused
Süvenemata, tegeleme terminoloogiaga. Seega eeldab Boole'i algebra:
- avaldused;
- loogilised tehted;
- funktsioonid ja seadused.
Avaldused on mis tahes jaatavad väljendid, mida ei saa mitmetähenduslikult tõlgendada. Need on kirjutatud numbritena (5 > 3) või sõnastatud tuttavate sõnadega (elevant on suurim imetaja). Samal ajal on ka fraasil "kaelkirjakul pole kaela" õigus eksisteerida, ainult Boole'i algebra määratleb selle kui "vale".
Kõik väited peavad olema üheselt mõistetavad, kuid võivad olla elementaarsed ja liitlaused. Viimased kasutavad loogilisi sidemeid. See tähendab, et kohtuotsuste algebras moodustatakse liitväited elementaarlausete liitmisel loogikatehete abil.
Boole'i algebra tehted
Me juba mäletame, et tehted otsustuste algebras on loogilised. Nii nagu arvualgebra kasutab arvude liitmiseks, lahutamiseks või võrdlemiseks aritmeetikat, võimaldavad matemaatilise loogika elemendid teha keerulisi väiteid, eitada või arvutada lõpptulemust.
Loogikatehted formaliseerimiseks ja lihtsuseks kirjutatakse meile aritmeetikas tuttavate valemitega. Boole'i algebra omadused võimaldavad kirjutada võrrandeid ja arvutada tundmatuid. Loogikatehteid kirjutatakse tavaliselt tõetabeli abil. Selle veeruddefineerige arvutuse elemendid ja nendega tehtav toiming ning jooned näitavad arvutuse tulemust.
Põhilised loogilised toimingud
Tõu algebra levinumad toimingud on eitus (EI) ning loogiline JA ja VÕI. Peaaegu kõiki toiminguid otsustuste algebras saab kirjeldada nii. Uurime kõiki kolme toimingut üksikasjalikum alt.
Etus (mitte) kehtib ainult ühe elemendi (operandi) kohta. Seetõttu nimetatakse eitustehet unaarseks. Mõiste "mitte A" kirjutamiseks kasutage järgmisi sümboleid: ¬A, A¯¯¯ või !A. Tabelina näeb see välja järgmine:
Eitusfunktsiooni iseloomustab järgmine väide: kui A on tõene, siis B on väär. Näiteks Kuu tiirleb ümber Maa – tõsi; Maa tiirleb ümber Kuu – vale.
Loogiline korrutamine ja liitmine
Loogilist JA nimetatakse sideoperatsiooniks. Mida see tähendab? Esiteks, et seda saab rakendada kahele operandile, st Ja see on kahendtehte. Teiseks, et ainult mõlema operandi (nii A kui ka B) tõesuse korral on avaldis ise tõene. Vanasõna "Kannatlikkus ja töö jahvatavad kõik" viitab sellele, et ainult mõlemad tegurid aitavad inimesel raskustega toime tulla.
Kirjutamiseks kasutatavad sümbolid: A∧B, A⋅B või A&&B.
Sidesõna sarnaneb aritmeetikas korrutamisega. Mõnikord öeldakse, et - loogiline korrutamine. Kui korrutada tabeli elemendid ridade kaupa, saame loogilisele arutlusele sarnase tulemuse.
Disjunktsioon on loogiline VÕI-operatsioon. See võtab tõe väärtusekui vähem alt üks väidetest on tõene (kas A või B). See on kirjutatud nii: A∨B, A+B või A||B. Nende toimingute tõesuse tabelid on järgmised:
Disjunktsioon on nagu aritmeetiline liitmine. Loogilisel liitmise operatsioonil on ainult üks piirang: 1+1=1. Kuid me peame meeles, et digitaalvormingus on matemaatiline loogika piiratud 0 ja 1-ga (kus 1 on tõene, 0 on väär). Näiteks väide “muuseumis võid näha meistriteost või kohtuda huvitava vestluskaaslasega” tähendab, et näed kunstiteoseid või võid kohtuda huvitava inimesega. Samal ajal ei ole välistatud võimalus, et mõlemad sündmused toimuvad samaaegselt.
Funktsioonid ja seadused
Nii, me juba teame, milliseid loogilisi tehteid Boole'i algebra kasutab. Funktsioonid kirjeldavad kõiki matemaatilise loogika elementide omadusi ja võimaldavad lihtsustada ülesannete keerulisi liittingimusi. Kõige arusaadavam ja lihtsam omadus näib olevat tuletatud tehtetest keeldumine. Tuletisväärtpaberid on välistavad VÕI, implikatsioonid ja samaväärsused. Kuna oleme uurinud ainult põhitehteid, võtame arvesse ka ainult nende omadusi.
Assotsiatiivsus tähendab, et sellistes lausetes nagu "ja A, ja B ja C" ei ole operandide järjekord oluline. Valem on kirjutatud järgmiselt:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Nagu näete, ei ole see iseloomulik mitte ainult konjunktsioonile, vaid ka disjunktsioonile.
Komutatiivsus väidab, et tulemuskonjunktsioon või disjunktsioon ei sõltu sellest, millist elementi esimesena käsitleti:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Jaotus võimaldab sulgude laiendamist keerukates loogilistes avaldistes. Reeglid on sarnased algebras korrutamise ja liitmise sulgude avamisega:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Ühe ja nulli omadused, mis võivad olla üks operanditest, on samuti sarnased algebralisele nulliga või ühega korrutamisele ja ühega liitmisele:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotentsus ütleb meile, et kui operatsiooni tulemus osutub kahe võrdse operandi suhtes sarnaseks, siis võime “ära visata” lisaoperandid, mis muudavad arutluskäigu keerulisemaks. Nii konjunktsioon kui ka disjunktsioon on idempotentsed tehted.
B∧B=B; B∨B=B.
Absorptsioon võimaldab meil ka võrrandeid lihtsustada. Absorptsioon väidab, et kui ühe operandiga avaldisele rakendatakse teist sama elemendiga operatsiooni, on tulemuseks neeldumistehte operaand.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Tegevuste jada
Tegevuste jada ei oma tähtsust. Tegelikult, nagu algebra puhul, on Boole'i algebra kasutatavate funktsioonide prioriteet. Valemeid saab lihtsustada ainult siis, kui jälgida tehte olulisust. Järjestades kõige olulisemast kuni väikseimani, saame järgmise järjestuse:
1. Keeldumine.
2. Sidesõna.
3. Disjunktsioon, eksklusiivneVÕI.
4. Implikatsioon, samaväärsus.
Nagu näete, ei ole ainult eitusel ja sidesõnal võrdne prioriteet. Ja disjunktsiooni ja XOR prioriteet on võrdsed, samuti implikatsiooni ja samaväärsuse prioriteedid.
Implikatsiooni- ja samaväärsuse funktsioonid
Nagu me juba ütlesime, kasutab matemaatiline loogika ja algoritmide teooria lisaks põhilistele loogikatehetele tuletisi. Kõige sagedamini kasutatakse implikatsiooni ja samaväärsust.
Implikatsioon ehk loogiline tagajärg on väide, milles üks tegevus on tingimus, teine aga selle rakendamise tagajärg. Teisisõnu, see on lause eessõnadega "kui … siis." "Kui sulle meeldib sõita, siis meeldib kelke kanda." Ehk siis suusatamiseks tuleb kelk mäest üles pingutada. Kui mäest alla liikuda pole soovi, siis ei pea kelku tassima. See on kirjutatud järgmiselt: A→B või A⇒B.
Ekvivalentsus eeldab, et tulemuseks olev tegevus toimub ainult siis, kui mõlemad operandid on tõesed. Näiteks öö muutub päevaks, kui (ja ainult siis, kui) päike horisondi kohal tõuseb. Matemaatilise loogika keeles kirjutatakse see väide järgmiselt: A≡B, A⇔B, A==B.
Teised Boole'i algebra seadused
Kohtuotsuste algebra areneb ja paljud huvitatud teadlased on sõnastanud uued seadused. Šoti matemaatiku O. de Morgani postulaate peetakse kõige kuulsamaks. Ta märkas ja määratles sellised omadused nagu lähedane eitus, täiend ja topelteitus.
Sule eitus tähendab, et sulgu ees ei ole eitust:mitte (A või B)=mitte A või EI B.
Kui operandi eitada, räägitakse selle väärtusest olenemata täiendusest:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Ja lõpuks kompenseerib kahekordne eitus ennast. Need. kas eitus kaob enne operandit või jääb alles ainult üks.
Kuidas teste lahendada
Matemaatiline loogika eeldab etteantud võrrandite lihtsustamist. Nii nagu algebras, tuleb esm alt teha tingimus võimalikult lihtsaks (vabaneda keerulistest sisenditest ja nendega tehtavatest toimingutest) ning seejärel hakata õiget vastust otsima.
Mida saab lihtsustamiseks teha? Teisendage kõik tuletatud toimingud lihtsateks. Seejärel avage kõik sulgud (või vastupidi, võtke see sulgudest välja, et seda elementi lühendada). Järgmise sammuna tuleks rakendada Boole'i algebra omadusi praktikas (neeldumine, nulli ja ühe omadused jne).
Lõppkokkuvõttes peaks võrrand koosnema minimaalsest tundmatute arvust, mis on kombineeritud lihtsate toimingutega. Lihtsaim viis lahenduse leidmiseks on saavutada suur hulk lähinegatiive. Siis ilmub vastus justkui iseenesest.
