Ruutvõrrandi juurte leidmise omadused ja meetodid

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 05:24

Maailm on paigutatud nii, et suure hulga probleemide lahendamine taandub ruutvõrrandi juurte leidmisele. Võrrandite juured on olulised erinevate mustrite kirjeldamisel. Seda teadsid isegi iidse Babüloni maamõõtjad. Ka astronoomid ja insenerid olid sunnitud selliseid probleeme lahendama. India teadlane Aryabhata töötas 6. sajandil pKr välja ruutvõrrandi juurte leidmise põhitõed. Valemid valmisid 19. sajandil.

Üldmõisted

Kutsume teid kurssi viima ruutvõrduste põhiseaduspärasustega. Üldiselt võib võrdsuse kirjutada järgmiselt:

ax2 + bx + c=0, Ruutvõrrandi juurte arv võib olla võrdne ühe või kahega. Kiire analüüsi saab teha diskrimineeriva kontseptsiooni abil:

D=b2 - 4ac

Sõltuv alt arvutatud väärtusest saame:

• Kui D > 0 on kaks erinevat juurt. Ruutvõrrandi juurte määramise üldvalem näeb välja selline (-b± √D) / (2a).
• D=0, sel juhul on juur üks ja vastab väärtusele x=-b / (2a)
• D < 0, diskriminandi negatiivse väärtuse korral pole võrrandil lahendust.

Märkus: kui diskriminant on negatiivne, pole võrrandil juuri ainult reaalarvude piirkonnas. Kui algebrat laiendada kompleksjuurte mõistele, siis on võrrandil lahendus.

Toome välja toimingute ahela, mis kinnitab juurte leidmise valemit.

Võrrandi üldkujust järeldub:

ax2 + bx=-c

Korrutame parema ja vasaku osa 4a-ga ja lisame b2, saame

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

Teise vasak pool polünoomi ruuduks (2ax + b)². Eraldame võrrandi 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2 ruutjuure mõlemast küljest), kanname koefitsiendi b paremale poole, saame:}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

Siit järgmine:

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

Mida oli vaja näidata.

Erijuhtum

Mõnel juhul saab ülesande lahendust lihtsustada. Seega saame paariskoefitsiendi b jaoks lihtsama valemi.

Tähistage k=1/2b, siis ruutvõrrandi juurte üldkuju valem on kujul:

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

Kui D=0, saame x=-k / a

Teine erijuhtum on võrrandi lahendus a=1.

Vormi x² + bx + c=0 juured on x=-k ± √(k^{2 - c), mille diskriminant on suurem kui 0. Juhul kui D=0, määratakse juur lihtsa valemiga: x=-k.}

Kasuta diagramme

Iga inimene, isegi seda teadmata, seisab pidev alt silmitsi füüsikaliste, keemiliste, bioloogiliste ja isegi sotsiaalsete nähtustega, mida kirjeldab hästi ruutfunktsioon.

Märkus: ruutfunktsiooni alusel koostatud kõverat nimetatakse parabooliks.

Siin on mõned näited.

1. Mürsu trajektoori arvutamisel kasutatakse omadust liikuda piki horisondi suhtes välja lastud keha parabooli.
2. Parabooli omadust jaotada koormust ühtlaselt kasutatakse arhitektuuris laialdaselt.

Mõistades paraboolfunktsiooni tähtsust, mõtleme välja, kuidas kasutada graafikut selle omaduste uurimiseks, kasutades mõisteid "diskriminant" ja "ruutvõrrandi juured".

Sõltuv alt koefitsientide a ja b väärtusest on kõvera asukoha jaoks ainult kuus valikut:

1. Diskriminant on positiivne, a ja b märgid on erinevad. Parabooli harud vaatavad üles, ruutvõrrandil on kaks lahendit.
2. Diskriminant ja koefitsient b on võrdsed nulliga, koefitsient a on suurem kui null. Graafik on positiivses tsoonis, võrrandil on 1 juur.
3. Diskriminant ja kõik koefitsiendid on positiivsed. Ruutvõrrandil pole lahendust.
4. Diskriminant ja koefitsient a on negatiivsed, b on suurem kui null. Graafiku harud on suunatud allapoole, võrrandil on kaks juurt.
5. Diskrimineeriv jakoefitsient b on nulliga, koefitsient a on negatiivne. Parabool vaatab alla, võrrandil on üks juur.
6. Diskriminandi ja kõigi koefitsientide väärtused on negatiivsed. Lahendusi pole, funktsiooni väärtused on täielikult negatiivses tsoonis.

Märkus: võimalust a=0 ei võeta arvesse, kuna sel juhul degenereerub parabool sirgeks.

Kõik ül altoodu on hästi illustreeritud alloleval joonisel.

Näited probleemide lahendamisest

Tingimus: üldiste omaduste abil koosta ruutvõrrand, mille juured on üksteisega võrdsed.

Lahendus:

vastav alt ülesande tingimusele x₁ =x₂ või -b + √(b^{2-4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a). Märke lihtsustamine:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0, avage sulud ja esitage sarnased terminid. Võrrand muutub 2√(b² - 4ac)=0. See väide on tõene, kui b² - 4ac=0, seega b ^{2=4ac, siis asendatakse väärtus b=2√(ac) võrrandiga}

ax² + 2√(ac)x + c=0, vähendatud kujul saame x^{2 + 2√(c / a)x + c=0.}

Vastus:

juhul a, mis ei võrdu 0 ja mis tahes c-ga, on ainult üks lahendus, kui b=2√(c / a).

Nelihtsusest hoolimata on ruutvõrrandid tehnilistes arvutustes väga olulised. Peaaegu iga füüsikalist protsessi saab kirjeldada mõne ligikaudse meetodi abiljärgu n võimsusfunktsioonid. Ruutvõrrand on esimene selline lähendus.