Gaaside käitumist füüsikas uurides tekib sageli probleeme neisse salvestunud energia määramisega, mida teoreetiliselt saab kasutada mõne kasuliku töö tegemiseks. Selles artiklis käsitleme küsimust, milliseid valemeid saab kasutada ideaalse gaasi siseenergia arvutamiseks.
Ideaalse gaasi kontseptsioon
Ideaalse gaasi kontseptsiooni selge mõistmine on oluline sellises agregatsiooniseisundis olevate süsteemide probleemide lahendamisel. Iga gaas võtab selle anuma kuju ja ruumala, kuhu see asetatakse, kuid mitte iga gaas pole ideaalne. Näiteks õhku võib pidada ideaalsete gaaside seguks, veeauru aga mitte. Mis on põhimõtteline erinevus tegelike gaaside ja nende ideaalse mudeli vahel?
Vastus küsimusele on kaks järgmist funktsiooni:
- gaasi moodustavate molekulide ja aatomite kineetilise ja potentsiaalse energia suhe;
- osakeste lineaarsete suuruste suhegaas ja nendevaheline keskmine kaugus.
Gaasi peetakse ideaalseks ainult siis, kui selle osakeste keskmine kineetiline energia on võrreldamatult suurem kui nendevaheline sidumisenergia. Nende energiate erinevus on selline, et võime eeldada, et osakeste omavaheline interaktsioon puudub täielikult. Ideaalset gaasi iseloomustab ka selle osakeste mõõtmete puudumine või õigemini võib neid mõõtmeid ignoreerida, kuna need on palju väiksemad kui keskmised osakestevahelised kaugused.
Head empiirilised kriteeriumid gaasisüsteemi ideaalsuse määramiseks on selle termodünaamilised omadused, nagu temperatuur ja rõhk. Kui esimene on suurem kui 300 K ja teine on väiksem kui 1 atmosfäär, võib iga gaasi pidada ideaalseks.
Mis on gaasi siseenergia?
Enne ideaalse gaasi siseenergia valemi üleskirjutamist peate seda omadust lähem alt tundma õppima.
Terodünaamikas tähistatakse siseenergiat tavaliselt ladina tähega U. Üldjuhul määratakse see järgmise valemiga:
U=H – PV
Kus H on süsteemi entalpia, P ja V on rõhk ja maht.
Oma füüsilises tähenduses koosneb siseenergia kahest komponendist: kineetilisest ja potentsiaalsest. Esimene on seotud süsteemi osakeste erinevat tüüpi liikumisega ja teine - nendevahelise jõu vastasmõjuga. Kui rakendame seda määratlust ideaalse gaasi mõistele, millel puudub potentsiaalne energia, siis on U väärtus süsteemi mis tahes olekus täpselt võrdne selle kineetilise energiaga, see tähendab:
U=Ek.
Siseenergia valemi tuletis
Eespool leidsime, et selle määramiseks ideaalse gaasiga süsteemi jaoks on vaja arvutada selle kineetiline energia. Üldfüüsika käigust on teada, et teatud suunas kiirusega v edasi liikuva osakese energia massiga m määratakse valemiga:
Ek1=mv2/2.
Seda saab rakendada ka gaasiosakeste (aatomite ja molekulide) puhul, kuid mõned märkused tuleb teha.
Esiteks tuleks kiirust v mõista kui mõnda keskmist väärtust. Fakt on see, et gaasiosakesed liiguvad erineva kiirusega vastav alt Maxwell-Boltzmanni jaotusele. Viimane võimaldab määrata keskmist kiirust, mis ajas ei muutu, kui süsteemile ei avaldata väliseid mõjutusi.
Teiseks, valem Ek1 eeldab energiat vabadusastme kohta. Gaasiosakesed võivad liikuda kõigis kolmes suunas ja ka pöörleda sõltuv alt nende struktuurist. Vabadusastme z arvessevõtmiseks tuleks see korrutada arvuga Ek1, st:
Ek1z=z/2mv2.
Kogu süsteemi kineetiline energia Ek on N korda suurem kui Ek1z, kus N on gaasiosakeste koguarv. Siis saame teie jaoks:
U=z/2Nmv2.
Selle valemi järgi on gaasi siseenergia muutumine võimalik ainult siis, kui muudetakse osakeste N arvusüsteem või nende keskmine kiirus v.
Siseenergia ja temperatuur
Rakendades ideaalse gaasi molekulaarkineetilise teooria sätteid, saame ühe osakese keskmise kineetilise energia ja absoluutse temperatuuri vahelise seose kohta järgmise valemi:
mv2/2=1/2kBT.
Siin kB on Boltzmanni konstant. Asendades selle võrrandi ül altoodud lõigus saadud U valemiga, saame järgmise avaldise:
U=z/2NkBT.
Selle avaldise saab aine n koguse ja gaasikonstandi R järgi ümber kirjutada järgmisel kujul:
U=z/2nR T.
Selle valemi kohaselt on gaasi siseenergia muutumine võimalik selle temperatuuri muutmisel. Väärtused U ja T sõltuvad üksteisest lineaarselt, see tähendab, et funktsiooni U(T) graafik on sirgjoon.
Kuidas mõjutab gaasiosakese struktuur süsteemi siseenergiat?
Gaasiosakese (molekuli) struktuur viitab selle moodustavate aatomite arvule. See mängib otsustavat rolli vastava vabadusastme z asendamisel valemis U-ga. Kui gaas on üheaatomiline, on gaasi siseenergia valem järgmine:
U=3/2nRT.
Kust tuli väärtus z=3? Selle välimus on seotud ainult kolme vabadusastmega, mis aatomil on, kuna see saab liikuda ainult ühes kolmest ruumilisest suunast.
Kui kaheaatomilinegaasimolekuli, siis tuleks siseenergia arvutada järgmise valemi abil:
U=5/2nRT.
Nagu näete, on kaheaatomilisel molekulil juba 5 vabadusastet, millest 3 on translatsioonilised ja 2 pöörlevad (vastav alt molekuli geomeetriale võib see pöörata ümber kahe vastastikku risti asetseva telje).
Lõpuks, kui gaas on kolme või enama aatomiga, on U jaoks tõene järgmine avaldis:
U=3nRT.
Keerulistel molekulidel on 3 translatsiooni- ja 3 rotatsioonivabadusastet.
Näidisprobleem
Kolvi all on üheaatomiline gaas rõhul 1 atmosfäär. Kütmise tulemusena paisus gaas nii, et selle maht suurenes 2 liitrilt 3-le. Kuidas muutus gaasisüsteemi siseenergia, kui paisumisprotsess oli isobaariline.
Selle probleemi lahendamiseks ei piisa artiklis toodud valemitest. Tuleb meelde tuletada ideaalse gaasi olekuvõrrand. See näeb välja selline.
Kuna kolb sulgeb silindri gaasiga, jääb aine n kogus paisumisprotsessi ajal muutumatuks. Isobaarse protsessi käigus muutub temperatuur otseses proportsioonis süsteemi mahuga (Charles'i seadus). See tähendab, et ül altoodud valem oleks:
PΔV=nRΔT.
Siis on üheaatomilise gaasi siseenergia avaldis järgmiselt:
ΔU=3/2PΔV.
Asendades sellesse võrrandisse rõhu ja ruumala muutuse väärtused SI-ühikutes, saame vastuse: ΔU ≈ 152 J.
