Tänini on matemaatika üks raskemaid osi murrud. Murdude ajalugu on rohkem kui üks aastatuhandel. Võimalus terviku osadeks jagada tekkis Vana-Egiptuse ja Babüloni territooriumil. Aastatega muutusid murdosadega tehtavad toimingud keerulisemaks, muutus nende salvestamise vorm. Igal iidse maailma seisundil oli selle matemaatika osaga "suhtes" oma eripärad.
Mis on murd?
Kui tekkis vajadus ilma täiendava pingutuseta tervik osadeks jagada, siis tekkisid murrud. Murdude ajalugu on lahutamatult seotud utilitaarsete probleemide lahendamisega. Mõistel "fraktsioon" on araabia juured ja see pärineb sõnast, mis tähendab "murda, jaga". Alates iidsetest aegadest on selles mõttes vähe muutunud. Tänapäevane definitsioon on järgmine: murd on ühiku osa või osade summa. Vastav alt sellele kujutavad näited murdudega matemaatiliste toimingute järjestikust täitmist arvude murdosadega.
Täna on neid kaksnende salvestamise viis. Tava- ja kümnendmurrud tekkisid eri aegadel: esimesed on iidsemad.
Igast ajast pärit
Esimest korda hakkasid nad fraktsioonidega opereerima Egiptuse ja Babüloni territooriumil. Kahe osariigi matemaatikute lähenemises oli olulisi erinevusi. Algus oli aga seal ja seal sama. Esimene murd oli pool või 1/2. Siis tuli veerand, kolmandik jne. Arheoloogiliste väljakaevamiste kohaselt on fraktsioonide tekkimise ajalugu umbes 5 tuhat aastat. Esmakordselt leitakse arvu murdosasid Egiptuse papüürustest ja Babüloonia savitahvlitest.
Vana-Egiptus
Tavaliste murdude tüübid hõlmavad tänapäeval nn Egiptuse murde. Need on mitme vormi 1/n liikme summa. Lugeja on alati üks ja nimetaja on naturaalarv. Sellised fraktsioonid ilmusid Vana-Egiptuses, ükskõik kui raske seda on arvata. Kõikide aktsiate arvutamisel üritati need selliste summadena (näiteks 1/2 + 1/4 + 1/8) alla kirjutada. Ainult murdudel 2/3 ja 3/4 olid eraldi tähised, ülejäänud jagunesid terminiteks. Seal olid spetsiaalsed tabelid, milles arvu murrud esitati summana.
Vanim teadaolev viide sellisele süsteemile leidub Rhindi matemaatilises papüüruses, mis pärineb teise aastatuhande algusest eKr. See sisaldab murdude ja matemaatikaülesannete tabelit koos lahenduste ja vastustega, mis on esitatud murdude summadena. Egiptlased teadsid, kuidas arvu murde liita, jagada ja korrutada. Kaadrid Niiluse oruskirjutati hieroglüüfe kasutades.
Vana-Egiptusele iseloomulikku arvu murdosa esitamist terminite summana kujul 1/n kasutasid matemaatikud mitte ainult selles riigis. Kuni keskajani kasutati Kreekas ja teistes osariikides Egiptuse fraktsioone.
Matemaatika areng Babülonis
Matemaatika nägi Babüloonia kuningriigis välja teistsugune. Murdude tekkelugu on siin otseselt seotud arvusüsteemi iseärasustega, mille antiikriik pärandas oma eelkäij alt, Sumeri-Akkadi tsivilisatsioonilt. Babüloonias oli arvutustehnika mugavam ja täiuslikum kui Egiptuses. Matemaatika lahendas selles riigis palju suurema hulga probleeme.
Babüloonlaste saavutusi saab hinnata tänapäeval säilinud savitahvlite järgi, mis on täidetud kiilkirjaga. Materjali omaduste tõttu on neid meieni jõudnud palju. Mõnede teadlaste sõnul avastasid Babüloonia matemaatikud enne Pythagorast tuntud teoreemi, mis kahtlemata viitab teaduse arengule selles iidses riigis.
Murrud: murdude ajalugu Babülonis
Babüloonia numbrisüsteem oli seksagesiaalne. Iga uus kategooria erines eelmisest 60 võrra. Selline süsteem on tänapäeva maailmas säilinud aja ja nurkade näitamiseks. Murrud olid samuti seksagesimaalsed. Salvestamiseks kasutati spetsiaalseid ikoone. Nagu Egiptuses, sisaldasid murdnäited 1/2, 1/3 ja 2/3 jaoks eraldi sümboleid.
Babülooniasüsteem ei kadunud koos riigiga. 60. süsteemis kirjutatud murde kasutasid iidsed ja araabia astronoomid ja matemaatikud.
Vana-Kreeka
Tavaliste murdude ajalugu Vana-Kreekas palju ei rikastatud. Hellase elanikud uskusid, et matemaatika peaks toimima ainult täisarvudega. Seetõttu murdosadega väljendeid Vana-Kreeka traktaatide lehtedel praktiliselt ei esinenud. Teatud panuse sellesse matemaatika harusse andsid aga pütagoorlased. Nad mõistsid murde suhet või proportsioone ning pidasid ka ühikut jagamatuks. Pythagoras ja tema õpilased koostasid üldise murdude teooria, õppisid sooritama kõiki nelja aritmeetilist tehtet, samuti kuidas võrrelda murde, taandades need ühise nimetajani.
Püha Rooma impeerium
Rooma murdude süsteemi seostati kaalumõõduga, mida kutsuti "perse". See jagunes 12 aktsiaks. 1/12 assat nimetati untsiks. Murdnimesid oli 18. Siin on mõned neist:
- pool-pool perse;
- sextante – ak-i kuues;
- poolunts – pool untsi või 1/24 ässa.
Sellise süsteemi ebamugavus seisnes selles, et arvu ei olnud võimalik esitada murdena, mille nimetaja on 10 või 100. Rooma matemaatikud said raskusest üle protsentide kasutamisega.
Harilike murdude kirjutamine
Antiikajal kirjutati murde juba tuttaval viisil: üks arv teise kohal. Siiski oli üks oluline erinevus. Lugeja asusnimetaja all. Esimest korda hakati murde sel viisil kirjutama Vana-Indias. Araablased hakkasid meie jaoks kasutama moodsat viisi. Kuid ükski neist rahvastest ei kasutanud lugeja ja nimetaja eraldamiseks horisontaalset joont. See ilmus esmakordselt Pisa Leonardo, paremini tuntud kui Fibonacci, kirjutistes aastal 1202.
Hiina
Kui tavaliste murdude ajalugu sai alguse Egiptusest, siis kümnendkohad ilmusid esmakordselt Hiinas. Taevaimpeeriumis hakati neid kasutama umbes 3. sajandist eKr. Kümnendkohtade ajalugu sai alguse Hiina matemaatikust Liu Huist, kes tegi ettepaneku kasutada neid ruutjuurte eraldamiseks.
III sajandil pKr hakati Hiinas kaalu ja mahu arvutamiseks kasutama kümnendmurde. Tasapisi hakkasid nad üha sügavamale matemaatikasse tungima. Euroopas hakati aga kümnendkohti kasutama palju hiljem.
Al-Kashi Samarkandist
Hiina eelkäijatest hoolimata avastas kümnendmurrud iidse Samarkandi linna astronoom al-Kashi. Ta elas ja töötas 15. sajandil. Teadlane kirjeldas oma teooriat traktaadis "Aritmeetika võti", mis avaldati 1427. aastal. Al-Kashi tegi ettepaneku kasutada murdude jaoks uut tähistusvormi. Nii täis- kui ka murdosa kirjutati nüüd ühele reale. Samarkandi astronoom ei kasutanud nende eraldamiseks koma. Ta kirjutas täisarvu ja murdosa erinevates värvides, kasutades musta ja punast tinti. Al-Kashi kasutas mõnikord nende eraldamiseks ka vertikaalset riba.
Komakohad Euroopas
Uut tüüpi murrud hakkasid Euroopa matemaatikute töödesse ilmuma alates 13. sajandist. Tuleb märkida, et nad ei tundnud al-Kashi teoseid ega ka hiinlaste leiutist. Jordan Nemorariuse kirjutistes ilmusid kümnendmurrud. Siis kasutas neid juba 16. sajandil Francois Viet. Prantsuse teadlane kirjutas "Matemaatilise kaanoni", mis sisaldas trigonomeetrilisi tabeleid. Nendes kasutas Viet kümnendmurde. Täisarvu ja murdosa eraldamiseks kasutas teadlane vertikaalset joont ja ka erinevat kirjasuurust.
Tegemist oli siiski vaid teadusliku kasutuse erijuhtudega. Igapäevaprobleemide lahendamiseks hakati Euroopas kümnendmurde kasutama mõnevõrra hiljem. See juhtus tänu Hollandi teadlasele Simon Stevinile 16. sajandi lõpus. Ta avaldas 1585. aastal matemaatilise töö "Kümnes". Selles kirjeldas teadlane teooriat kümnendmurdude kasutamise kohta aritmeetikas, rahasüsteemis ning mõõtude ja kaalude määramisel.
Punkt, punkt, koma
Stevin ei kasutanud ka koma. Ta eraldas murdosa kaks osa ringiga ümbritsetud nulliga.
Esimest korda eraldas koma kaks kümnendmurru osa alles 1592. aastal. Inglismaal kasutati aga hoopis täppi. Ameerika Ühendriikides kirjutatakse kümnendmurde endiselt sel viisil.
Üks algatajaid mõlema kirjavahemärgi kasutamisel täis- ja murdosade eraldamiseks oli Šoti matemaatik John Napier. Oma ettepaneku tegi ta 1616.–1617. kasutatud komaja saksa teadlane Johannes Kepler.
Murrud Venemaal
Venemaal oli esimene matemaatik, kes visandas terviku osadeks jagamise Novgorodi munk Kirik. Aastal 1136 kirjutas ta teose, milles kirjeldas "aastate arvutamise" meetodit. Kirik tegeles kronoloogia ja kalendri küsimustega. Oma töös viitas ta ka tunni jagamisele osadeks: viiendikuteks, kahekümneviiendikuteks ja nii edasi.
Terviku osadeks jagamist kasutati maksusumma arvutamisel XV-XVII sajandil. Kasutati liitmise, lahutamise, jagamise ja korrutamise tehteid murdosadega.
Sõna "fraktsioon" ilmus Venemaal VIII sajandil. See pärineb tegusõnast "purustama, osadeks jagama". Meie esivanemad kasutasid murdude nimetamiseks spetsiaalseid sõnu. Näiteks 1/2 määrati pooleks või pooleks, 1/4 - neli, 1/8 - pool tundi, 1/16 - pool tundi ja nii edasi.
Täielik murdude teooria, mis ei erine palju tänapäevasest, esitati esimeses aritmeetikaõpikus, mille kirjutas 1701. aastal Leonti Filippovitš Magnitski. "Aritmeetika" koosnes mitmest osast. Murdudest räägib autor üksikasjalikult rubriigis “Katkijoonte arvust või murdudega”. Magnitski annab tehteid "katkiste" numbritega, nende erinevad tähised.
Tänapäeval on murrud endiselt matemaatika kõige raskemate osade hulgas. Ka murdude ajalugu polnud lihtne. Erinevad rahvad, mõnikord üksteisest sõltumatult ja mõnikord oma eelkäijate kogemusi laenates, jõudsid vajaduseni tutvustada, meisterdada ja kasutada arvu murde. Murdude õpetus on alati välja kasvanud praktilistest tähelepanekutest ja tänu eluliseleprobleeme. Oli vaja leiba jagada, võrdsed maatükid maha märkida, makse arvestada, aega mõõta jne. Murdude ja nendega tehtavate matemaatiliste toimingute kasutamise tunnused sõltusid osariigi arvusüsteemist ja matemaatika üldisest arengutasemest. Nii või teisiti, olles ületanud enam kui tuhat aastat, on arvude murdudele pühendatud algebra osa moodustunud, arenenud ja seda kasutatakse tänapäeval eduk alt mitmesuguste praktiliste ja teoreetiliste vajaduste rahuldamiseks.
