Ma arvan, et peaksime alustama sellise kuulsusrikka matemaatilise tööriista nagu diferentsiaalvõrrandite ajaloost. Nagu kõik diferentsiaal- ja integraalarvutused, leiutas need võrrandid 17. sajandi lõpus Newton. Just seda enda avastust pidas ta nii oluliseks, et isegi krüpteeris sõnumi, mida tänapäeval võib tõlkida umbes nii: "Kõiki loodusseadusi kirjeldavad diferentsiaalvõrrandid." See võib tunduda liialdusena, kuid see on tõsi. Nende võrranditega saab kirjeldada kõiki füüsika-, keemia- ja bioloogiaseadusi.
Matemaatikud Euler ja Lagrange andsid tohutu panuse diferentsiaalvõrrandite teooria väljatöötamisse ja loomisse. Juba 18. sajandil avastasid ja arendasid nad seda, mida nad praegu ülikoolide vanematel kursustel õpivad.
Uus verstapost diferentsiaalvõrrandite uurimisel sai alguse tänu Henri Poincare'ile. Ta lõi "diferentsiaalvõrrandite kvalitatiivse teooria", mis koos kompleksmuutuja funktsioonide teooriaga andis olulise panuse topoloogia – kosmoseteaduse ja selle rajamisse.omadused.
Mis on diferentsiaalvõrrandid?
Paljud inimesed kardavad üht fraasi "diferentsiaalvõrrand". Kuid selles artiklis kirjeldame üksikasjalikult selle väga kasuliku matemaatilise aparaadi kogu olemust, mis pole tegelikult nii keeruline, kui nime järgi tundub. Selleks, et hakata rääkima esimest järku diferentsiaalvõrranditest, tuleks esm alt tutvuda põhimõistetega, mis selle definitsiooniga olemuslikult seotud on. Ja alustame diferentsiaaliga.
Diferentsiaal
Paljud teavad seda mõistet kooliajast. Vaatame seda siiski lähem alt. Kujutage ette funktsiooni graafikut. Saame seda suurendada nii palju, et mis tahes selle segment muutub sirgjooneliseks. Sellel võtame kaks punkti, mis on üksteisele lõpmatult lähedal. Nende koordinaatide (x või y) erinevus on lõpmata väike väärtus. Seda nimetatakse diferentsiaaliks ja seda tähistatakse märkidega dy (diferentsiaal y-st) ja dx (diferentsiaal x-st). On väga oluline mõista, et diferentsiaal ei ole lõplik väärtus ja see on selle tähendus ja põhifunktsioon.
Ja nüüd peame arvestama järgmise elemendiga, mis on meile kasulik diferentsiaalvõrrandi mõiste selgitamisel. See on tuletis.
Tuletis
Me kõik ilmselt kuulsime seda kontseptsiooni koolis. Tuletiseks nimetatakse funktsiooni kasvu või vähenemise kiirust. Sellest definitsioonist agapalju jääb selgusetuks. Proovime tuletist seletada diferentsiaalide kaudu. Läheme tagasi funktsiooni lõpmatu väikese lõigu juurde, mille kaks punkti on üksteisest minimaalsel kaugusel. Kuid isegi selle vahemaa puhul õnnestub funktsioon teatud määral muutuda. Ja selle muutuse kirjeldamiseks leidsid nad tuletise, mille saab muidu kirjutada diferentsiaalide suhtena: f(x)'=df/dx.
Nüüd tasub kaaluda tuletise põhiomadusi. Neid on ainult kolm:
- Summa või erinevuse tuletist võib esitada tuletiste summa või erinevusena: (a+b)'=a'+b' ja (a-b)'=a'-b'.
- Teine omadus on seotud korrutamisega. Korrutise tuletis on ühe funktsiooni ja teise funktsiooni korrutiste summa: (ab)'=a'b+ab'.
- Erinevuse tuletise saab kirjutada järgmise võrrandiga: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Kõik need omadused on kasulikud esimest järku diferentsiaalvõrrandite lahenduste leidmisel.
On olemas ka osatuletised. Oletame, et meil on funktsioon z, mis sõltub muutujatest x ja y. Selle funktsiooni osalise tuletise arvutamiseks, näiteks x suhtes, peame muutuja y võtma konstantina ja lihts alt diferentseerima.
Integraal
Teine oluline mõiste on integraal. Tegelikult on see tuletise otsene vastand. Integraale on mitut tüüpi, kuid kõige lihtsamate diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks vajame kõige triviaalsemaid määramata integraale.
Mis on siis integraal? Oletame, et meil on mingi sõltuvus falates x. Võtame sellest integraali ja saame funktsiooni F (x) (mida sageli nimetatakse ka antiderivaadiks), mille tuletis on võrdne algfunktsiooniga. Seega F(x)'=f(x). Sellest järeldub ka, et tuletise integraal on võrdne algfunktsiooniga.
Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel on väga oluline mõista integraali tähendust ja funktsiooni, kuna lahenduse leidmiseks peate neid väga sageli kasutama.
Võrrandid on olenev alt nende olemusest erinevad. Järgmises osas käsitleme esimest järku diferentsiaalvõrrandite tüüpe ja seejärel õpime, kuidas neid lahendada.
Diferentsiaalvõrrandite klassid
"Diffury" jagatakse vastav alt neisse kaasatud tuletiste järjestusele. Seega on esimene, teine, kolmas ja rohkem järjekorda. Neid saab jagada ka mitmeks klassiks: tavalised ja osatuletised.
Selles artiklis käsitleme tavalisi esimest järku diferentsiaalvõrrandeid. Samuti käsitleme näiteid ja nende lahendamise viise järgmistes osades. Vaatleme ainult ODE-sid, kuna need on kõige levinumad võrrandite tüübid. Tavalised jagunevad alamliikideks: eraldatavate muutujatega, homogeensed ja heterogeensed. Järgmisena saate teada, kuidas need üksteisest erinevad, ja kuidas neid lahendada.
Lisaks saab neid võrrandeid kombineerida, nii et pärast saame esimest järku diferentsiaalvõrrandi süsteemi. Kaalume ka selliseid süsteeme ja õpime neid lahendama.
Miks me kaalume ainult esimest tellimust? Sest peate alustama lihtsast ja kirjeldama kõike, mis on seotud diferentsiaaligavõrrandid, on ühes artiklis lihts alt võimatu.
Separeeritavad muutujavõrrandid
Need on ehk kõige lihtsamad esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Nende hulgas on näiteid, mida saab kirjutada järgmiselt: y'=f(x)f(y). Selle võrrandi lahendamiseks vajame valemit tuletise esitamiseks diferentsiaalide suhtena: y'=dy/dx. Seda kasutades saame järgmise võrrandi: dy/dx=f(x)f(y). Nüüd saame pöörduda standardnäidete lahendamise meetodi poole: jagame muutujad osadeks, st kanname kõik muutujaga y üle sellesse ossa, kus asub dy, ja teeme sama muutujaga x. Saame võrrandi kujul: dy/f(y)=f(x)dx, mille lahendamiseks võetakse mõlema osa integraalid. Ärge unustage konstanti, mis tuleb määrata pärast integraali võtmist.
Iga "diferentsi" lahendus on funktsioon x sõltuvusest y-st (meie puhul) või kui on arvuline tingimus, siis on vastus arvu kujul. Analüüsime kogu lahenduse kulgu konkreetse näite abil:
y'=2ysin(x)
Liiguta muutujaid eri suundades:
dy/y=2sin(x)dx
Nüüd võtame integraalid. Kõik need leiate spetsiaalsest integraalide tabelist. Ja me saame:
ln(y)=-2cos(x) + C
Vajadusel võime "y" väljendada "x" funktsioonina. Nüüd võime öelda, et meie diferentsiaalvõrrand on lahendatud, kui tingimust pole antud. Tingimuse võib anda näiteks y(n/2)=e. Seejärel asendame lihts alt nende muutujate väärtused lahendusega jaleida konstandi väärtus. Meie näites on see võrdne 1.
Esimest järku homogeensed diferentsiaalvõrrandid
Nüüd jätkake raskema osaga. Esimest järku homogeensed diferentsiaalvõrrandid saab kirjutada üldkujul järgmiselt: y'=z(x, y). Tuleb märkida, et kahe muutuja õige funktsioon on homogeenne ja seda ei saa jagada kaheks sõltuvuseks: z x-il ja z y-l. Võrrandi homogeensuse või mittehomogeensuse kontrollimine on üsna lihtne: teeme asendused x=kx ja y=ky. Nüüd tühistame kõik k. Kui kõik need tähed on taandatud, on võrrand homogeenne ja võite selle lahendamisega julgelt edasi minna. Tulevikku vaadates ütleme: ka nende näidete lahendamise põhimõte on väga lihtne.
Peame tegema asendus: y=t(x)x, kus t on mingi funktsioon, mis samuti sõltub x-ist. Siis saame tuletise väljendada: y'=t'(x)x+t. Asendades selle kõik oma algsesse võrrandisse ja lihtsustades seda, saame näite eraldatavate muutujatega t ja x. Lahendame selle ja saame sõltuvuse t(x). Kui saime selle, asendame lihts alt y=t(x)x oma eelmise asendusega. Siis saame y sõltuvuse x-st.
Selle selgemaks muutmiseks vaatame näidet: xy'=y-xey/x.
Asendusega kontrollimisel kõik väheneb. Seega on võrrand tõesti homogeenne. Nüüd teeme teise asendus, millest me rääkisime: y=t(x)x ja y'=t'(x)x+t(x). Pärast lihtsustamist saame järgmise võrrandi: t'(x)x=-et. Lahendame saadud näite eraldatud muutujatega ja saame: e-t=ln(Cx). Peame t asendama ainult y/x-ga (lõppude lõpuks, kui y=tx, siis t=y/x) ja saamevastus: e-y/x=ln(xC).
Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid
On aeg uueks suureks teemaks. Analüüsime esimest järku ebahomogeenseid diferentsiaalvõrrandeid. Mille poolest need eelmisest kahest erinevad? Selgitame välja. Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid üldkujul võib kirjutada järgmiselt: y' + g(x)y=z(x). Tasub selgitada, et z(x) ja g(x) võivad olla konstandid.
Ja nüüd näide: y' - yx=x2.
Selle lahendamiseks on kaks võimalust ja me käsitleme mõlemat järjekorras. Esimene on suvaliste konstantide muutmise meetod.
Võrrandi selliseks lahendamiseks tuleb esm alt võrdsustada parem külg nulliga ja lahendada saadud võrrand, mis pärast osade liigutamist saab kujul:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Nüüd peame asendama konstanti C1 funktsiooniga v(x), mille peame leidma.
y=vex2/2.
Muudame tuletist:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Ja asendage need avaldised algsesse võrrandisse:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Näete, et vasakul küljel kaks terminit tühistatakse. Kui mõnes näites seda ei juhtunud, siis tegite midagi valesti. Jätka:
v'ex2/2 =x2.
Nüüd lahendame tavalise võrrandi, milles peame muutujad eraldama:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Integraali eraldamiseks peame siin rakendama integratsiooni osade kaupa. See pole aga meie artikli teema. Kui olete huvitatud, saate õppida, kuidas selliseid toiminguid ise teha. See pole keeruline ning piisava oskuse ja tähelepanu korral ei võta see palju aega.
Pöördume teise ebahomogeensete võrrandite lahendamise meetodi juurde: Bernoulli meetodi juurde. Milline lähenemisviis on kiirem ja lihtsam, on teie enda otsustada.
Seega, kui lahendame võrrandi selle meetodiga, peame tegema asendus: y=kn. Siin on k ja n mõned x-st sõltuvad funktsioonid. Siis näeb tuletis välja selline: y'=k'n+kn'. Asendage mõlemad asendused võrrandis:
k'n+kn'+xkn=x2.
Rühm:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Nüüd peame võrdsustama sulgudes oleva nulliga. Nüüd, kui ühendate kaks saadud võrrandit, saate esimest järku diferentsiaalvõrrandi süsteemi, mille peate lahendama:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Esimene võrdus lahendatakse nagu tavaline võrrand. Selleks peate muutujad eraldama:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Võtke integraal ja saage: ln(n)=x2/2. Siis, kui väljendame n:
n=ex2/2.
Nüüd asendame saadud võrdsuse süsteemi teise võrrandiga:
k'ex2/2=x2.
Ja teisendades saame sama võrdsuse nagu esimeses meetodis:
dk=x2/ex2/2.
Me ei lasku ka edasistesse sammudesse. Tasub öelda, et esimest järku diferentsiaalvõrrandite lahendamine tekitab alguses olulisi raskusi. Kui aga teemasse süveneda, hakkab see aina paremaks minema.
Kus kasutatakse diferentsiaalvõrrandeid?
Diferentsiaalvõrrandeid kasutatakse füüsikas väga aktiivselt, kuna peaaegu kõik põhiseadused on kirjutatud diferentsiaalkujul ja valemid, mida näeme, on nende võrrandite lahendus. Keemias kasutatakse neid samal põhjusel: neist tuletatakse põhiseadused. Bioloogias kasutatakse diferentsiaalvõrrandeid süsteemide, näiteks kiskja-saagi käitumise modelleerimiseks. Neid saab kasutada ka näiteks mikroorganismide kolooniate paljunemismudelite loomiseks.
Kuidas diferentsiaalvõrrandid elus aitavad?
Vastus sellele küsimusele on lihtne: mitte mingil juhul. Kui te pole teadlane ega insener, pole neist teile tõenäoliselt kasu. Üldise arenduse jaoks ei tee aga paha teada, mis on diferentsiaalvõrrand ja kuidas seda lahendatakse. Ja siis poja või tütre küsimus "mis on diferentsiaalvõrrand?" ei aja sind segadusse. Noh, kui olete teadlane või insener, siis mõistate ise selle teema tähtsust mis tahes teaduses. Kuid kõige tähtsam on see, et nüüd on küsimus "kuidas lahendada esimest järku diferentsiaalvõrrandit?" sa võid alati vastata. Nõus, see on alati torekui saate aru, mida inimesed isegi kardavad mõista.
Peamised õpiprobleemid
Peamine probleem selle teema mõistmisel on funktsioonide integreerimise ja eristamise nõrk oskus. Kui teil on tuletisi ja integraale kehv võtta, peaksite ilmselt rohkem õppima, valdama erinevaid integreerimis- ja diferentseerimismeetodeid ning alles siis asuma artiklis kirjeldatud materjali uurima.
Mõned inimesed on üllatunud, kui saavad teada, et dx on ülekantav, sest varem (koolis) väideti, et murd dy/dx on jagamatu. Siin peate lugema tuletise kirjandust ja mõistma, et võrrandite lahendamisel saab manipuleerida lõpmata väikeste suuruste suhtega.
Paljud ei saa kohe aru, et esimest järku diferentsiaalvõrrandite lahendus on sageli funktsioon või integraal, mida ei saa võtta, ja see pettekujutelm tekitab neile palju probleeme.
Mida saab veel paremaks mõistmiseks uurida?
Edasi sukeldumist diferentsiaalarvutuse maailma on kõige parem alustada erialaõpikutega, näiteks mittematemaatika erialade üliõpilaste arvutamises. Seejärel saate liikuda erialasema kirjanduse juurde.
Tuleb öelda, et lisaks diferentsiaalvõrranditele on olemas ka integraalvõrrandid, nii et teil on alati, mille poole püüelda ja mida uurida.
Järeldus
Loodame, et pärast lugemistSee artikkel andis teile ülevaate, mis on diferentsiaalvõrrandid ja kuidas neid õigesti lahendada.
Igal juhul tuleb matemaatika meile elus kuidagi kasuks. See arendab loogikat ja tähelepanu, ilma milleta on iga inimene nagu ilma käteta.
