Paljud, kes seisavad silmitsi "tõenäosusteooria" kontseptsiooniga, on ehmunud, arvates, et see on midagi tohutut, väga keerulist. Kuid tegelikult pole see kõik nii traagiline. Täna käsitleme tõenäosusteooria põhikontseptsiooni ja õpime konkreetsete näidete abil probleeme lahendama.
Teadus
Mida uurib selline matemaatika haru nagu "tõenäosusteooria"? See märgib juhuslike sündmuste ja koguste mustreid. Esimest korda hakkasid teadlased selle probleemi vastu huvi tundma XVIII sajandil, kui nad uurisid hasartmänge. Tõenäosusteooria põhikontseptsioon on sündmus. See on igasugune fakt, mis tehakse kindlaks kogemuse või vaatluse kaudu. Aga mis on kogemus? Teine tõenäosusteooria põhikontseptsioon. See tähendab, et see asjaolude koosseis pole loodud juhuslikult, vaid kindlal eesmärgil. Mis puutub vaatlusse, siis siin uurija ise ei osale eksperimendis, vaid on lihts alt nende sündmuste tunnistaja, ta ei mõjuta toimuvat kuidagi.
Sündmused
Saime teada, et tõenäosusteooria põhikontseptsioon on sündmus, kuid ei võtnud arvesse klassifikatsiooni. Kõik need on jagatud järgmistesse kategooriatesse:
- Usaldusväärne.
- Võimatu.
- Juhuslik.
Pole tähtismilliseid sündmusi vaadeldakse või kogemuse käigus luuakse, need kõik alluvad sellele klassifikatsioonile. Pakume tutvuda iga liigiga eraldi.
Teatud sündmus
See on asjaolu, enne mida on võetud vajalikud meetmed. Olemuse paremaks mõistmiseks on parem tuua paar näidet. Selle seaduse alla kuuluvad füüsika, keemia, majandus ja kõrgem matemaatika. Tõenäosusteooria sisaldab sellist olulist mõistet nagu teatud sündmus. Siin on mõned näited:
- Töötame ja saame tasu palga vormis.
- Sooritasime eksamid hästi, läbisime konkursi, selle eest saame preemia õppeasutusse sisseastumise näol.
- Raha investeerisime panka, vajadusel saame tagasi.
Sellised sündmused on usaldusväärsed. Kui oleme kõik vajalikud tingimused täitnud, siis saame kindlasti oodatud tulemuse.
Võimatud sündmused
Nüüd kaalume tõenäosusteooria elemente. Teeme ettepaneku liikuda edasi järgmist tüüpi sündmuste, nimelt võimatu selgituse juurde. Kõigepe alt täpsustame kõige olulisemat reeglit – võimatu sündmuse tõenäosus on null.
Sellest sõnastusest ei saa probleemide lahendamisel kõrvale kalduda. Selguse huvides on siin näited sellistest sündmustest:
- Vesi külmus pluss kümneni (see on võimatu).
- Elektripuudus ei mõjuta tootmist kuidagi (sama võimatu kui eelmises näites).
Veel näiteidSeda ei tasu viidata, kuna ülalkirjeldatud kajastavad väga selgelt selle kategooria olemust. Võimatu sündmus ei juhtu kogemuse ajal mitte mingil juhul.
Juhuslikud sündmused
Tõenäosusteooria elemente uurides tuleks erilist tähelepanu pöörata sellele konkreetsele sündmuseliigile. Seda uuribki teadus. Kogemuse tulemusena võib midagi juhtuda, aga ei pruugi. Lisaks saab testi korrata piiramatu arv kordi. Eredad näited on:
- Mündi viskamine on kogemus või proovikivi, pealkiri on sündmus.
- Pimeliselt kotist palli välja tõmbamine on proovikivi, punase palli tabamine on sündmus ja nii edasi.
Selliseid näiteid võib olla piiramatu arv, kuid üldiselt peaks olemus olema selge. Sündmuste kohta saadud teadmiste kokkuvõtmiseks ja süstematiseerimiseks on toodud tabel. Tõenäosusteooria uurib ainult viimast tüüpi kõigist esitatud.
| pealkiri | definitsioon | näide |
| Usaldusväärne | Sündmused, mis toimuvad teatud tingimustel 100% garantiiga. | Hea sisseastumiseksamiga pääseb õppeasutusse. |
| Võimatu | Sündmused, mida mitte mingil juhul ei juhtu. | Lund sajab pluss kolmkümmend kraadi Celsiuse järgi. |
| Juhuslik | Sündmus, mis võib katse/testi ajal toimuda või mitte. | Löö või jäta vahele, kui viskad korvpalli võrku. |
Seadused
Tõenäosusteooria on teadus, mis uurib sündmuse toimumise võimalust. Nagu ka teistel, on sellel teatud reeglid. Tõenäosusteoorias kehtivad järgmised seadused:
- Juhuslike muutujate jadade lähenemine.
- Suurte arvude seadus.
Kompleksi võimalikkuse arvutamisel saab kasutada lihtsate sündmuste kompleksi, et tulemus oleks lihtsam ja kiirem. Pange tähele, et tõenäosusteooria seadused on mõne teoreemi abil kergesti tõestatavad. Alustame esimese seadusega.
Juhuslike muutujate jadade lähenemine
Pange tähele, et lähenemist on mitut tüüpi:
- Juhuslike muutujate jada koondub tõenäosusega.
- Peaaegu võimatu.
- RMS-konvergents.
- Jaotuse lähenemine.
Nii et käigu pe alt on väga raske asja põhja saada. Siin on mõned määratlused, mis aitavad teil seda teemat mõista. Alustame esimesest pilgust. Jada nimetatakse tõenäosuselt koonduvaks, kui on täidetud järgmine tingimus: n kaldub lõpmatuseni, arv, milleni jada kaldub, on suurem kui null ja lähedane ühele.
Järgmise vaate juurde minnes peaaegu kindlasti. Nad ütlevad sedajada läheneb peaaegu kindl alt juhuslikule muutujale, kus n kaldub lõpmatuseni ja P kaldub ühele lähedasele väärtusele.
Järgmine tüüp on ruutkeskmise konvergents. SC-konvergentsi kasutamisel taandatakse vektorjuhuslike protsesside uurimine nende koordinaatjuhuslike protsesside uurimisele.
Jääb alles viimane tüüp, vaatame seda põgus alt, et minna otse probleemide lahendamise juurde. Jaotuskonvergentsil on teine nimi - "nõrk", selgitame allpool, miks. Nõrk konvergents on jaotusfunktsioonide lähenemine piirjaotusfunktsiooni kõigis pidevuse punktides.
Täitke kindlasti lubadus: nõrk konvergents erineb kõigist ül altoodust selle poolest, et tõenäosusruumil pole juhuslikku suurust defineeritud. See on võimalik, kuna tingimus moodustatakse ainult jaotusfunktsioone kasutades.
Suurte arvude seadus
Suurepärased abilised selle seaduse tõestamisel on tõenäosusteooria teoreemid, näiteks:
- Tšebõševi ebavõrdsus.
- Tšebõševi teoreem.
- Üldistatud Tšebõševi teoreem.
- Markovi teoreem.
Kui arvestada kõiki neid teoreeme, võib see küsimus venida mitukümmend lehte. Meie põhiülesanne on tõenäosusteooria praktikas rakendamine. Kutsume teid seda kohe tegema. Kuid enne seda vaatleme tõenäosusteooria aksioome, need on peamised abilised ülesannete lahendamisel.
Aksioomid
Me kohtusime juba esimesega, kui rääkisime võimatust sündmusest. Pidagem meeles: võimatu sündmuse tõenäosus on null. Tõime väga ilmeka ja meeldejääva näite: lund sadas õhutemperatuuril kolmkümmend kraadi Celsiuse järgi.
Teine kõlab järgmiselt: usaldusväärne sündmus toimub ühega võrdse tõenäosusega. Nüüd näitame, kuidas seda matemaatilist keelt kasutades kirjutada: P(B)=1.
Kolmandaks: juhuslik sündmus võib toimuda, kuid ei pruugi toimuda, kuid võimalus jääb alati vahemikku nullist üheni. Mida lähemal on väärtus ühele, seda suurem on võimalus; kui väärtus läheneb nullile, on tõenäosus väga väike. Kirjutame selle matemaatilises keeles: 0<Р(С)<1.
Võtleme viimast, neljandat aksioomi, mis kõlab nii: kahe sündmuse summa tõenäosus võrdub nende tõenäosuste summaga. Kirjutame matemaatilises keeles: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Tõenäosusteooria aksioomid on kõige lihtsamad reeglid, mida on lihtne meeles pidada. Proovime lahendada mõned probleemid, tuginedes juba omandatud teadmistele.
Loteriipilet
Esm alt kaaluge kõige lihtsamat näidet – loterii. Kujutage ette, et ostsite hea õnne nimel ühe loteriipileti. Kui suur on tõenäosus, et võidad vähem alt kakskümmend rubla? Kokku osaleb ringluses tuhat piletit, millest ühel on auhind viissada rubla, kümme sada rubla, viiskümmend kakskümmend rubla ja sada viis. Tõenäosusteooria probleemid põhinevad võimaluse leidmiseledu. Nüüd analüüsime koos ül altoodud ülesande lahendust.
Kui tähistame tähega A viiesaja rubla suurust võitu, siis on A saamise tõenäosus 0,001. Kuidas me selle saime? Peate lihts alt jagama "õnnelike" piletite arvu nende koguarvuga (antud juhul: 1/1000).
B on saja rubla võit, tõenäosus on 0,01. Nüüd tegutsesime sama põhimõtte järgi nagu eelmises toimingus (10/1000)
C - võidusumma võrdub kahekümne rublaga. Leidke tõenäosus, see on 0,05.
Ülejäänud piletid meid ei huvita, kuna nende auhinnafond on tingimuses märgitud summast väiksem. Rakendame neljandat aksioomi: Tõenäosus võita vähem alt paarkümmend rubla on P(A)+P(B)+P(C). Täht P tähistab selle sündmuse toimumise tõenäosust, oleme need juba eelmistes sammudes leidnud. Jääb vaid lisada vajalikud andmed, vastuses saame 0, 061. See number on vastus ülesande küsimusele.
Kaardipakk
Tõenäosusteooria ülesanded võivad olla keerulisemad, näiteks võta järgmine ülesanne. Enne sind on kolmekümne kuue kaardi pakk. Sinu ülesandeks on tõmmata kaks kaarti järjest ilma hunnikut segamata, esimene ja teine kaart peavad olema ässad, mast ei oma tähtsust.
Esm alt leiame tõenäosuse, et esimene kaart on äss, selleks jagame neli kolmekümne kuuega. Nad panid selle kõrvale. Me võtame välja teise kaardi, see on äss, mille tõenäosus on kolm kolmkümmend viiendikku. Teise sündmuse tõenäosus sõltub sellest, millise kaardi me esimesena välja tõmbasime, oleme huvitatudoli see äss või mitte. Sellest järeldub, et sündmus B sõltub sündmusest A.
Järgmine samm on samaaegse rakendamise tõenäosuse leidmine, st korrutame A ja B. Nende korrutis leitakse järgmiselt: ühe sündmuse tõenäosus korrutatakse teise sündmuse tingimusliku tõenäosusega, mille me arvutame, eeldades, et esimene sündmus toimus, see tähendab, et esimese kaardiga tõmbasime ässa.
Et kõik oleks selge, anname sellisele elemendile nimetuse sündmuse tingimuslik tõenäosus. See arvutatakse eeldusel, et sündmus A on toimunud. Arvutatakse järgmiselt: P(B/A).
Jätkake meie probleemi lahendamist: P(AB)=P(A)P(B/A) või P (AB)=P(B)P(A/B). Tõenäosus on (4/36)((3/35)/(4/36). Arvutage sajandikkuni ümardades. Meil on: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Tõenäosus, et tõmbame kaks ässa järjest, on üheksa sajandikku Väärtus on väga väike, sellest järeldub, et sündmuse toimumise tõenäosus on äärmiselt väike.
Unustatud number
Teeme ettepaneku analüüsida veel mõningaid võimalusi tõenäosusteooria abil uuritavate ülesannete jaoks. Selles artiklis olete juba näinud näiteid mõne lahendamise kohta, proovime lahendada järgmise probleemi: poiss unustas oma sõbra telefoninumbri viimase numbri, kuid kuna kõne oli väga oluline, hakkas ta kõike kordamööda valima. Peame arvutama tõenäosuse, et ta ei helista rohkem kui kolm korda. Probleemi lahendus on kõige lihtsam, kui on teada tõenäosusteooria reeglid, seadused ja aksioomid.
Enne vaatamistlahendus, proovige see ise lahendada. Teame, et viimane number võib olla nullist üheksani, see tähendab, et väärtusi on kokku kümme. Tõenäosus saada õige on 1/10.
Järgmiseks peame kaaluma sündmuse päritolu võimalusi, oletame, et poiss arvas õigesti ja sai kohe õige skoori, sellise sündmuse tõenäosus on 1/10. Teine võimalus: esimene kõne on möödalaskmine ja teine on sihtmärgil. Arvutame sellise sündmuse tõenäosuse: korrutame 9/10 1/9-ga, tulemuseks saame ka 1/10. Kolmas variant: esimene ja teine kõne osutusid valel aadressil, alles kolmandast jõudis poiss sinna, kuhu tahtis. Arvutame sellise sündmuse tõenäosuse: korrutame 9/10 8/9-ga ja 1/8-ga, saame tulemuseks 1/10. Vastav alt probleemi seisukorrale muud võimalused meid ei huvita, seega jääb meie teha tulemused kokku liita, tulemuseks on meil 3/10. Vastus: Tõenäosus, et poiss helistab mitte rohkem kui kolm korda, on 0,3.
Numbritega kaardid
Teie ees on üheksa kaarti, millest igaühele on kirjutatud arv ühest üheksani, numbreid ei korrata. Need pandi karpi ja segati põhjalikult. Peate arvutama tõenäosuse, et
- tuleb paarisarv;
- kahekohaline.
Enne lahenduse juurde asumist sätestame, et m on edukate juhtumite arv ja n on valikute koguarv. Leidke tõenäosus, et arv on paaris. Pole keeruline arvutada, et paarisarvu on neli, see on meie m, variante on kokku üheksa, see tähendab, et m=9. Siis tõenäosusvõrdub 0, 44 või 4/9.
Mõelge teisele juhtumile: valikute arv on üheksa ja edukaid tulemusi ei saa üldse olla, see tähendab, et m võrdub nulliga. Ka tõenäosus, et väljatõmmatud kaart sisaldab kahekohalist numbrit, on null.
