Leonhard Euler (1707-1783) – kuulus Šveitsi ja Vene matemaatik, Peterburi Teaduste Akadeemia liige, elas suurema osa oma elust Venemaal. Matemaatilise analüüsi, statistika, arvutiteaduse ja loogika vallas on tuntuim Euleri ring (Euleri-Venni diagramm), mida kasutatakse mõistete ja elementide kogumite ulatuse tähistamiseks.
John Venn (1834-1923) – inglise filosoof ja loogik, Euleri-Venni diagrammi kaasautor.
Ühilduvad ja mitteühilduvad mõisted
Loogika mõiste all tähendab mõtlemisvormi, mis peegeldab homogeensete objektide klassi olulisi tunnuseid. Neid tähistatakse ühe või sõnarühmaga: "maailmakaart", "domineeriv kvint-seventh akord", "esmaspäev" jne.
Juhul, kui ühe mõiste ulatuse elemendid kuuluvad täielikult või osaliselt teise mõiste ulatusse, räägitakse ühilduvatest mõistetest. Kui aga ükski teatud mõiste ulatuse element ei kuulu mõne teise mõiste ulatusse, on meil kokkusobimatud mõisted.
Igal kontseptsioonitüübil on omakorda oma võimalike seoste kogum. Ühilduvate mõistete jaoks on järgmised:
- mahtude identsus (võrdsus);
- ületus (osaline vaste)köited;
- alluvus (alluvus).
Ühildumatuks:
- alluvus (koordinatsioon);
- vastupidine (vastuolu);
- vastuolu (vastuolu).
Skeemiliselt tähistatakse loogikas mõistete vahelisi seoseid tavaliselt Euleri-Venni ringidega.
Ekvivalentsuhted
Sel juhul tähendavad mõisted sama teemat. Sellest tulenev alt on nende mõistete mahud täiesti samad. Näiteks:
A – Sigmund Freud;
B on psühhoanalüüsi rajaja.
Või:
A on ruut;
B on võrdkülgne ristkülik;
C on võrdnurkne romb.
Märgistamisel kasutatakse täiesti kattuvad Euleri ringid.
Ristmik (osaline vaste)
See kategooria hõlmab mõisteid, millel on ühiseid elemente, mis on seotud ülekäiguga. See tähendab, et ühe mõiste maht sisaldub osaliselt teise kontseptsiooni mahus:
A – õpetaja;
B on muusikasõber.
Nagu sellest näitest näha, langevad mõistete mahud osaliselt kokku: teatud grupp õpetajaid võib osutuda muusikasõpradeks ja vastupidi - muusikasõprade hulgas võib olla õpetajaameti esindajaid. Sarnane suhtumine on ka juhul, kui mõiste A on näiteks "kodanik" ja B on "autojuht".
Aluvus (alluvus)
Skeemiliselt tähistatud erineva skaala Euleri ringidena. Suhtedmõistete vahel on sel juhul iseloomulik, et alluva mõiste (mahult väiksem) sisaldub täielikult alluvas (mahult suurem). Samas ei ammenda alluva mõiste alluvat täielikult.
Näiteks:
A – puu;
B – mänd.
Mõte B allub mõistele A. Kuna mänd kuulub puude hulka, muutub mõiste A selles näites alluvaks, "neelab" mõiste B ulatuse.
Koordineerimine (koordineerimine)
Seos iseloomustab kahte või enamat mõistet, mis üksteist välistavad, kuid kuuluvad teatud ühisesse üldringi. Näiteks:
A – klarnet;
B – kitarr;
C – viiul;
D on muusikainstrument.
Mõisted A, B, C ei ristu üksteise suhtes, kuid nad kõik kuuluvad muusikariistade kategooriasse (mõiste D).
Vastupidi (vastupidi)
Vastupidised seosed mõistete vahel viitavad sellele, et need mõisted kuuluvad samasse perekonda. Samal ajal on ühel mõistel teatud omadused (tunnused), teine aga eitab neid, asendades need looduses vastandlikega. Seega on meil tegemist antonüümidega. Näiteks:
A on kääbus;
B on hiiglane.
Euleri ring, millel on mõistetevahelised vastandlikud suhtedon jagatud kolmeks segmendiks, millest esimene vastab mõistele A, teine mõistele B ja kolmas kõigile teistele võimalikele mõistetele.
Vastuolu (vastuolu)
Sel juhul on mõlemad mõisted sama perekonna liigid. Nagu eelmises näites, näitab üks mõiste teatud omadusi (omadusi), teine aga eitab neid. Kuid erinev alt vastandite suhetest ei asenda teine, vastandlik mõiste eitatud omadusi teiste, alternatiivsete omadustega. Näiteks:
A on raske ülesanne;
B on lihtne ülesanne (mitte-A).
Väljendades sedalaadi mõistete mahtu, jaguneb Euleri ring kaheks osaks – kolmandat, vahepealset lüli sel juhul ei eksisteeri. Seega on mõisted ka antonüümid. Samal ajal muutub üks neist (A) positiivseks (kinnitades mõnda omadust) ja teine (B või mitte-A) muutub negatiivseks (eitab vastava tunnuse): “valge paber” - “mitte valge paber”, “rahvuslik ajalugu” – „välisajalugu” jne
Seega on mõistete mahtude suhe üksteise suhtes põhiomadus, mis määrab Euleri ringid.
Seosed komplektide vahel
Samuti tuleb eristada elementide ja hulga mõisteid, mille helitugevust kuvavad Euleri ringid. Kogumi mõiste on laenatud matemaatikast ja sellel on üsna lai tähendus. Loogika ja matemaatika näited näitavad seda teatud objektide kogumina. Objektid ise onselle komplekti elemendid. "Paljud on paljusid ühena" (Georg Kantor, hulgateooria rajaja).
Komplektid on tähistatud suurtähtedega: A, B, C, D… jne, komplektide elemendid on tähistatud väiketähtedega: a, b, c, d… jne. Komplekti võivad näiteks tuua õpilased, kes on ühes klassiruumis, raamatud kindlal riiulil (või näiteks kõik raamatud teatud raamatukogus), lehed päevikus, marjad metsalagendikul jne.
Kui aga teatud hulk ei sisalda ühtki elementi, siis nimetatakse seda tühjaks ja tähistatakse märgiga Ø. Näiteks paralleelsete sirgete lõikepunktide hulk, võrrandi lahenduste hulk x2=-5.
Probleemi lahendamine
Euleri ringe kasutatakse aktiivselt paljude probleemide lahendamiseks. Loogikanäited näitavad selgelt loogikatehete ja hulgateooria vahelist seost. Sel juhul kasutatakse mõistete tõetabeleid. Näiteks ring A-ga tähistab tõepiirkonda. Seega on ringist väljapoole jääv ala vale. Loogilise toimingu jaoks diagrammi pindala määramiseks peaksite varjutama Euleri ringi defineerivad alad, milles selle elementide A ja B väärtused on tõesed.
Euleri ringide kasutamine on leidnud laialdast praktilist rakendust erinevates tööstusharudes. Näiteks professionaalse valikuga olukorras. Kui uuritav on mures tulevase elukutse valiku pärast, võib ta juhinduda järgmistest kriteeriumidest:
W – mida mulle teha meeldib?
D – mida ma teen?
P– kuidas ma saan head raha teenida?
Joonistame selle diagrammina: Euleri ringid (näited loogikast - ristumisseos):
Tulemuseks on need ametid, mis asuvad kõigi kolme ringi ristumiskohas.
Euler-Venni ringid hõivavad matemaatikas (hulgateoorias) kombinatsioonide ja omaduste arvutamisel omaette koha. Elementide hulga Euleri ringid on ümbritsetud universaalset hulka (U) tähistava ristküliku kujutisega. Ringide asemel võib kasutada ka muid kinniseid figuure, kuid selle olemus ei muutu. Figuurid ristuvad üksteisega, vastav alt ülesande tingimustele (kõige üldisemal juhul). Samuti tuleks need arvud vastav alt märgistada. Vaadeldavate komplektide elemendid võivad olla punktid, mis asuvad diagrammi erinevates segmentides. Selle põhjal saate konkreetseid piirkondi varjutada, määrates seeläbi äsja moodustatud komplektid.
Nende kogumitega on võimalik sooritada põhilisi matemaatilisi tehteid: liitmine (elementide hulkade summa), lahutamine (vahe), korrutamine (korrutis). Lisaks on tänu Euleri-Venni diagrammidele võimalik võrrelda hulki neis sisalduvate elementide arvu järgi, arvestamata neid.
