Geomeetria on matemaatika haru, mis uurib ruumistruktuure ja nendevahelisi seoseid. See omakorda koosneb ka sektsioonidest ja üks neist on stereomeetria. See võimaldab uurida ruumis paiknevate mahukujude omadusi: kuubik, püramiid, pall, koonus, silinder jne.
Koonus on eukleidilise ruumi keha, mis piirab koonusekujulist pinda ja tasapinda, millel asuvad selle generaatorite otsad. Selle moodustumine toimub täisnurkse kolmnurga pöörlemise protsessis ümber selle mis tahes jala, seega kuulub see pöördekehade hulka.
Koonuskomponendid
Eristatakse järgmist tüüpi koonuseid: kaldus (või kaldus) ja sirge. Kaldus on see, mille telg lõikub selle aluse keskpunktiga mitte täisnurga all. Sel põhjusel ei lange sellise koonuse kõrgus teljega kokku, kuna see on segment, mis langetatakse keha ülaosast selle tasapinnale.alus 90°.
Seda koonust, mille telg on selle põhjaga risti, nimetatakse sirgeks koonuseks. Telg ja kõrgus sellises geomeetrilises kehas langevad kokku, kuna selles asuv tipp asub aluse läbimõõdu keskpunktist kõrgemal.
Koonus koosneb järgmistest elementidest:
- Ring, mis on selle alus.
- Side.
- Punkt, mis ei asu aluse tasapinnas, mida nimetatakse koonuse tipuks.
- Segmendid, mis ühendavad geomeetrilise keha aluse ringi ja selle tipu punkte.
Kõik need segmendid on koonuse generaatorid. Need on geomeetrilise keha aluse suhtes kaldu ja täiskoonuse korral on nende projektsioonid võrdsed, kuna tipp asub põhiringi punktidest võrdsel kaugusel. Seega võime järeldada, et tavalises (sirges) koonuses on generaatorid võrdsed, see tähendab, et neil on sama pikkus ja nad moodustavad telje (või kõrguse) ja alusega samad nurgad.
Kuna kaldus (või kaldus) pöördkehas on tipp nihutatud alustasandi keskpunkti suhtes, on sellise keha generaatoritel erinev pikkus ja projektsioon, kuna igaüks neist on erineval kaugusel mis tahes kahest põhiringi punktist. Lisaks on erinevad ka nende vahelised nurgad ja koonuse kõrgus.
Generaatorite pikkus parempoolses koonuses
Nagu varem kirjutatud, on sirge geomeetrilise pöördekeha kõrgus risti aluse tasapinnaga. Seega loovad aluse generatriks, kõrgus ja raadius koonuses täisnurkse kolmnurga.
See tähendab, et teades aluse raadiust ja kõrgust, saate Pythagorase teoreemi valemit kasutades arvutada generatriksi pikkuse, mis võrdub aluse raadiuse ruutude summaga ja kõrgus:
l2 =r2+ h2 või l=√r 2 + h2
kus l on generatriks;
r – raadius;
h – kõrgus.
Generatiiv kaldus koonuses
Tulenedes asjaolule, et kaldus või kaldus koonuses ei ole generaatorid ühepikkused, ei ole neid ilma lisakonstruktsioonide ja arvutusteta võimalik arvutada.
Kõigepe alt peate teadma kõrgust, telje pikkust ja aluse raadiust.
Nende andmete olemasolul saate arvutada raadiuse osa, mis jääb telje ja kõrguse vahele, kasutades Pythagorase teoreemi valemit:
r1=√k2 - h2
kus r1 on raadiuse osa telje ja kõrguse vahel;
k – telje pikkus;
h – kõrgus.
Raadiuse (r) ja selle telje ja kõrguse vahele jääva osa (r1) liitmise tulemusena saate teada kogu parema külje kolmnurk, mille moodustab koonuse generatriks, selle kõrgus ja läbimõõt:
R=r + r1
kus R on kolmnurga jalg, mille moodustavad aluse kõrgus, generatriks ja osa läbimõõdust;
r – baasraadius;
r1 – osa raadiusest telje ja kõrguse vahel.
Kasutades sama Pythagorase teoreemi valemit, saate leida koonuse generaatori pikkuse:
l=√h2+ R2
või ilma R-i eraldi arvutamata ühendage kaks valemit üheks:
l=√h2 + (r + r1)2.
Hoolimata sellest, kas tegemist on sirge või kaldu koonusega ja milliste sisendandmetega, taanduvad kõik generaatori pikkuse leidmise meetodid alati ühele tulemusele – Pythagorase teoreemi kasutamisele.
Koonusektsioon
Koonuse telglõik on tasapind, mis kulgeb piki selle telge või kõrgust. Täiskoonuses on selliseks lõiguks võrdhaarne kolmnurk, milles kolmnurga kõrgus on keha kõrgus, selle küljed on generaatorid ja alus on aluse läbimõõt. Võrdkülgse geomeetrilise keha puhul on telglõikeks võrdkülgne kolmnurk, kuna selles koonuses on aluse ja generaatorite läbimõõt võrdsed.
Sirge koonuse telglõike tasapind on selle sümmeetriatasand. Selle põhjuseks on asjaolu, et selle ülaosa asub aluse keskpunktist kõrgemal, see tähendab, et telglõike tasapind jagab koonuse kaheks identseks osaks.
Kuna kõrgus ja telg ei ühti kaldkujulises kehas, ei pruugi telglõike tasapind kõrgust sisaldada. Kui sellises koonuses on võimalik konstrueerida telglõike kogum, kuna selleks tuleb järgida ainult ühte tingimust - see peab läbima ainult telge, siis ainult üks tasapinna telglõik, mis kuulub kõrgusele. seda koonust saab tõmmata, kuna tingimuste arv suureneb ja nagu teada, võivad kaks joont (koos) kuuludaainult üks lennuk.
Jaotise ala
Varem mainitud koonuse telglõik on kolmnurk. Selle põhjal saab selle pindala arvutada kolmnurga pindala valemi abil:
S=1/2dh või S=1/22rh
kus S on ristlõike pindala;
d – põhja läbimõõt;
r – raadius;
h – kõrgus.
Kalduses ehk kaldus koonuses on telje vaheline lõik samuti kolmnurk, seega arvutatakse selle ristlõike pindala sarnaselt.
Volume
Kuna koonus on kolmemõõtmeline kujund kolmemõõtmelises ruumis, saame arvutada selle ruumala. Koonuse ruumala on arv, mis iseloomustab seda keha ruumalaühikus, st m3. Arvutamine ei sõltu sellest, kas see on sirge või kaldu (kaldus), kuna nende kahe kehatüübi valemid ei erine.
Nagu varem öeldud, tekib täiskoonus tänu täisnurkse kolmnurga pöörlemisele piki selle üht jalga. Kaldus või kaldus koonus moodustub erinev alt, kuna selle kõrgus on nihutatud keha alustasandi keskpunktist eemale. Sellised erinevused struktuuris ei mõjuta aga selle mahu arvutamise meetodit.
Mahu arvutamine
Mistahes koonuse mahu valem näeb välja järgmine:
V=1/3πhr2
kus V on koonuse ruumala;
h – kõrgus;
r – raadius;
π – konstant võrdub 3, 14.
Koonuse ruumala arvutamiseks peavad teil olema andmed kere aluse kõrguse ja raadiuse kohta.
Keha kõrguse arvutamiseks peate teadma aluse raadiust ja selle generaatori pikkust. Kuna raadius, kõrgus ja generatriks on ühendatud täisnurkseks kolmnurgaks, saab kõrguse arvutada Pythagorase teoreemi valemiga (a2+ b2=c 2 või meie puhul h2+ r2=l2 , kus l - generatrix). Sel juhul arvutatakse kõrgus, eraldades ruutjuure hüpotenuusi ja teise jala ruutude vahest:
a=√c2- b2
See tähendab, et koonuse kõrgus võrdub väärtusega, mis saadakse pärast ruutjuure eraldamist generatriksi pikkuse ruudu ja aluse raadiuse ruudu vahest:
h=√l2 - r2
Arvutades selle meetodi abil kõrgust ja teades selle aluse raadiust, saate arvutada koonuse ruumala. Sel juhul mängib generatrix olulist rolli, kuna see toimib arvutustes abielemendina.
Samamoodi, kui teate keha kõrgust ja selle generaatori pikkust, saate leida selle aluse raadiuse, eraldades ruutjuure generatriksi ruudu ja kõrguse ruudu erinevusest:
r=√l2 - h2
Seejärel arvutage ül altoodud valemiga koonuse maht.
Kaldkoonuse helitugevus
Kuna koonuse ruumala valem on igat tüüpi pöördekehade puhul sama, siis selle arvutamise erinevus seisneb kõrguse otsimises.
Selleks, et teada saada kaldkoonuse kõrgust, peavad sisendandmed sisaldama generaatori pikkust, aluse raadiust ja tsentri kaugustalus ja keha kõrguse ristumiskoht selle aluse tasapinnaga. Seda teades saate hõlps alt arvutada selle osa aluse läbimõõdust, mis on täisnurkse kolmnurga alus (moodustatakse aluse kõrgusest, generaatorist ja tasapinnast). Seejärel arvutage uuesti Pythagorase teoreemi abil koonuse kõrgus ja seejärel ruumala.
