Sekundid, puutujad – seda kõike võis geomeetriatundides sadu kordi kuulda. Aga kooli lõpetamine on läbi, aastad mööduvad ja kõik need teadmised ununevad. Mida tuleks meeles pidada?
Essence
Mõte "ringi puutuja" on ilmselt kõigile tuttav. Kuid on ebatõenäoline, et igaüks suudab selle määratluse kiiresti sõnastada. Samal ajal on puutuja selline sirgjoon, mis asub samas tasapinnas ringiga, mis lõikab seda ainult ühes punktis. Neid võib olla tohutult erinevaid, kuid neil kõigil on samad omadused, millest tuleb juttu allpool. Nagu võite arvata, on kokkupuutepunkt koht, kus ringjoon ja joon ristuvad. Igal juhul on see üks, aga kui neid on rohkem, siis on see sekant.
Avastuste ja uurimise ajalugu
Tangendi mõiste ilmus antiikajal. Nende sirgjoonte ehitamine algul ringiks ja seejärel joonlaua ja kompassi abil ellipsideks, paraboolideks ja hüperboolideks viidi läbi isegi geomeetria arendamise algstaadiumis. Muidugi pole ajalugu säilitanud avastaja nime, kuidon ilmne, et isegi sel ajal olid inimesed ringi puutuja omadustest üsna teadlikud.
Kaasajal puhkes huvi selle nähtuse vastu uuesti – algas selle kontseptsiooni uurimise uus voor koos uute kõverate avastamisega. Niisiis tutvustas Galileo tsükloidi kontseptsiooni ning Fermat ja Descartes ehitasid sellele puutuja. Mis puudutab ringe, siis tundub, et siinkandis pole iidsetele inimestele saladusi jäetud.
Atribuudid
Lõtumispunktile tõmmatud raadius on joonega risti. See on
peamine, kuid mitte ainus omadus, mis ringi puutujal on. Teine oluline omadus sisaldab juba kahte sirget joont. Seega saab ühe punkti kaudu, mis asub väljaspool ringi, tõmmata kaks puutujat, samas kui nende segmendid on võrdsed. Sellel teemal on veel üks teoreem, kuid seda käsitletakse harva tavakoolikursuse raames, kuigi see on mõne ülesande lahendamiseks äärmiselt mugav. See kõlab nii. Ühest punktist, mis asub väljaspool ringi, tõmmatakse sellele puutuja ja sekant. Moodustatakse segmendid AB, AC ja AD. A on sirgete ristumiskoht, B on kokkupuutepunkt, C ja D on ristumiskohad. Sel juhul kehtib järgmine võrdsus: ringi puutuja pikkus ruudus võrdub lõikude AC ja AD korrutisega.
Eeltoodust tuleneb oluline tagajärg. Ringi iga punkti jaoks saate luua puutuja, kuid ainult ühe. Selle tõestus on üsna lihtne: teoreetiliselt kukutades sellele raadiusest risti, saame teada, et moodustatudkolmnurka ei saa eksisteerida. Ja see tähendab, et puutuja on ainus.
Ehitis
Muude geomeetriaprobleemide hulgas on reeglina erikategooria, mitte
õpilased ja üliõpilased armastavad. Selle kategooria ülesannete lahendamiseks vajate ainult kompassi ja joonlauda. Need on ehitusülesanded. Puutuja konstrueerimiseks on ka meetodeid.
Niisiis, antud ring ja punkt, mis asuvad väljaspool selle piire. Ja läbi nende on vaja tõmmata puutuja. Kuidas seda teha? Kõigepe alt peate joonistama lõigu ringi O keskpunkti ja antud punkti vahele. Seejärel jagage see kompassi abil pooleks. Selleks tuleb määrata raadius – veidi rohkem kui pool algse ringi keskpunkti ja antud punkti vahelisest kaugusest. Pärast seda peate ehitama kaks ristuvat kaare. Veelgi enam, kompassi raadiust ei pea muutma ja ringi iga osa keskpunkt on vastav alt algpunkt ja O. Kaarte ristumiskohad peavad olema ühendatud, mis jagab segmendi pooleks. Määrake kompassi raadius, mis on võrdne selle kaugusega. Järgmisena tõmmake teine ring, mille keskpunkt on ristumispunktis. Sellel asuvad nii algpunkt kui ka O. Sel juhul tekib ülesandes antud ringiga veel kaks ristumiskohta. Need on algselt antud punkti puutepunktid.
Huvitav
See oli ringi puutujate konstrueerimine, mis viis
sünnini
diferentsiaalarvutus. Esimene töö sellel teemal oliavaldas kuulus saksa matemaatik Leibniz. Ta nägi ette võimaluse leida maksimumid, miinimumid ja puutujad, sõltumata murd- ja irratsionaalsetest väärtustest. Noh, nüüd kasutatakse seda ka paljudes muudes arvutustes.
Pealegi on ringi puutuja seotud puutuja geomeetrilise tähendusega. Se alt ka selle nimi pärineb. Ladina keelest tõlgituna tähendab tangens "puutuja". Seega pole see mõiste seotud mitte ainult geomeetria ja diferentsiaalarvutusega, vaid ka trigonomeetriaga.
Kaks ringi
Alati ei mõjuta puutuja ainult ühte kujundit. Kui ühele ringile saab tõmmata tohutult palju sirgeid, siis miks mitte ka vastupidi? Saab. Kuid antud juhul on ülesanne tõsiselt keeruline, kuna kahe ringi puutuja ei pruugi ühtegi punkti läbida ja kõigi nende kujundite suhteline asukoht võib olla väga
eri.
Tüübid ja sordid
Kui rääkida kahest ringist ja ühest või mitmest joonest, siis isegi kui on teada, et need on puutujad, ei saa kohe selgeks, kuidas kõik need kujundid üksteise suhtes paiknevad. Selle põhjal on mitu sorti. Seega võib ringidel olla üks või kaks ühist punkti või üldse mitte olla. Esimesel juhul nad ristuvad ja teisel juhul puudutavad. Ja siin on kaks sorti. Kui üks ring on justkui teise sisse ehitatud, nimetatakse puudutust sisemiseks, kui mitte, siis väliseks. mõista vastastikustkujundite asukoht on võimalik mitte ainult joonise põhjal, vaid ka omades teavet nende raadiuste summa ja nende keskpunktide vahelise kauguse kohta. Kui need kaks suurust on võrdsed, siis ringid puudutavad. Kui esimene on suurem, siis nad lõikuvad ja kui see on väiksem, siis neil ühiseid punkte pole.
Sama sirgjoontega. Kahe ringi puhul, millel pole ühiseid punkte, saate
konstrueerida neli puutujat. Kaks neist ristuvad kujundite vahel, neid nimetatakse sisemiseks. Paar muud on välised.
Kui me räägime ringidest, millel on üks ühine punkt, siis on ülesanne oluliselt lihtsustatud. Fakt on see, et mis tahes vastastikuse kokkuleppe korral on neil sel juhul ainult üks puutuja. Ja see läbib nende ristumispunkti. Nii et raskuste ehitamine ei põhjusta.
Kui kujunditel on kaks lõikepunkti, siis saab nende jaoks konstrueerida sirge, mis puutub ringiga, nii üks kui ka teine, kuid ainult välimine. Selle probleemi lahendus on sarnane allpool käsitletavaga.
Probleemi lahendamine
Nii kahe ringi sisemisi kui ka väliseid puutujaid pole nii lihtne konstrueerida, kuigi selle probleemi saab lahendada. Fakt on see, et selleks kasutatakse abikuju, nii et mõelge sellele meetodile ise
üsna problemaatiline. Seega on antud kaks erineva raadiuse ja keskpunktiga O1 ja O2 ringi. Nende jaoks peate moodustama kaks paari puutujaid.
Esiteks suurema keskpunkti lähedalringid tuleb ehitada abina. Sel juhul tuleb kompassil kindlaks teha kahe algkuju raadiuste vahe. Abiringi puutujad ehitatakse väiksema ringi keskpunktist. Pärast seda tõmmatakse nendele joontele O1-st ja O2-st ristid, kuni need ristuvad algkujunditega. Nagu puutuja põhiomadusest tuleneb, leitakse mõlemal ringil soovitud punktid. Probleem lahendatud, vähem alt selle esimene osa.
Sisemiste puutujate konstrueerimiseks peate praktiliselt lahendama
sarnane ülesanne. Jällegi on vaja abifiguuri, kuid seekord on selle raadius võrdne algsete summaga. Sellele konstrueeritakse puutujad ühe antud ringi keskpunktist. Lahenduse edasine kulg on arusaadav eelmisest näitest.
Ringi või isegi kahe või enama puutuja pole nii keeruline ülesanne. Muidugi pole matemaatikud juba ammu selliseid probleeme käsitsi lahendamast ja usaldavad arvutused eriprogrammidele. Kuid ärge arvake, et nüüd pole vaja seda ise teha, sest selleks, et arvuti jaoks ülesanne õigesti sõnastada, peate palju tegema ja aru saama. Kahjuks kardetakse, et pärast lõplikku üleminekut teadmiste kontrolli testvormile valmistavad ehitusülesanded õpilastele üha rohkem raskusi.
Mis puudutab ühiste puutujate leidmist rohkemate ringide jaoks, siis see ei ole alati võimalik, isegi kui need asuvad samal tasapinnal. Kuid mõnel juhul võite leida sellise sirge.
Elunäited
Praktikas kohtab sageli kahe ringi ühist puutujat, kuigi see pole alati märgatav. Konveierid, plokisüsteemid, rihmaratta ülekanderihmad, õmblusmasina niidipingutus ja isegi ainult jalgrattakett - kõik need on näited elust. Seetõttu ärge arvake, et geomeetrilised probleemid jäävad vaid teooriaks: inseneriteaduses, füüsikas, ehituses ja paljudes muudes valdkondades leiavad need praktilist rakendust.
