Ruumikujude mahtude arvutamine on stereomeetria üks olulisi ülesandeid. Selles artiklis käsitleme sellise hulktahuka kui püramiidi ruumala määramise küsimust ja anname ka tavalise kuusnurkse püramiidi ruumala valemi.
kuusnurkne püramiid
Esm alt vaatame, mis see arv on, mida arutatakse artiklis.
Võtame suvalise kuusnurga, mille küljed ei pruugi olla üksteisega võrdsed. Oletame ka, et oleme valinud ruumipunkti, mis ei asu kuusnurga tasapinnas. Ühendades viimase kõik nurgad valitud punktiga, saame püramiidi. Kaks erinevat kuusnurkse põhjaga püramiidi on näidatud alloleval joonisel.
On näha, et lisaks kuusnurgale koosneb kujund kuuest kolmnurgast, mille ühenduspunkti nimetatakse tipuks. Kujutatud püramiidide erinevus seisneb selles, et nende parempoolse kõrgus h ei ristu kuusnurkse aluse geomeetrilises keskpunktis ja vasakpoolse kuju kõrgus langebjust selles keskuses. Tänu sellele kriteeriumile nimetati vasakut püramiidi sirgeks ja paremat kaldus.
Kuna joonisel vasakpoolse kujundi aluse moodustab võrdsete külgede ja nurkadega kuusnurk, nimetatakse seda õigeks. Edasises artiklis räägime ainult sellest püramiidist.
Kuusnurkse püramiidi ruumala
Suvalise püramiidi ruumala arvutamiseks kehtib järgmine valem:
V=1/3hSo
Siin h on kujundi kõrguse pikkus, So on selle aluse pindala. Kasutame seda avaldist korrapärase kuusnurkse püramiidi ruumala määramiseks.
Kuna vaadeldav joonis põhineb võrdkülgsel kuusnurgal, saate selle pindala arvutamiseks kasutada n-nurga jaoks järgmist üldavaldist:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Siin on n täisarv, mis on võrdne hulknurga külgede (nurkade) arvuga, a on selle külje pikkus, kotangensfunktsioon arvutatakse vastavate tabelite abil.
Rakendades avaldist väärtusele n=6, saame:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Nüüd jääb üle see avaldis asendada mahu V üldvalemiga:
V6=S6h=√3/2ha2
Seega, vaadeldava püramiidi ruumala arvutamiseks on vaja teada selle kahte lineaarset parameetrit: aluse külje pikkust ja kujundi kõrgust.
Näide probleemi lahendamisest
Näitame, kuidas saadud avaldist V6 saab kasutada järgmise ülesande lahendamiseks.
On teada, et korrapärase kuusnurkse püramiidi ruumala on 100 cm3. Vajalik on määrata aluse külg ja kujundi kõrgus, kui on teada, et need on üksteisega seotud järgmise võrdsusega:
a=2h
Kuna ruumala valemis on kaasatud ainult a ja h, saab selle asendada mis tahes neist parameetritest, väljendatuna teisega. Näiteks asendades a, saame:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Figuuri kõrguse väärtuse leidmiseks tuleb võtta mahust kolmanda astme juur, mis vastab pikkuse mõõtmele. Asendame ülesande lausest püramiidi mahu väärtuse V6, saame kõrguse:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Kuna aluse külg on vastav alt probleemi olukorrale leitud väärtusest kaks korda suurem, saame selle väärtuse:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
Kuusnurkse püramiidi ruumala on leitav mitte ainult kujundi kõrguse ja selle aluse külje väärtuse järgi. Selle arvutamiseks piisab püramiidi kahe erineva lineaarse parameetri teadmisest, näiteks apoteemist ja külgserva pikkusest.
