Mehaanilist süsteemi, mis koosneb materiaalsest punktist (kehast), mis ripub venitamatul kaaluta niidil (selle mass on keha raskusega võrreldes tühine) ühtlases gravitatsiooniväljas, nimetatakse matemaatiliseks pendliks (teine nimi on ostsillaator). Seda seadet on ka teist tüüpi. Keerme asemel võib kasutada kaaluta varda. Matemaatiline pendel võib selgelt paljastada paljude huvitavate nähtuste olemuse. Väikese võnkeamplituudiga nimetatakse selle liikumist harmooniliseks.
Mehaanilise süsteemi ülevaade
Selle pendli võnkeperioodi valemi tuletas Hollandi teadlane Huygens (1629-1695). Sellele I. Newtoni kaasaegsele meeldis see mehaaniline süsteem väga. Aastal 1656 lõi ta esimese pendelkella. Nad mõõtsid aega erakordseltnende aegade täpsuse eest. Sellest leiutisest on saanud suur verstapost füüsiliste katsete ja praktiliste tegevuste arendamisel.
Kui pendel on tasakaalus (rippub vertikaalselt), siis raskusjõudu tasakaalustab keerme pingutusjõud. Lame pendel pikendamatul keermel on kahe vabadusastmega süsteem ühendusega. Kui muudate ainult ühte komponenti, muutuvad kõigi selle osade omadused. Seega, kui niit asendatakse vardaga, on sellel mehaanilisel süsteemil ainult 1 vabadusaste. Millised on matemaatilise pendli omadused? Selles kõige lihtsamas süsteemis tekib kaos perioodilise häire mõjul. Juhul, kui vedrustuspunkt ei liigu, vaid võngub, on pendlil uus tasakaaluasend. Kiirete üles-alla võnkumiste korral omandab see mehaaniline süsteem stabiilse tagurpidi asendi. Tal on ka oma nimi. Seda nimetatakse Kapitza pendliks.
Pendi omadused
Matemaatilisel pendlil on väga huvitavad omadused. Neid kõiki kinnitavad teadaolevad füüsikaseadused. Mis tahes muu pendli võnkeperiood sõltub erinevatest asjaoludest, nagu keha suurus ja kuju, vedrustuspunkti ja raskuskeskme vaheline kaugus, massi jaotus selle punkti suhtes. Seetõttu on rippuva keha perioodi määramine üsna keeruline ülesanne. Palju lihtsam on arvutada matemaatilise pendli perioodi, mille valem on toodud allpool. Sarnaste vaatluste tulemusenamehaanilised süsteemid võivad luua järgmisi mustreid:
• Kui pendli sama pikkuse säilitamisel riputame üles erinevad raskused, siis on nende võnkeperiood sama, kuigi nende massid on väga erinevad. Seetõttu ei sõltu sellise pendli periood koormuse massist.
• Süsteemi käivitamisel, kui pendlit nihutatakse mitte liiga suurte, vaid erinevate nurkade võrra, hakkab see võnkuma sama perioodiga, kuid erineva amplituudiga. Kuni kõrvalekalded tasakaalukeskmest ei ole liiga suured, on võnkumised oma kujul harmoonilistele üsna lähedased. Sellise pendli periood ei sõltu kuidagi võnkeamplituudist. Selle mehaanilise süsteemi seda omadust nimetatakse isokronismiks (tõlkes kreeka keelest "chronos" - aeg, "isos" - võrdne).
Matemaatikapendli periood
See indikaator tähistab loomulike võnkumiste perioodi. Hoolimata keerulisest sõnastusest on protsess ise väga lihtne. Kui matemaatilise pendli keerme pikkus on L ja vabalangemise kiirendus on g, siis on see väärtus:
T=2π√L/g
Väikeste omavõnkumiste periood ei sõltu kuidagi pendli massist ja võnkumiste amplituudist. Sel juhul liigub pendel nagu vähendatud pikkusega matemaatiline pendel.
Matemaatilise pendli kõikumised
Matemaatiline pendel võngub, mida saab kirjeldada lihtsa diferentsiaalvõrrandiga:
x + ω2 sin x=0, kus x (t) on tundmatu funktsioon (see on alumisest kõrvalekalde nurktasakaaluasend ajahetkel t, väljendatuna radiaanides); ω on positiivne konstant, mis määratakse pendli parameetrite järgi (ω=√g/L, kus g on vabalangemise kiirendus ja L on matemaatilise pendli (vedrustuse) pikkus).
Väikeste kõikumiste võrrand tasakaaluasendi lähedal (harmooniline võrrand) näeb välja järgmine:
x + ω2 sin x=0
Pendi võnkuvad liigutused
Matemaatiline pendel, mis paneb väikseid võnkumisi liikuma mööda sinusoidi. Teist järku diferentsiaalvõrrand vastab kõigile sellise liikumise nõuetele ja parameetritele. Trajektoori määramiseks peate määrama kiiruse ja koordinaadi, millest seejärel määratakse sõltumatud konstandid:
x=patt (θ0 + ωt), kus θ0 on algfaas, A on võnkeamplituud, ω on liikumisvõrrandist määratud tsükliline sagedus.
Matemaatiline pendel (suurte amplituudide valemid)
See mehaaniline süsteem, mis teeb oma võnkumisi märkimisväärse amplituudiga, järgib keerukamaid liikumisseadusi. Sellise pendli puhul arvutatakse need järgmise valemiga:
sin x/2=usn(ωt/u), kus sn on Jacobi siinus, mis u < 1 jaoks on perioodiline funktsioon ja väikese u korral langeb see kokku lihtsa trigonomeetrilise siinusega. u väärtus määratakse järgmise avaldise abil:
u=(ε + ω2)/2ω2, kus ε=E/mL2 (mL2 on pendli energia).
Mittelineaarse pendli võnkeperioodi määramineviiakse läbi vastav alt valemile:
T=2π/Ω, kus Ω=π/2ω/2K(u), K on elliptiline integraal, π - 3, 14.
Pendli liikumine mööda eraldajat
Separatriks on kahemõõtmelise faasiruumiga dünaamilise süsteemi trajektoor. Matemaatiline pendel liigub mööda seda mitteperioodiliselt. Lõpmatult kaugel ajahetkel kukub see äärmisest ülemisest asendist nullkiirusega küljele, seejärel tõstab ta järk-järgult üles. Lõpuks see peatub ja naaseb algasendisse.
Kui pendli võnkumiste amplituud läheneb arvule π, näitab see, et liikumine faasitasandil läheneb separatriksile. Sellisel juhul käitub mehaaniline süsteem väikese perioodilise liikumapaneva jõu toimel kaootiliselt.
Kui matemaatiline pendel kaldub tasakaaluasendist kõrvale teatud nurga φ võrra, tekib tangentsiaalne raskusjõud Fτ=–mg sin φ. Miinusmärk tähendab, et see tangentsiaalne komponent on suunatud pendli läbipaindest vastupidises suunas. Kui pendli nihet piki raadiusega L ringikaare tähistatakse x-ga, on selle nurknihe võrdne φ=x/L. Isaac Newtoni teine seadus, mis on loodud kiirendusvektori ja jõu projektsioonide jaoks, annab soovitud väärtuse:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Selle suhte põhjal on selge, et see pendel on mittelineaarne süsteem, kuna jõud, mis püüab tagasi pöördudasee tasakaaluasendiga on alati võrdeline mitte nihkega x, vaid singa x/L.
Ainult siis, kui matemaatiline pendel teeb väikeseid võnkumisi, on see harmooniline ostsillaator. Teisisõnu, sellest saab mehaaniline süsteem, mis on võimeline teostama harmoonilisi vibratsioone. See lähenemine kehtib praktiliselt 15–20° nurkade puhul. Suure amplituudiga pendli võnkumised ei ole harmoonilised.
Newtoni seadus pendli väikeste võnkumiste kohta
Kui see mehaaniline süsteem teostab väikest vibratsiooni, näeb Newtoni 2. seadus välja järgmine:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Selle põhjal võime järeldada, et matemaatilise pendli tangentsiaalne kiirendus on võrdeline selle nihkega miinusmärgiga. See on seisund, mille tõttu süsteem muutub harmooniliseks ostsillaatoriks. Nihke ja kiirenduse vahelise proportsionaalse võimenduse moodul on võrdne ringsageduse ruuduga:
ω02=g/l; ω0=√ g/L.
See valem peegeldab seda tüüpi pendli väikeste võnkumiste loomulikku sagedust. Selle põhjal
T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Arvutused energia jäävuse seaduse alusel
Pendi võnkuvate liikumiste omadusi saab kirjeldada ka energia jäävuse seaduse abil. Sel juhul tuleb arvestada, et pendli potentsiaalne energia gravitatsiooniväljas on:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Mehaaniline koguenergiavõrdub kineetilise või maksimaalse potentsiaaliga: Epmax=Ekmsx=E
Pärast energia jäävuse seaduse kirjutamist võtke võrrandi parema ja vasaku külje tuletis:
Ep + Ek=const
Kuna konstantsete väärtuste tuletis on 0, siis (Ep + Ek)'=0. Summa tuletis võrdub tuletiste summaga:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2 (v2)'=m/22vv'=mv α, siit:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Viimase valemi põhjal leiame: α=- g/Lx.
Matemaatilise pendli praktiline rakendamine
Vaba langemise kiirendus varieerub sõltuv alt geograafilisest laiuskraadist, kuna maakoore tihedus kogu planeedil ei ole sama. Seal, kus esineb suurema tihedusega kivimeid, on see mõnevõrra suurem. Geoloogiliseks uurimiseks kasutatakse sageli matemaatilise pendli kiirendust. Seda kasutatakse erinevate mineraalide otsimiseks. Lihts alt pendli pöördeid lugedes leiate Maa sisikonnast kivisütt või maaki. See on tingitud asjaolust, et selliste fossiilide tihedus ja mass on suurem kui nende aluseks olevad lahtised kivimid.
Matemaatilist pendlit kasutasid sellised silmapaistvad teadlased nagu Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarchos, Archimedes. Paljud neist uskusid, et see mehaaniline süsteem võib mõjutada inimese saatust ja elu. Archimedes kasutas oma arvutustes matemaatilist pendlit. Tänapäeval paljud okultistid ja selgeltnägijadkasutage seda mehaanilist süsteemi nende ennustuste täitmiseks või kadunud inimeste otsimiseks.
Kuulus prantsuse astronoom ja loodusteadlane K. Flammarion kasutas oma uurimistöös ka matemaatilist pendlit. Ta väitis, et suutis tema abiga ennustada uue planeedi avastamist, Tunguska meteoriidi ilmumist ja muid olulisi sündmusi. Teise maailmasõja ajal töötas Saksamaal (Berliinis) spetsialiseerunud Pendliinstituut. Tänapäeval tegeleb samalaadse uurimistööga Müncheni parapsühholoogia instituut. Selle asutuse töötajad nimetavad oma tööd pendliga "radiesteesiaks".
