Funktsioon ja selle funktsioonide uurimine on tänapäevase matemaatika üks peamisi peatükke. Mis tahes funktsiooni põhikomponendiks on graafikud, mis kujutavad mitte ainult selle omadusi, vaid ka selle funktsiooni tuletise parameetreid. Heidame pilgu sellele keerulisele teemale. Mis on siis parim viis funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktide leidmiseks?
Funktsioon: definitsioon
Iga muutujat, mis mingil moel sõltub mõne muu väärtuse väärtustest, võib nimetada funktsiooniks. Näiteks funktsioon f(x2) on ruudukujuline ja määrab kogu hulga x väärtused. Oletame, et x=9, siis meie funktsiooni väärtus võrdub 92=81.
Funktsioone on mitut tüüpi: loogilised, vektor-, logaritmi-, trigonomeetrilised, numbrilised ja muud. Nende uurimistööga tegelesid sellised silmapaistvad inimesed nagu Lacroix, Lagrange, Leibniz ja Bernoulli. Nende kirjutised on tugisammas funktsioonide uurimise kaasaegsetes viisides. Enne miinimumpunktide leidmist on väga oluline mõista funktsiooni ja selle tuletise tähendust.
Tuletis ja selle roll
Kõik funktsioonid on seessõltuv alt nende muutuvatest väärtustest, mis tähendab, et nad saavad oma väärtust igal ajal muuta. Graafikul kujutatakse seda kõverana, mis kas laskub või tõuseb piki y-telge (see on kogu "y" numbrite komplekt piki graafiku vertikaali). Ja nii on funktsiooni maksimumi ja miinimumi punkti määratlus lihts alt seotud nende "võnkumistega". Selgitagem, mis see suhe on.
Iga funktsiooni tuletis joonistatakse graafikule, et uurida selle põhiomadusi ja arvutada, kui kiiresti funktsioon muutub (st muudab selle väärtust olenev alt muutujast "x"). Sel hetkel, kui funktsioon suureneb, suureneb ka selle tuletise graafik, kuid igal sekundil võib funktsioon hakata vähenema ja siis tuletise graafik väheneb. Neid punkte, kus tuletis läheb miinusest plussi, nimetatakse miinimumpunktideks. Et teada saada, kuidas leida miinimumpunkte, peaksite paremini mõistma tuletise mõistet.
Kuidas tuletist arvutada?
Funktsiooni tuletise defineerimine ja arvutamine eeldab mitut diferentsiaalarvutuse mõistet. Üldiselt võib tuletise definitsiooni väljendada järgmiselt: see on väärtus, mis näitab funktsiooni muutumise kiirust.
Selle määramise matemaatiline viis tundub paljude õpilaste jaoks keeruline, kuid tegelikult on kõik palju lihtsam. Peate lihts alt järgimastandardplaan mis tahes funktsiooni tuletise leidmiseks. Järgnev alt kirjeldatakse, kuidas saate leida funktsiooni miinimumpunkti ilma diferentseerimisreegleid rakendamata ja tuletiste tabelit pähe õppimata.
- Graafi abil saate arvutada funktsiooni tuletise. Selleks peate kujutama funktsiooni ennast, seejärel võtma sellel ühe punkti (joonisel punkt A) Tõmmake joon vertikaalselt alla abstsissteljeni (punkt x0) ja punktis A joonistage funktsioonigraafika puutuja. Abstsisstelg ja puutuja moodustavad nurga a. Funktsiooni kasvu väärtuse arvutamiseks peate arvutama selle nurga puutuja a.
- Selgub, et puutuja ja x-telje suuna vahelise nurga puutuja on funktsiooni tuletis väikesel alal punktiga A. Seda meetodit peetakse tuletise määramise geomeetriliseks viisiks.
Funktsiooni uurimise meetodid
Matemaatika koolikavas on funktsiooni miinimumpunkti võimalik leida kahel viisil. Esimest meetodit oleme juba graafiku abil analüüsinud, aga kuidas määrata tuletise arvväärtust? Selleks peate õppima mitut valemit, mis kirjeldavad tuletise omadusi ja aitavad muuta muutujaid, nagu "x" arvudeks. Järgmine meetod on universaalne, seega saab seda rakendada peaaegu igasuguste funktsioonide (nii geomeetriliste kui ka logaritmiliste) puhul.
- Funktsioon on vaja võrdsustada tuletisfunktsiooniga ja seejärel avaldist reeglite abil lihtsustadaeristamine.
- jaga nulliga).
- Pärast seda peaksite teisendama funktsiooni algkuju lihtsaks võrrandiks, võrdsustades kogu avaldise nulliga. Näiteks kui funktsioon nägi välja selline: f(x)=2x3+38x, siis vastav alt diferentseerimisreeglitele on selle tuletis võrdne f'(x)=3x 2 +1. Seejärel teisendame selle avaldise järgmise kujuga võrrandiks: 3x2+1=0.
- Pärast võrrandi lahendamist ja punktide "x" leidmist tuleks need joonistada x-teljele ja teha kindlaks, kas tuletis nendel aladel märgitud punktide vahel on positiivne või negatiivne. Pärast tähistust selgub, millisel hetkel hakkab funktsioon vähenema, see tähendab, et see muudab märgi miinusest vastupidiseks. Nii saate leida nii miinimum- kui ka maksimumpunktid.
Eristamise reeglid
Funktsiooni ja selle tuletise õppimise kõige elementaarsem osa on diferentseerimisreeglite tundmine. Ainult nende abiga on võimalik teisendada tülikaid avaldisi ja suuri keerulisi funktsioone. Saame nendega tuttavaks, neid on päris palju, aga need on kõik väga lihtsad nii astme- kui ka logaritmfunktsioonide regulaarsete omaduste tõttu.
- Iga konstandi tuletis on null (f(x)=0). See tähendab, et tuletis f(x)=x5+ x - 160 on järgmisel kujul: f' (x)=5x4+1.
- Kahe liikme summa tuletis: (f+w)'=f'w + fw'.
- Logaritmilise funktsiooni tuletis: (logad)'=d/ln ad. See valem kehtib igasuguste logaritmide kohta.
- Kraadi tuletis: (x)'=nxn-1. Näiteks (9x2)'=92x=18x.
- Sinusfunktsiooni tuletis: (sin a)'=cos a. Kui nurga a sin on 0,5, siis on selle tuletis √3/2.
Ekstreemsed punktid
Oleme juba välja mõelnud, kuidas leida miinimumpunkte, kuid on olemas funktsiooni maksimumpunktide mõiste. Kui miinimum tähistab neid punkte, kus funktsioon läheb miinusest plussile, siis maksimumpunktid on need punktid x-teljel, kus funktsiooni tuletis muutub plussist vastupidiseks - miinus.
Maksimaalsed punktid leiate ülalkirjeldatud meetodil, kuid tuleb arvestada, et need tähistavad neid piirkondi, kus funktsioon hakkab vähenema, see tähendab, et tuletis on väiksem kui null.
Matemaatikas on tavaks mõlemat mõistet üldistada, asendades need fraasiga "äärmuspunktid". Kui ülesanne palub need punktid määrata, tähendab see, et on vaja arvutada selle funktsiooni tuletis ning leida miinimum- ja maksimumpunktid.
