Ruutvõrrandi omaduste uurimisel pandi paika piirang - nullist väiksema diskriminandi korral lahendust pole. Kohe sätestati, et me räägime reaalarvude hulgast. Matemaatiku uudishimulik meel tunneb huvi – mis on tegelike väärtuste klausli saladus?
Aja jooksul võtsid matemaatikud kasutusele kompleksarvude mõiste, kus miinus ühe teise juure tingimuslikku väärtust võetakse ühikuna.
Ajalooline taust
Matemaatika teooria areneb järjestikku, lihtsast keerukani. Mõelgem välja, kuidas tekkis mõiste nimega "kompleksarv" ja miks seda vaja on.
Iidsetest aegadest on matemaatika aluseks olnud tavaline arvestus. Teadlased teadsid ainult loomulikku väärtuste kogumit. Liitmine ja lahutamine olid lihtsad. Kuna majandussuhted muutusid keerukamaks, hakati samade väärtuste liitmise asemel kasutama korrutamist. Selleks on pöördoperatsioonkorrutamine - jagamine.
Naturaalarvu mõiste piiras aritmeetiliste tehete kasutamist. Kõiki jagamisülesandeid on täisarvuliste väärtuste hulgal võimatu lahendada. Töö murdosadega viis esm alt ratsionaalsete väärtuste ja seejärel irratsionaalsete väärtuste kontseptsioonini. Kui ratsionaalse jaoks on võimalik näidata punkti täpset asukohta joonel, siis irratsionaalsete jaoks pole sellist punkti võimalik näidata. Saate intervalli ainult ligikaudselt hinnata. Ratsionaal- ja irratsionaalarvude liit moodustas reaalhulga, mida saab esitada etteantud skaalaga kindla sirgena. Iga samm piki joont on naturaalarv ning nende vahel on ratsionaalsed ja irratsionaalsed väärtused.
Teoreetilise matemaatika ajastu on alanud. Astronoomia, mehaanika, füüsika areng nõudis üha keerukamate võrrandite lahendamist. Üldiselt leiti ruutvõrrandi juured. Keerulisema kuuppolünoomi lahendamisel sattusid teadlased vasturääkivusse. Mõiste kuupjuur negatiivsest on mõttekas, kuid ruutjuure puhul saadakse määramatus. Pealegi on ruutvõrrand vaid kuupvõrrandi erijuht.
Aastal 1545 tegi itaallane J. Cardano ettepaneku võtta kasutusele imaginaararvu mõiste.
See arv on miinus ühe teine juur. Mõiste kompleksarv tekkis lõpuks alles kolmsada aastat hiljem kuulsa matemaatiku Gaussi töödes. Ta tegi ettepaneku laiendada formaalselt kõiki algebra seadusi imaginaararvule. Tegelikku rida on pikendatudlennukid. Maailm on suurem.
Põhimõisted
Meenutage mitmeid funktsioone, millel on reaalkogumile piirangud:
- y=arcsin(x), defineeritud negatiivse ja positiivse 1 vahel.
- y=ln(x), kümnendlogaritm on positiivsete argumentidega mõistlik.
- ruutjuur y=√x, arvutatud ainult x ≧ 0 jaoks.
Tähistes i=√(-1), võtame sellise mõiste kasutusele imaginaararvuna, see eemaldab kõik piirangud ül altoodud funktsioonide määratluspiirkonnast. Sellised avaldised nagu y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) on mõistlikud mõnes kompleksarvude ruumis.
Algebralise vormi saab kirjutada avaldisena z=x + i×y tegelike x ja y väärtuste hulgale ning i2 =-1.
Uus kontseptsioon eemaldab kõik algebraliste funktsioonide kasutamise piirangud ja meenutab reaal- ja kujutlusväärtuste koordinaatide sirgjoone graafikut.
Keeruline lennuk
Kompleksarvude geomeetriline vorm võimaldab visuaalselt esitada paljusid nende omadusi. Re(z)-teljel märgime tegelikud x-väärtused, Im(z)-le - y-i kujuteldavad väärtused, siis z-punktis tasapinnal kuvatakse vajalik kompleksväärtus.
Definitsioonid:
- Re(z) – tegelik telg.
- Im(z) – tähendab kujuteldavat telge.
- z – kompleksarvu tingimuslik punkt.
- Vektori pikkuse arvväärtust nullist z-ni nimetataksemoodul.
- Tegelikud ja kujuteldavad teljed jagavad tasapinna neljandikku. Koordinaatide positiivse väärtusega - I veerand. Kui tegeliku telje argument on väiksem kui 0 ja kujuteldav telg on suurem kui 0 - II veerand. Kui koordinaadid on negatiivsed - III veerand. Viimane, neljas kvartal sisaldab palju positiivseid reaalväärtusi ja negatiivseid kujuteldavaid väärtusi.
Seega saab x- ja y-koordinaadiväärtustega tasapinnal alati kompleksarvu punkti visualiseerida. Tähemärk i võetakse kasutusele selleks, et eraldada tegelik osa kujuteldavast osast.
Atribuudid
- Kui imaginaarse argumendi väärtus on null, saame vaid arvu (z=x), mis asub rea alteljel ja kuulub reaalhulka.
- Erijuhtum, kui tegeliku argumendi väärtus muutub nulliks, vastab avaldis z=i×y punkti asukohale kujuteldaval teljel.
- Z=x + i×y üldvorm on argumentide nullist erineva väärtuse jaoks. Näitab kompleksarvu iseloomustava punkti asukohta ühes kvartalis.
Trigonomeetriline tähistus
Meenuta polaarkoordinaatide süsteem ja trigonomeetriliste funktsioonide sin ja cos määratlus. On ilmne, et nende funktsioonide abil on võimalik kirjeldada tasapinna mis tahes punkti asukohta. Selleks piisab polaarkiire pikkuse ja tegeliku telje kaldenurga teadmisest.
Definitsioon. Kirjet kujul ∣z ∣, mis on korrutatud trigonomeetriliste funktsioonide cos(ϴ) ja imaginaarse osa i ×sin(ϴ) summaga, nimetatakse trigonomeetriliseks kompleksarvuks. Siin on tähis tegeliku telje suhtes kaldenurka
ϴ=arg(z) ja r=∣z∣, tala pikkus.
Trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonist ja omadustest tuleneb väga oluline Moivre'i valem:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Selle valemi abil on mugav lahendada paljusid trigonomeetrilisi funktsioone sisaldavaid võrrandisüsteeme. Eriti siis, kui tekib võimule tõstmise probleem.
Moodul ja faas
Keerulise komplekti kirjelduse lõpuleviimiseks pakume välja kaks olulist määratlust.
Pythagorase teoreemi teades on polaarkoordinaatide süsteemis kiire pikkust lihtne arvutada.
r=∣z∣=√(x2 + y2), nimetatakse sellist tähistust kompleksruumil " moodul" ja iseloomustab kaugust 0-st tasapinna punktini.
Komplekskiire kaldenurka tegeliku joone suhtes ϴ nimetatakse tavaliselt faasiks.
Definitsioon näitab, et tegelikku ja mõttelist osa kirjeldatakse tsükliliste funktsioonide abil. Nimelt:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Tagurpidi, faas on seotud algebraliste väärtustega järgmise valemi kaudu:
ϴ=arctan(x / y) + µ, geomeetriliste funktsioonide perioodilisuse arvessevõtmiseks võetakse kasutusele parandus µ.
Euleri valem
Matemaatikud kasutavad sageli eksponentsiaalset vormi. Komplekssed tasapinnanumbrid kirjutatakse avaldistena
z=r × ei×ϴ , mis tuleneb Euleri valemist.
Seda kirjet kasutatakse laialdaselt füüsikaliste suuruste praktiliseks arvutamiseks. Esitluse vorm vormiseksponentsiaalsed kompleksarvud on eriti mugav inseneriarvutuste jaoks, kus tekib vajadus arvutada siinusvooludega ahelaid ja on vaja teada antud perioodiga funktsioonide integraalide väärtust. Arvutused ise on abivahendiks erinevate masinate ja mehhanismide projekteerimisel.
Määrake toimingud
Nagu juba märgitud, kehtivad kompleksarvudele kõik algebralised põhiliste matemaatiliste funktsioonidega töötamise seadused.
Summatehing
Keeruliste väärtuste lisamisel lisatakse ka nende tegelikud ja mõttelised osad.
z=z1 + z2 kus z1 ja z2 – üldised kompleksarvud. Avaldise teisendamisel saame pärast sulgude avamist ja märgistuse lihtsustamist tegeliku argumendi x=(x1 + x2), kujuteldava argumendi y=(y 1 + y2).
Graafikul näeb see välja nagu kahe vektori liitmine tuntud rööpkülikureegli järgi.
Lahutamistehing
Peetakse liitmise erijuhuks, kui üks arv on positiivne, teine on negatiivne, st asub peegelkvartalis. Algebraline tähistus näeb välja nagu erinevus tegelike ja imaginaarsete osade vahel.
z=z1 - z2 või, võttes arvesse argumentide väärtusi, sarnaselt liitmisele operatsioon, saame tegelike väärtuste x=(x1 - x2) ja imaginaarse y=(y1- y2).
Korrutamine komplekstasandil
Kasutades polünoomidega töötamise reegleid, tuletame valemikompleksarvude lahendamiseks.
Järgides üldisi algebrareegleid z=z1×z2, kirjeldage iga argumenti ja loetlege sarnased. Tegelikud ja kujuteldavad osad saab kirjutada järgmiselt:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
See näeb ilusam välja, kui kasutame eksponentsiaalseid kompleksarve.
Avaldis näeb välja selline: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Lihtsam alt öeldes korrutatakse mooduleid ja liidetakse faasid.
Divisjon
Kui käsitleda jagamistehet korrutamise pöördväärtusena, saame lihtsa avaldise eksponentsiaalses tähises. Väärtuse z1 jagamine z2 on nende moodulite ja faasierinevuse jagamise tulemus. Formaalselt näeb kompleksarvude eksponentsiaalset vormi kasutades välja järgmine:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Algebralise tähise kujul on komplekstasandi arvude jagamise operatsioon kirjutatud veidi keerulisem alt:
z=z1 / z2.
Argumentide kirjeldamisel ja polünoomteisenduste tegemisel on väärtusi lihtne hankidax=x1 × x2 + y1 × y2, vastav alt y=x2 × y1 - x1 × y2 , kuid kirjeldatud ruumi piires on see avaldis mõttekas, kui z2 ≠ 0.
Tühjendage juur
Kõik ül altoodut saab rakendada keerukamate algebraliste funktsioonide määratlemisel – mis tahes astmeni tõstmine ja selle pöördväärtus – juure eraldamine.
Kasutades astmeni n tõstmise üldist kontseptsiooni, saame definitsiooni:
zn =(r × eiϴ).
Kasutades ühiseid atribuute, kirjutage ümber järgmiselt:
zn =rn × eiϴ.
Saime lihtsa valemi kompleksarvu astmeks tõstmiseks.
Kraadi definitsioonist saame väga olulise tagajärje. Kujutise ühiku paaritu võimsus on alati 1. Imaginaarse ühiku paaritu võimsus on alati -1.
Nüüd uurime pöördfunktsiooni – juure eraldamist.
Märgistamise hõlbustamiseks võtame n=2. Ruutjuur w kompleksväärtusest z komplekstasandil C loetakse avaldiseks z=±, mis kehtib iga reaalse argumendi korral, mis on suurem või võrdne null. Kui w ≦ 0, pole lahendust.
Vaatame lihtsaimat ruutvõrrandit z2 =1. Kasutades kompleksarvu valemeid, kirjutage ümber r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Kirjest on näha, et r2 =1 ja ϴ=0, seega on meil ainulaadne lahendus, mis võrdub 1-ga. Kuid see on vastuolus arusaamaga, et z=-1 sobib ka ruutjuure määratlusega.
Mõtleme välja, millega me ei arvesta. Kui meenutada trigonomeetrilist tähistust, siis taastame väite - faasi ϴ perioodilise muutumisega kompleksarv ei muutu. Olgu p tähistab perioodi väärtust, siis on r2 × ei2ϴ =ei(0+p), kust 2ϴ=0 + p või ϴ=p / 2. Seetõttu ei0 =1 ja eip/2 =-1. Saime teise lahenduse, mis vastab ruutjuure üldisele arusaamale.
Seega, et leida kompleksarvu suvaline juur, järgime protseduuri.
- Kirjutage eksponentsiaalne vorm w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k on suvaline täisarv.
- Soovitav arv on esitatud ka Euleri kujul z=r × eiϴ.
- Kasutage juure ekstraheerimise funktsiooni üldist määratlust r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Moodulite ja argumentide võrdsuse üldistest omadustest kirjutame rn =∣w∣ ja nϴ=arg (w) + p×k.
- Kompleksarvu juure lõppkirjet kirjeldatakse valemiga z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Märkus. ∣w∣ väärtus definitsiooni järgion positiivne reaalarv, seega on iga astme juur mõistlik.
Väli ja konjugatsioon
Kokkuvõtteks anname kaks olulist definitsiooni, millel on kompleksarvudega rakendusülesannete lahendamisel vähe tähtsust, kuid mis on matemaatilise teooria edasiarendamiseks hädavajalikud.
Öeldakse, et liitmise ja korrutamise avaldised moodustavad välja, kui need vastavad komplekstasandi z mis tahes elemendi aksioomidele:
- Keeruline summa ei muutu kompleksterminite kohtade muutumisel.
- Väide on tõene – kompleksavaldises saab iga kahe arvu summa asendada nende väärtusega.
- On neutraalne väärtus 0, mille puhul z + 0=0 + z=z on tõene.
- Iga z jaoks on vastand - z, mille liitmine annab nulli.
- Keeruliste tegurite koha vahetamisel kompleksprodukt ei muutu.
- Kahe arvu korrutamise saab asendada nende väärtusega.
- Seal on neutraalne väärtus 1, millega korrutamine kompleksarvu ei muuda.
- Iga z ≠ 0 korral on z-1 pöördväärtus, mis korrutab 1-ga.
- Kahe arvu summa korrutamine kolmandikuga võrdub toiminguga, mille käigus korrutatakse need kõik selle arvuga ja liidetakse tulemused.
- 0 ≠ 1.
Numbreid z1 =x + i×y ja z2 =x - i×y nimetatakse konjugaadiks.
Teoreem. Konjugatsiooni puhul kehtib väide:
- Summa konjugatsioon on võrdne konjugeeritud elementide summaga.
- Toote konjugaat onkonjugatsioonide korrutis.
- Konjugatsiooni konjugatsioon on võrdne arvu endaga.
Üldises algebras nimetatakse selliseid omadusi väljade automorfismideks.
Näited
Järgides etteantud kompleksarvude reegleid ja valemeid, saate nendega hõlpsasti töötada.
Vaatleme lihtsamaid näiteid.
Probleem 1. Kasutades võrrandit 3y +5 x i=15 - 7i, määrake x ja y.
Otsus. Tuletame meelde keeruliste võrduste määratlust, siis 3y=15, 5x=-7. Seetõttu x=-7/5, y=5.
Ülesanne 2. Arvutage väärtused 2 + i28 ja 1 + i135.
Otsus. Ilmselgelt on 28 paarisarv, kompleksarvu definitsiooni tulemusena astmes on meil i28 =1, mis tähendab, et avaldis 2 + i 28 =3. Teine väärtus, i135 =-1, seejärel 1 + i135 =0.
Ülesanne 3. Arvutage väärtuste 2 + 5i ja 4 + 3i korrutis.
Otsus. Kompleksarvude korrutamise üldistest omadustest saame (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Uus väärtus on -7 + 26i.
Ülesanne 4. Arvutage võrrandi z3 juured =-i.
Otsus. Kompleksarvu leidmiseks on mitu võimalust. Vaatleme ühte võimalikest. Definitsiooni järgi ∣ - i∣=1, faas -i jaoks on -p / 4. Algse võrrandi saab ümber kirjutada kujul r3ei3ϴ =e-p/4+pk, kust z=e-p / 12 + pk/3, mis tahes täisarvu k. korral
Lahenduskomplektil on vorm (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Miks vajame kompleksarve
Ajalugu teab palju näiteid, kui teooria kallal töötavad teadlased ei mõtlegi oma tulemuste praktilisele rakendamisele. Matemaatika on ennekõike mõistusemäng, põhjus-tagajärg seoste range järgimine. Peaaegu kõik matemaatilised konstruktsioonid taandatakse integraal- ja diferentsiaalvõrrandite lahendamisele ning need omakorda mõne lähendusega lahendatakse polünoomide juurte leidmisega. Siin puutume esimest korda kokku imaginaarsete arvude paradoksiga.
Teadlased, loodusteadlased, lahendades täiesti praktilisi probleeme, kasutades erinevate võrrandite lahendusi, avastavad matemaatilisi paradokse. Nende paradokside tõlgendamine viib täiesti hämmastavate avastusteni. Üks selline näide on elektromagnetlainete kahetine olemus. Kompleksarvud mängivad nende omaduste mõistmisel otsustavat rolli.
See on omakorda leidnud praktilist rakendust optikas, raadioelektroonikas, energeetikas ja paljudes teistes tehnoloogiavaldkondades. Teine näide, palju raskemini mõistetavad füüsikalised nähtused. Antiainet ennustati pastaka otsas. Ja alles palju aastaid hiljem algavad katsed seda füüsiliselt sünteesida.
Ära arva, et ainult füüsikas on selliseid olukordi. Mitte vähem huvitavaid avastusi tehakse eluslooduses, makromolekulide sünteesil, tehisintellekti uurimisel. Ja see kõik on tänumeie teadvuse avardumine, eemaldumine looduslike väärtuste lihtsast liitmisest ja lahutamisest.
