Üks matemaatika harudest, millega koolilapsed kõige suuremate raskustega toime tulevad, on trigonomeetria. Pole ka ime: selle teadmiste valdkonna vabaks omandamiseks on vaja ruumilist mõtlemist, oskust leida valemite abil siinusi, koosinusi, puutujaid, kotangente, lihtsustada avaldisi ja kasutada arvutustes pii-arvu. Lisaks peab teoreemide tõestamisel oskama rakendada trigonomeetriat ja selleks on vaja kas arenenud matemaatilist mälu või oskust tuletada keerulisi loogilisi ahelaid.
Trigonomeetria päritolu
Selle teaduse sissejuhatus peaks algama nurga siinuse, koosinuse ja puutuja määratlusega, kuid kõigepe alt peate välja mõtlema, mida trigonomeetria üldiselt teeb.
Ajalooliselt on täisnurksed kolmnurgad olnud selle matemaatikateaduse osa peamiseks uurimisobjektiks. 90-kraadise nurga olemasolu võimaldab teha erinevaid toiminguid, mis võimaldavad kahteküljed ja üks nurk või kaks nurka ja üks külg, et määrata kõnealuse joonise kõigi parameetrite väärtused. Varem märkasid inimesed seda mustrit ja hakkasid seda aktiivselt kasutama hoonete ehitamisel, navigatsioonis, astronoomias ja isegi kunstis.
Algamine
Algselt räägiti nurkade ja külgede vahekorrast eranditult täisnurksete kolmnurkade näitel. Seejärel avastati spetsiaalsed valemid, mis võimaldasid selle matemaatika osa igapäevaelus kasutamise piire laiendada.
Trigonomeetria õpe koolis algab tänapäeval täisnurksete kolmnurkadega, misjärel saadud teadmisi kasutavad õpilased füüsikas ja abstraktsete trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, millega töö algab keskkoolis.
Sfääriline trigonomeetria
Hiljem, kui teadus jõudis järgmisele arengutasemele, hakati siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensiga valemeid kasutama sfäärilises geomeetrias, kus kehtivad teised reeglid ja kolmnurga nurkade summa on alati suurem kui 180 kraadi. Seda osa koolis ei õpita, kuid selle olemasolust on vaja teada, vähem alt seetõttu, et Maa pind ja mis tahes muu planeedi pind on kumer, mis tähendab, et kõik pinna märgised on "kaarekujulised" " kolmemõõtmelises ruumis.
Võtke maakera ja niit. Kinnitage niit maakera mis tahes kahe punkti külge nii, et see oleks pingul. Pöörake tähelepanu - see on omandanud kaare kuju. See käsitleb selliseid vormesfääriline geomeetria, mida kasutatakse geodeesias, astronoomias ja muudes teoreetilistes ja rakendusvaldkondades.
Täisnurkne kolmnurk
Olles veidi õppinud trigonomeetria kasutamise viise, pöördume tagasi põhilise trigonomeetria juurde, et paremini mõista, mis on siinus, koosinus, puutuja, milliseid arvutusi saab nende abil teha ja milliseid valemeid kasutada.
Kõigepe alt peate mõistma täisnurkse kolmnurgaga seotud mõisteid. Esiteks on hüpotenuus 90-kraadise nurga vastaskülg. Ta on pikim. Mäletame, et Pythagorase teoreemi kohaselt on selle arvväärtus võrdne kahe teise külje ruutude summa juurega.
Näiteks kui kaks külge on vastav alt 3 ja 4 sentimeetrit, on hüpotenuusi pikkus 5 sentimeetrit. Muide, iidsed egiptlased teadsid sellest umbes neli ja pool tuhat aastat tagasi.
Kaht ülejäänud külge, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks. Lisaks peame meeles pidama, et kolmnurga nurkade summa ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on 180 kraadi.
Definitsioon
Lõpuks, olles geomeetrilisest alusest hästi aru saanud, saame pöörduda nurga siinuse, koosinuse ja puutuja määratluse juurde.
Nurga siinus on vastasjala (st soovitud nurga vastaskülje) ja hüpotenuusi suhe. Nurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
Pidage meeles, et siinus ega koosinus ei saa olla suuremad kui üks! Miks?Kuna hüpotenuus on vaikimisi täisnurkse kolmnurga pikim külg. Pole tähtis, kui pikk jalg on, on see hüpotenuusist lühem, mis tähendab, et nende suhe on alati väiksem kui üks. Seega, kui saate ülesande vastuses siinuse või koosinuse väärtusega suurem kui 1, otsige arvutustes või arutluskäikudes viga. See vastus on selgelt vale.
Lõpuks on nurga puutuja vastaskülje ja külgneva külje suhe. Sama tulemus annab siinuse jagamise koosinusega. Vaata: valemi järgi jagame külje pikkuse hüpotenuusiga, misjärel jagame teise külje pikkusega ja korrutame hüpotenuusiga. Seega saame sama suhte nagu puutuja definitsioonis.
Kotangent on vastav alt nurgaga külgneva külje ja vastaskülje suhe. Sama tulemuse saame, kui jagame ühiku puutujaga.
Niisiis oleme siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega arvestanud ning saame hakkama valemitega.
Lihtsad valemid
Trigonomeetrias ei saa ilma valemiteta hakkama – kuidas leida siinust, koosinust, puutujat, kotangenti ilma nendeta? Kuid just seda on vaja probleemide lahendamisel.
Esimene valem, mida pead teadma trigonomeetriat õppima asudes, ütleb, et nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega. See valem on Pythagorase teoreemi otsene tagajärg, kuid see säästab aega, kui peate välja selgitama nurga, mitte külje väärtuse.
Paljud õpilased ei mäleta teist valemit, samuti vägapopulaarne kooliülesannete lahendamisel: ühe ja nurga puutuja ruudu summa võrdub ühega, mis on jagatud nurga koosinuse ruuduga. Vaadake lähem alt: see on ju sama väide, mis esimeses valemis, ainult koosinuse ruuduga jagati identiteedi mõlemad pooled. Selgub, et lihtne matemaatiline tehe muudab trigonomeetrilise valemi täiesti tundmatuks. Pidage meeles: teades, mis on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens, teisendusreegleid ja mõnda põhivalemit, saate igal ajal iseseisv alt paberitükil tuletada nõutavad keerukamad valemid.
Kaksiknurga valemid ja argumentide lisamine
Veel kaks valemit, mida õppida, on seotud nurkade summa ja erinevuse siinus- ja koosinusväärtustega. Need on näidatud alloleval joonisel. Pange tähele, et esimesel juhul korrutatakse siinus ja koosinus mõlemal korral ning teisel juhul liidetakse siinuse ja koosinuse paariskorrutis.
Samuti on topeltnurga argumentidega seotud valemid. Need on täielikult tuletatud eelmistest – harjutuseks proovige need ise hankida, võttes alfanurga võrdseks beetanurgaga.
Lõpuks pange tähele, et topeltnurga valemeid saab teisendada, et vähendada siinuse, koosinuse, puutuja alfa astet.
Teoreemid
Põhilise trigonomeetria kaks peamist teoreemi on siinusteoreem ja koosinusteoreem. Nende teoreemide abil saate hõlpsasti aru, kuidas leida siinus, koosinus ja puutuja ning seega ka joonise pindala ja suurus.mõlemal küljel jne.
Siinusteoreem väidab, et kolmnurga iga külje pikkuse jagamisel vastasnurga väärtusega saame sama arvu. Veelgi enam, see arv võrdub piiritletud ringi kahe raadiusega, st ringiga, mis sisaldab antud kolmnurga kõiki punkte.
Koosinusteoreem üldistab Pythagorase teoreemi, projitseerides selle mis tahes kolmnurkadele. Selgub, et kahe külje ruutude summast lahutage nende korrutis, mis on korrutatud nendega külgneva nurga topeltkoosinusega - saadud väärtus võrdub kolmanda külje ruuduga. Seega osutub Pythagorase teoreem koosinusteoreemi erijuhuks.
Tähelepanematusest tingitud vead
Isegi teades, mis on siinus, koosinus ja puutuja, on hajameelsuse või kõige lihtsamate arvutuste vea tõttu lihtne eksida. Selliste vigade vältimiseks vaatame kõige populaarsemaid.
Esiteks, ärge teisendage harilikke murde kümnendkohtadeks enne lõpptulemuse saamist – võite jätta vastuse harilikuks murruks, kui tingimuses pole märgitud teisiti. Sellist ümberkujundamist ei saa nimetada veaks, kuid tuleb meeles pidada, et ülesande igas etapis võivad ilmneda uued juured, mida tuleks autori idee järgi vähendada. Sel juhul raiskate aega tarbetutele matemaatilistele tehtetele. See kehtib eriti selliste väärtuste kohta nagu kolme või kahe juur, kuna need esinevad ülesannetes igal sammul. Sama kehtib ka ümardamise kohta."Inetud" numbrid.
Järgmisena pange tähele, et koosinuse teoreem kehtib iga kolmnurga kohta, kuid mitte Pythagorase teoreemi kohta! Kui unustate ekslikult lahutada külgede kahekordse korrutise, mis on korrutatud nendevahelise nurga koosinusega, ei saa te mitte ainult täiesti vale tulemust, vaid demonstreerite ka subjekti täielikku arusaamatust. See on hullem kui hooletu viga.
Kolmandaks, ärge ajage segi siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide nurkade väärtusi 30 ja 60 kraadi. Pidage neid väärtusi meeles, sest siinus 30 kraadi võrdub koosinusega 60 ja vastupidi. Neid on lihtne segamini ajada ja paratamatult saate eksliku tulemuse.
Rakendus
Paljud õpilased ei kiirusta trigonomeetriat õppima asuma, sest nad ei mõista selle rakenduslikku tähendust. Mis on siinus, koosinus, puutuja inseneri või astronoomi jaoks? Need on mõisted, tänu millele saab arvutada kaugust kaugete tähtedeni, ennustada meteoriidi langemist, saata uurimissondi teisele planeedile. Ilma nendeta on võimatu ehitada hoonet, projekteerida autot, arvutada pinnale langevat koormust või objekti trajektoori. Ja need on vaid kõige ilmsemad näited! Lõppude lõpuks kasutatakse trigonomeetriat ühel või teisel kujul kõikjal, muusikast meditsiinini.
Kokkuvõtteks
Te teate, mis on siinus, koosinus, puutuja. Saate neid kasutada arvutustes ja eduk alt lahendada kooliülesandeid.
Kogu mõtetrigonomeetria taandub sellele, et kolmnurga teadaolevate parameetrite järgi on vaja arvutada tundmatud. Kokku on kuus parameetrit: kolme külje pikkused ja kolme nurga suurused. Kogu ülesannete erinevus seisneb selles, et sisestatakse erinevad sisendandmed.
Kuidas leida siinust, koosinust, puutujat jalgade teadaolevate pikkuste või hüpotenuusi põhjal, teate nüüd. Kuna need terminid ei tähenda midagi muud kui suhet ja suhe on murdosa, on trigonomeetrilise ülesande peamine eesmärk leida tavalise võrrandi või võrrandisüsteemi juured. Ja siin aitab teid tavaline koolimatemaatika.
