Ruutjuurt sisaldavate arvavaldistega töötamise oskus on vajalik mitmete OGE-st ja USE-st tulenevate probleemide edukaks lahendamiseks. Nendel eksamitel piisab tavaliselt algteadmistest, mis on juurekstraktsioon ja kuidas seda praktikas tehakse.
Definitsioon
Arvu X n-s juur on arv x, mille võrdsus on tõene: xn =X.
Avaldise väärtuse leidmine juurega tähendab x leidmist antud X ja n juures.
X-i ruutjuur või, mis on sama, teine juur – arv x, mille võrdsus on täidetud: x2 =X.
Tähistus: ∛Х. Siin on 3 juure aste, X on juuravaldis. Märki '√' nimetatakse sageli radikaaliks.
Kui juure kohal olev arv ei näita kraadi, siis on vaikimisi aste 2.
Paarisastme koolikursuses ei võeta tavaliselt arvesse negatiivseid juuri ega radikaalseid väljendeid. Näiteks puudub√-2 ja avaldise √4 puhul on õige vastus 2, hoolimata asjaolust, et (-2)2 võrdub samuti 4.
Juurte ratsionaalsus ja irratsionaalsus
Kõige lihtsam ülesanne juurjuurega on leida avaldise väärtus või testida selle ratsionaalsust.
Näiteks arvutage väärtused√25; ∛8; ∛-125:
- √25=5, sest 52 =25;
- ∛8=2, sest 23 =8;
- ∛ - 125=-5 alates (-5)3 =-125.
Antud näidete vastused on ratsionaalsed arvud.
Töötades avaldistega, mis ei sisalda literaalseid konstante ja muutujaid, on soovitatav selline kontroll alati läbi viia, kasutades loomuliku astmeni tõstmise pöördoperatsiooni. Arvu x leidmine n-nda astmeni võrdub x n teguri korrutise arvutamisega.
On palju juurega avaldisi, mille väärtus on irratsionaalne, st kirjutatud lõpmatu mitteperioodilise murdena.
Definitsiooni järgi on ratsionaalid need, mida saab väljendada hariliku murruna, ja irratsionaalid on kõik muud reaalarvud.
Nende hulka kuuluvad √24, √0, 1, √101.
Kui ülesannete raamat ütleb: leidke avaldise väärtus juurega 2, 3, 5, 6, 7 jne, st nende naturaalarvude hulgast, mida ruutude tabelis ei ole, siis õige vastus on √ 2 võib esineda (kui pole öeldud teisiti).
Hindamine
Probleemidavatud vastus, kui juurega avaldise väärtust ei ole võimalik leida ja seda ratsionaalarvuna kirjutada, tuleb tulemuseks jätta radikaal.
Mõned ülesanded võivad vajada hindamist. Võrrelge näiteks 6 ja √37. Lahendus nõuab mõlema arvu ruudustamist ja tulemuste võrdlemist. Kahest arvust on suurem see, mille ruut on suurem. See reegel töötab kõigi positiivsete arvude puhul:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- tähendab √37 > 6.
Samamoodi lahendatakse ülesandeid, mille puhul tuleb järjestada mitu numbrit kasvavas või kahanevas järjekorras.
Näide: järjestage 5, √6, √48, √√64 kasvavas järjekorras.
Pärast ruudustamist on meil: 25, 6, 48, √64. Võiks kõik arvud uuesti ruutu panna, et võrrelda neid arvuga √64, kuid see võrdub ratsionaalarvuga 8. 6 < 8 < 25 < 48, seega on lahendus: 48.
Avaldise lihtsustamine
Juhtub, et juurega avaldise väärtust pole võimalik leida, mistõttu tuleb seda lihtsustada. Sellele aitab kaasa järgmine valem:
√ab=√a√b.
Kahe arvu korrutise juur on võrdne nende juurte korrutisega. See toiming nõuab ka arvu faktoriseerimise võimalust.
Algfaasis on töö kiirendamiseks soovitatav käes hoida algarvude ja ruutude tabel. Need tabelid koos sagedasteedaspidine kasutamine jääb meelde.
Näiteks √242 on irratsionaalne arv, saate selle teisendada järgmiselt:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Tavaliselt kirjutatakse tulemuseks 11√2 (loe: üksteist juurt kahest).
Kui on raske kohe aru saada, milliseks kaheks teguriks tuleb arv lagundada, et ühest neist saaks eraldada loomulik juur, saate kasutada täielikku lagundust algteguriteks. Kui sama algarv esineb laienduses kaks korda, võetakse see juurmärgist välja. Kui tegureid on palju, saate juure eraldada mitme sammuga.
Näide: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Number 2 esineb laienduses 2 korda (tegelikult rohkem kui kaks korda, kuid meid huvitab siiski kaks esimest esinemist laienduses).
Võtame selle juurmärgi alt välja:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Korrake sama toimingut:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).
Ülejäänud radikaalavaldises esinevad 2 ja 3 üks kord, seega jääb üle koefitsient 5 välja võtta:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√ (2 × 3);
ja sooritage aritmeetilisi tehteid:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Nii saame √2400=20√6.
Kui ülesandes ei ole selgesõnaliselt öeldud: "leia ruutjuurega avaldise väärtus", siis valik,millisel kujul vastus jätta (kas võtta juur radikaali alt välja) jääb õpilasele ja võib sõltuda lahendatavast probleemist.
Algul esitatakse kõrged nõuded ülesannete kavandamisele, arvutamisele, sealhulgas suulisele või kirjalikule, tehnilisi vahendeid kasutamata.
Alles pärast irratsionaalsete arvavaldistega töötamise reeglite head valdamist on mõttekas liikuda raskemate sõnasõnaliste avaldiste juurde ning irratsionaalsete võrrandite lahendamisele ja avaldise võimalike väärtuste vahemiku arvutamisele. radikaalne.
Õpilased puutuvad seda tüüpi probleemidega kokku matemaatika ühtsel riigieksamil, samuti spetsialiseeritud ülikoolide esimesel kursusel matemaatilist analüüsi ja sellega seotud erialasid õppides.
