On ebatõenäoline, et paljud inimesed mõtlevad sellele, kas enam-vähem juhuslikke sündmusi on võimalik arvutada. Lihtsam alt öeldes, kas on realistlik teada, milline täringus oleva täringu pool järgmisena välja kukub. Just selle küsimuse esitasid kaks suurt teadlast, kes panid aluse sellisele teadusele nagu tõenäosusteooria, milles sündmuse tõenäosust uuritakse üsna põhjalikult.
Päritolu
Kui proovite defineerida sellist mõistet tõenäosusteooriana, saate järgmise: see on üks matemaatika harudest, mis uurib juhuslike sündmuste püsivust. Loomulikult ei avalda see kontseptsioon tegelikult kogu olemust, seega on vaja seda üksikasjalikum alt kaaluda.
Tahaksin alustada teooria loojatest. Nagu eespool mainitud, oli neid kaks, need on Pierre Fermat ja Blaise Pascal. Just nemad olid esimeste seas, kes proovisid valemite ja matemaatiliste arvutuste abil välja arvutada sündmuse tulemuse. Üldiselt ilmnesid selle teaduse alged jubakeskaeg. Sel ajal püüdsid erinevad mõtlejad ja teadlased analüüsida hasartmänge, nagu rulett, craps jne, pannes paika teatud numbrite väljalangemise mustri ja protsendi. Vundamendi rajasid XVII sajandil eelnimetatud teadlased.
Algul ei saanud nende tööd selle valdkonna suurte saavutuste arvele panna, sest kõik, mida nad tegid, olid lihts alt empiirilised faktid ja katsed pandi paika visuaalselt, valemeid kasutamata. Aja jooksul osutus see suurepäraseks tulemuseks, mis ilmnes täringuviske jälgimise tulemusena. Just see tööriist aitas tuletada esimesed arusaadavad valemid.
Associates
Tõenäosusteooria-nimelist teemat uurides on võimatu mainimata jätta sellist isikut nagu Christian Huygens (sündmuse tõenäosust käsitletakse just selles teaduses). See inimene on väga huvitav. Tema, nagu ka ül altoodud teadlased, püüdis matemaatiliste valemite kujul tuletada juhuslike sündmuste regulaarsust. Tähelepanuväärne on see, et ta ei teinud seda koos Pascali ja Fermat'ga, see tähendab, et kõik tema teosed ei ristunud kuidagi nende meeltega. Huygens tuletas tõenäosusteooria põhimõisted.
Huvitav fakt on see, et tema töö ilmus ammu enne pioneeride töö tulemusi, õigemini kakskümmend aastat varem. Määratud mõistete hulgas on kõige kuulsamad:
- tõenäosuse mõiste kui juhuse suurus;
- ootus diskreetsuse suhtesjuhtumid;
- tõenäosuste korrutamise ja liitmise teoreemid.
Samuti on võimatu mitte meenutada Jacob Bernoullit, kes andis samuti olulise panuse probleemi uurimisse. Kellestki sõltumatult oma katseid korraldades õnnestus tal esitada tõestus suurte arvude seaduse kohta. Teadlased Poisson ja Laplace, kes töötasid 19. sajandi alguses, suutsid omakorda tõestada algseid teoreeme. Sellest hetkest alates hakati tõenäosusteooriat kasutama vaatluste käigus tekkinud vigade analüüsimiseks. Sellest teadusest ei saanud mööda ka vene teadlased, õigemini Markov, Tšebõšev ja Djapunov. Suurte geeniuste tehtud töö põhjal fikseerisid nad selle aine matemaatika haruks. Need arvud töötasid juba 19. sajandi lõpus ja tänu nende panusele ilmnesid sellised nähtused nagu:
- suurte arvude seadus;
- Markovi ahela teooria;
- keskpiiri teoreem.
Nii, teaduse sünniloo ja peamiste seda mõjutanud inimestega on kõik enam-vähem selge. Nüüd on aeg kõik faktid konkretiseerida.
Põhimõisted
Enne seaduste ja teoreemide puudutamist tasub uurida tõenäosusteooria põhimõisteid. Üritus võtab selles juhtrolli. See teema on üsna mahukas, kuid ilma selleta ei saa kõigest muust aru.
Tõenäosusteoorias on sündmus mis tahes katse tulemuste kogum. Selle nähtuse mõisteid pole nii palju. Niisiis, teadlane Lotman,selles valdkonnas töötades ütles, et antud juhul räägime millestki, mis "juhtus, kuigi see ei pruugi juhtuda".
Juhuslikud sündmused (tõenäosusteooria pöörab neile erilist tähelepanu) on mõiste, mis eeldab absoluutselt kõiki nähtusi, millel on võime esineda. Või vastupidi, see stsenaarium ei pruugi juhtuda, kui paljud tingimused on täidetud. Samuti tasub teada, et just juhuslikud sündmused haaravad kogu toimunud nähtuste mahu. Tõenäosusteooria näitab, et kõiki tingimusi saab pidev alt korrata. Just nende käitumist nimetati "kogemuseks" või "testimiseks".
Teatud sündmus on sündmus, mis antud testis toimub 100%. Seetõttu on võimatu sündmus see, mida ei juhtu.
Tegevusepaari kombinatsioon (tavaliselt juhtum A ja juhtum B) on nähtus, mis esineb samaaegselt. Need on tähistatud kui AB.
Sündmuste paaride A ja B summa on C ehk kui neist vähem alt üks juhtub (A või B), siis saadakse C. Kirjeldatud nähtuse valem on kirjutatud järgmiselt: C=A + B.
Tõenäosusteooria mitteühendatud sündmused viitavad sellele, et kaks juhtumit välistavad üksteist. Need ei saa kunagi juhtuda samal ajal. Ühissündmused tõenäosusteoorias on nende antipood. See tähendab, et kui A juhtus, siis see ei sega B-d.
Vastupidiseid sündmusi (tõenäosusteooria käsitleb neid väga üksikasjalikult) on lihtne mõista. Parim on nendega võrrelda. Need on peaaegu samad, misja tõenäosusteoorias kokkusobimatud sündmused. Kuid nende erinevus seisneb selles, et üks paljudest nähtustest peab niikuinii juhtuma.
Ekvivalentsed sündmused on need tegevused, mille võimalikkus on võrdne. Et see oleks selgem, võime ette kujutada mündi viskamist: selle ühe külje kukkumine langeb sama suure tõenäosusega ka teise poole.
Head sündmust on näite abil lihtsam näha. Oletame, et on episood B ja episood A. Esimene on täringu viskamine paaritu numbriga ja teine on numbri viie ilmumine täringule. Siis selgub, et A soosib B-d.
Tõenäosusteoorias on sõltumatud sündmused projitseeritud ainult kahele või enamale juhtumile ja need viitavad mis tahes tegevuse sõltumatusele teisest. Näiteks A tähistab mündi viskamisel sabade kaotust ja B on tekilt tungraua tõmbamine. Need on tõenäosusteoorias sõltumatud sündmused. Selle hetkega sai asi selgemaks.
Sõltuvad sündmused tõenäosusteoorias on samuti lubatud ainult nende kogumi puhul. Need viitavad ühe sõltuvusele teisest, see tähendab, et nähtus B saab ilmneda ainult siis, kui A on juba juhtunud või, vastupidi, pole juhtunud, kui see on B põhitingimus.
Ühest komponendist koosneva juhusliku katse tulemuseks on elementaarsed sündmused. Tõenäosusteooria selgitab, et see on nähtus, mis juhtus vaid korra.
Põhivalemid
Niisiis, mõisted "sündmus", "tõenäosusteooria",anti ka selle teaduse põhimõistete definitsioon. Nüüd on aeg tutvuda vahetult oluliste valemitega. Need avaldised kinnitavad matemaatiliselt kõiki peamisi mõisteid sellises keerulises aines nagu tõenäosusteooria. Sündmuse tõenäosus mängib ka siin suurt rolli.
Parem alustada kombinatoorika põhivalemitest. Ja enne nende juurde asumist tasub mõelda, mis see on.
Kombinatoorika on eeskätt matemaatika haru, see tegeleb tohutu hulga täisarvude uurimisega, aga ka nii arvude endi kui ka nende elementide, erinevate andmete jms permutatsioonidega, mis viivad numbrite ilmumiseni. hulk kombinatsioone. Lisaks tõenäosusteooriale on see haru oluline statistika, arvutiteaduse ja krüptograafia jaoks.
Nüüd saame liikuda edasi valemite endi esitamise ja nende määratlemise juurde.
Esimene on permutatsioonide arvu avaldis, see näeb välja selline:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Võrrand kehtib ainult siis, kui elemendid erinevad ainult järjestuse poolest.
Nüüd võetakse arvesse paigutuse valemit, see näeb välja selline:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
See avaldis kehtib mitte ainult elemendi järjekorra, vaid ka koostise kohta.
Kolmandat kombinatoorika võrrandit ja see on ka viimane, nimetatakse kombinatsioonide arvu valemiks:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinatsioonid on valikud, mis ei ole vastav alt järjestatud ja neile kehtib see reegel.
Kombinatoorika valemite väljamõtlemine osutus lihtsaks, nüüd saame liikuda edasi klassikalise tõenäosuste definitsiooni juurde. See väljend näeb välja selline:
P(A)=m: n.
Selles valemis on m sündmuse A jaoks soodsate tingimuste arv ja n on absoluutselt kõigi võrdselt võimalike ja elementaarsete tulemuste arv.
Avaldisi on palju, artikkel ei käsitle neid kõiki, kuid puudutatakse neist kõige olulisemat, näiteks sündmuste summa tõenäosust:
P(A + B)=P(A) + P(B) – see teoreem on mõeldud ainult mitteühilduvate sündmuste lisamiseks;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) – ja see on mõeldud ainult ühilduvate lisamiseks.
Sündmuste tekkimise tõenäosus:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – see teoreem on sõltumatute sündmuste jaoks;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) – ja see on sõltlased.
Sündmuse valem lõpetab loendi. Tõenäosusteooria räägib meile Bayesi teoreemist, mis näeb välja järgmine:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Selles valemis on H1, H2, …, H täielik hüpoteeside rühm.
Peatame siinkohal, siis vaadeldakse näiteid valemite rakendamisest konkreetsete probleemide lahendamiseks praktikast.
Näited
Kui uurite hoolik alt mõnda jaotistmatemaatika, see ei tule ilma harjutuste ja näidislahendusteta. Nii on ka tõenäosusteooriaga: sündmused, näited siin on lahutamatu komponent, mis kinnitab teaduslikke arvutusi.
Permutatsioonide arvu valem
Oletame, et kaardipakis on kolmkümmend kaarti, alustades nimiväärtusega ühest. Järgmine küsimus. Mitu võimalust on paki virnamiseks nii, et kaardid nimiväärtusega üks ja kaks ei oleks kõrvuti?
Ülesanne on püstitatud, nüüd liigume edasi selle lahendamisega. Kõigepe alt peate määrama kolmekümne elemendi permutatsioonide arvu, selleks võtame ül altoodud valemi, selgub P_30=30!.
Selle reegli alusel saame teada, kui palju võimalusi on paki erinevatel viisidel voltimiseks, kuid me peame neist lahutama need, milles esimene ja teine kaart on järgmised. Selleks alustame valikuga, kui esimene on teisest kõrgemal. Selgub, et esimene kaart võib võtta kakskümmend üheksa kohta - esimesest kahekümne üheksandani ja teine kaart teisest kuni kolmekümnendani, selgub, et kaardipaari jaoks on kakskümmend üheksa kohta. Ülejäänud võivad omakorda võtta kakskümmend kaheksa kohta ja suvalises järjekorras. See tähendab, et kahekümne kaheksa kaardi permutatsiooni jaoks on kakskümmend kaheksa valikut P_28=28!
Selle tulemusena selgub, et kui arvestada lahendusega, kui esimene kaart on teisest üle, on 29 ⋅ 28 lisavõimalust!=29!
Sama meetodit kasutades peate arvutama üleliigsete valikute arvu juhuks, kui esimene kaart on teise all. Selgub ka 29 ⋅ 28!=29!
Sellest järeldub, et lisavõimalusi on 2 ⋅ 29, samas kui teki ehitamiseks on 30 nõutavat viisi! - 2 ⋅ 29!. Jääb vaid üle lugeda.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30–2)=29! ⋅ 28
Nüüd peate korrutama kõik arvud ühest kahekümne üheksani ja siis lõpuks korrutama kõik 28-ga. Vastus on 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Näite lahendus. Paigutuse numbri valem
Selles ülesandes peate välja selgitama, mitu võimalust on viisteist köidet ühele riiulile panna, kuid tingimusel, et kokku on kolmkümmend köidet.
Sellel probleemil on veidi lihtsam lahendus kui eelmisel. Juba teadaoleva valemi abil on vaja arvutada asukohtade koguarv kolmekümnest köitest viieteistkümnest.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 ⋅ 16=202 843 204 70 31 204 70
Vastus on vastav alt 202 843 204 931 727 360 000.
Võtame ülesande nüüd pisut keerulisemaks. Peate välja selgitama, mitu võimalust on kolmekümne raamatu paigutamiseks kahele raamaturiiulile eeldusel, et ühel riiulil saab olla ainult viisteist köidet.
Enne lahenduse alustamist tahaksin selgitada, et mõned probleemid lahendatakse mitmel viisil, seega on selles kaks võimalust, kuid mõlemas kasutatakse sama valemit.
Selles ülesandes võite võtta vastuse eelmisest, sest seal arvutasime, mitu korda saate riiulit viieteistkümne raamatuga täita.erinev alt. Selgus A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Arvutame teise riiuli permutatsioonivalemi abil, sest sinna on paigutatud viisteist raamatut, samas kui alles jääb vaid viisteist raamatut. Kasutage valemit P_15=15!.
Selgub, et kogusumma on A_30^15 ⋅ P_15, kuid lisaks tuleb kõigi arvude korrutis kolmekümnest kuueteistkümneni korrutada arvude korrutisega ühest viieteistkümneni, nagu tulemus on kõigi arvude korrutis ühest kolmekümneni, seega on vastus 30!
Kuid seda probleemi saab lahendada ka teisiti – lihtsam alt. Selleks võib ette kujutada, et kolmekümne raamatu jaoks on üks riiul. Kõik need on paigutatud sellele tasapinnale, kuid kuna tingimus nõuab, et riiulit oleks kaks, siis lõikame ühe pika pooleks, kumbki tuleb välja kaks viisteist. Sellest selgub, et paigutusvalikud võivad olla P_30=30!.
Näite lahendus. Kombinatsiooni number
valem
Nüüd käsitleme kombinatoorika kolmanda ülesande varianti. Peate välja selgitama, mitu võimalust on viieteistkümne raamatu järjestamiseks eeldusel, et peate valima kolmekümne täiesti identse raamatu hulgast.
Lahenduseks rakendatakse loomulikult kombinatsioonide arvu valemit. Tingimusest selgub, et identsete viieteistkümne raamatu järjestus pole oluline. Seetõttu peate esialgu välja selgitama kolmekümne viieteistkümne raamatu kombinatsioonide koguarvu.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: viisteist!=155 117 520
See on kõik. Seda valemit kasutades oli see võimalik võimalikult lühikese ajagasellise ülesande lahendamiseks on vastus vastav alt 155 117 520.
Näite lahendus. Tõenäosuse klassikaline määratlus
Ül altoodud valemiga leiate vastuse lihtsale probleemile. Kuid see aitab tegevuste kulgu visuaalselt näha ja jälgida.
Ülesandes on antud, et urnis on kümme absoluutselt identset palli. Neist neli on kollased ja kuus sinised. Urnist võetakse üks pall. Peate välja selgitama siniseks muutumise tõenäosuse.
Probleemi lahendamiseks on vaja sündmuseks A määrata sinise palli saamine. Sellel kogemusel võib olla kümme tulemust, mis omakorda on elementaarsed ja võrdselt tõenäolised. Samas on kümnest kuus soodsad sündmusele A. Lahendame valemi järgi:
P(A)=6: 10=0, 6
Selle valemi rakendamisel saime teada, et sinise palli saamise tõenäosus on 0,6.
Näite lahendus. Sündmuste summa tõenäosus
Nüüd esitatakse variant, mis lahendatakse sündmuste summa tõenäosuse valemi abil. Seega, tingimusel, et kaste on kaks, sisaldab esimene üks halli ja viis valget palli ning teine kaheksa halli ja neli valget palli. Selle tulemusena võeti üks neist esimesest ja teisest kastist. Peate välja selgitama, kui suur on võimalus, et pallid on hallid ja valged.
Selle probleemi lahendamiseks peate sündmused märgistama.
- Niisiis, A – võtke esimesest kastist hall pall: P(A)=1/6.
- A’ – võta valge pall ka esimesest kastist: P(A')=5/6.
- B – hall pall on juba teisest kastist välja võetud: P(B)=2/3.
- B’ – võta teisest kastist hall pall: P(B')=1/3.
Vastav alt ülesande seisundile peab juhtuma üks nähtustest: AB' või A'B. Kasutades valemit, saame: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Nüüd on kasutatud tõenäosuse korrutamise valemit. Järgmiseks peate vastuse leidmiseks rakendama nende liitmise võrrandit:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=18/11.
Nii saate valemit kasutades sarnaseid probleeme lahendada.
Tulemus
Artikkel andis teavet teemal "Tõenäosusteooria", milles sündmuse tõenäosus mängib üliolulist rolli. Loomulikult ei võetud kõike arvesse, kuid esitatud teksti põhjal saab teoreetiliselt selle matemaatika osaga tutvuda. Kõnealune teadus võib olla kasulik mitte ainult erialases töös, vaid ka igapäevaelus. Selle abiga saate arvutada mis tahes sündmuse võimaluse.
Tekst puudutas ka olulisi kuupäevi tõenäosusteooria kui teaduse kujunemise ajaloos ja inimeste nimesid, kelle tööd sellesse investeeriti. Nii viis inimlik uudishimu selleni, et inimesed õppisid arvutama isegi juhuslikke sündmusi. Kunagi nad lihts alt tundsid selle vastu huvi, aga täna teavad seda juba kõik. Ja keegi ei ütle, mis meid tulevikus ees ootab, milliseid säravaid avastusi vaadeldava teooriaga seoses veel tehakse. Üks on aga kindel – teadusuuringud ei seisa paigal!
