Sümboolne loogika on teadusharu, mis uurib õigeid arutlusvorme. See mängib olulist rolli filosoofias, matemaatikas ja arvutiteaduses. Nagu filosoofial ja matemaatikal, on ka loogikal iidsed juured. Varaseimad traktaadid õige arutluskäigu olemuse kohta kirjutati üle 2000 aasta tagasi. Mõned Vana-Kreeka kuulsaimad filosoofid kirjutasid kinnipidamise olemusest üle 2300 aasta tagasi. Vana-Hiina mõtlejad kirjutasid umbes samal ajal loogilistest paradoksidest. Kuigi selle juured ulatuvad kaugele tagasi, on loogika endiselt elav uurimisvaldkond.
Matemaatiline sümboolne loogika
Samuti tuleb osata mõista ja arutleda, mistõttu pöörati erilist tähelepanu loogilistele järeldustele, kui eriline aparatuur erinevate eluvaldkondade analüüsimiseks ja diagnoosimiseks puudus. Kaasaegne sümboolne loogika tekkis suure kreeka filosoofi ja kõigi aegade ühe mõjukama mõtleja Aristotelese (384–322 eKr) loomingust. Edasisi õnnestumisi oliKreeka stoikute filosoof Chrysippus, kes töötas välja selle, mida me praegu nimetame propositsiooniloogikaks, alused.
Matemaatiline või sümboolne loogika sai aktiivse arengu alles 19. sajandil. Ilmusid Boole'i, de Morgani, Schroederi teosed, milles teadlased algebrasid Aristotelese õpetusi, moodustades sellega propositsiooniarvutuse aluse. Sellele järgnes Frege ja Preece töö, kus võeti kasutusele muutujate ja kvantorite mõisted, mida hakati loogikas rakendama. Nii tekkis predikaatide arvutamine - väited subjekti kohta.
Loogika eeldas vaieldamatute faktide tõestamist, kui tõele polnud otsest kinnitust. Loogilised väljendid pidid veenma vestluspartnerit õigsuses.
Loogilised valemid ehitati matemaatilise tõestuse põhimõttel. Nii veensid nad vestluspartnereid täpsuses ja usaldusväärsuses.
Kuid kõik argumendid kirjutati sõnadega. Puudusid formaalsed mehhanismid, mis looks loogilise deduktsiooniarvutuse. Inimesed hakkasid kahtlema, kas teadlane peidab end matemaatiliste arvutuste taha, varjates nende taha oma oletuste absurdsust, sest igaüks võib esitada oma argumendid erinev alt.
Tähenduslikkuse sünd: kindel loogika matemaatikas kui tõe tõend
18. sajandi lõpupoole tekkis matemaatiline või sümboolne loogika teadusena, mis hõlmas järelduste õigsuse uurimist. Neil pidi olema loogiline lõpp ja seos. Aga kuidas seda tõestada olivõi põhjendada uurimisandmeid?
Suur saksa filosoof ja matemaatik Gottfried Leibniz oli üks esimesi, kes mõistis loogiliste argumentide vormistamise vajadust. See oli Leibnizi unistus: luua universaalne formaalne teaduskeel, mis taandaks kõik filosoofilised vaidlused lihtsaks arvutuseks, töötades selles keeles ümber arutluskäigu sellistes aruteludes. Matemaatiline või sümboolne loogika ilmus valemite kujul, mis hõlbustasid filosoofilistes küsimustes ülesandeid ja lahendusi. Jah, ja see teadusvaldkond muutus olulisemaks, sest siis sai mõttetust filosoofilisest jutust põhja, millele matemaatika ise toetub!
Meie ajal on traditsiooniline loogika sümboolne aristoteleslik, mis on lihtne ja tagasihoidlik. 19. sajandil seisis teadus silmitsi hulkade paradoksiga, mis tõi kaasa vastuolud nendes väga kuulsates Aristotelese loogiliste jadade lahendustes. See probleem tuli lahendada, sest teaduses ei saa olla isegi pealiskaudseid vigu.
Lewis Carrolli formaalsus – sümboolne loogika ja selle teisendamise sammud
Formaalne loogika on nüüd aine, mis on kursusel kaasas. Oma välimuse võlgneb see aga sümboolsele, algselt loodud. Sümboolne loogika on meetod loogiliste väljendite esitamiseks, kasutades tavakeele asemel sümboleid ja muutujaid. See välistab ebaselguse, mis kaasneb levinud keeltega, nagu vene keel, ja muudab asjad lihtsamaks.
On palju sümboolse loogika süsteeme, näiteks:
- Klassikaline propositsiooniline.
- Esimese järjekorra loogika.
- Modal.
Sümboolne loogika, nagu seda mõistab Lewis Carroll, peaks esitama esitatud küsimuse tõesed ja valed väited. Igal neist võivad olla eraldi märgid või need võivad välistada teatud märkide kasutamise. Siin on mõned näited väidetest, mis sulgevad järelduste loogilise ahela:
- Kõik inimesed, kes on minuga identsed, on olendid, kes eksisteerivad.
- Kõik kangelased, kes on identsed Batmaniga, on olendid, kes on olemas.
- Nii (kuna Batmanit ja mind ei nähtud kunagi samas kohas) on kõik minuga identsed inimesed Batmaniga identsed kangelased.
See ei ole kehtiv vormisüllogism, kuid see on sama struktuur kui järgmine:
- Kõik koerad on imetajad.
- Kõik kassid on imetajad.
- Sellepärast on kõik koerad kassid.
Peaks olema ilmne, et ül altoodud sümboolne vorm loogikas ei kehti. Loogikas aga defineerib õiglust see väljend: kui eeldus oleks tõene, siis oleks järeldus tõene. See pole ilmselgelt tõsi. Sama kehtib ka kangelase näite kohta, millel on sama kuju. Kehtivus kehtib ainult deduktiivsete argumentide kohta, mis on mõeldud nende järelduse kindluse tõestamiseks, kuna deduktiivne argument ei saa olla kehtiv. Neid "parandusi" rakendatakse ka statistikas andmevea tulemusel ja tänapäevane sümboolne loogika nagulihtsustatud andmete formaalsus aitab paljudes nendes küsimustes.
Induktsioon kaasaegses loogikas
Induktiivne argument on mõeldud ainult selle järelduse demonstreerimiseks suure tõenäosusega või ümberlükkamisega. Induktiivsed argumendid on kas tugevad või nõrgad.
Induktiivse argumendina on superkangelase Batmani näide lihts alt nõrk. Batmani olemasolu on kahtlane, seega on üks väidetest juba suure tõenäosusega vale. Kuigi te pole teda kunagi kellegi teisega samas kohas näinud, on naeruväärne seda väljendit tõendina võtta. Loogika olemuse mõistmiseks kujutage ette:
- Teid pole kunagi nähtud samas kohas, kus põliselanik Guinea.
- On ebausutav, et teie ja guinealane olete sama isik.
- Kujutage nüüd ette, et teie ja aafriklane pole kunagi samas kohas kohtunud. Ei ole usutav, et teie ja aafriklane olete sama isik. Kuid guinealaste ja aafriklaste teed ristusid, nii et te ei saa olla mõlemad korraga. Tõendid selle kohta, et olete aafriklane või guinealane, on oluliselt vähenenud.
Sellest vaatenurgast ei tähenda sümboolse loogika idee a priori seost matemaatikaga. Loogika sümbolina äratundmiseks on vaja vaid laialdast sümbolite kasutamist loogiliste toimingute esitamiseks.
Carrolli loogikateooria: põimumine või minimalism matemaatilises filosoofias
Carroll õppis ebatavalisi viisemis sundis teda lahendama üsna keerulisi kolleegide ees seisvaid probleeme. See takistas tal märkimisväärseid edusamme saavutamast loogilise märgistuse ja süsteemide keerukuse tõttu, mille ta oma töö tulemusena sai. Carrolli sümboolse loogika põhjus on kõrvaldamise probleem. Kuidas teha eelduste kogumi põhjal järeldus antud terminite vahelise seose kohta? "Keskterminite" kõrvaldamine.
Selle keskse loogikaprobleemi lahendamiseks leiutati üheksateistkümnenda sajandi keskel sümboolsed, skemaatilised ja isegi mehaanilised seadmed. Kuid Carrolli meetodid selliste "loogiliste jadade" (nagu ta neid nimetas) töötlemiseks ei andnud alati õiget lahendust. Hiljem avaldas filosoof kaks artiklit hüpoteeside kohta, mida kajastavad ajakirjas Mind: The Logical Paradox (1894) ja What the Tortoise Said to Achilles (1895).
Neid dokumente arutasid laialdaselt 19. ja 20. sajandi loogikud (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine jne). Esimest artiklit tsiteeritakse sageli kui head illustratsiooni materiaalsete implikatsioonide paradoksidest, samas kui teine viib järelduste paradoksina.
Sümbolite lihtsus loogikas
Loogika sümboolne keel asendab pikki mitmetähenduslikke lauseid. Mugav, sest vene keeles saab öelda sama asja erinevate asjaolude kohta, mis võimaldab segadusse sattuda, ja matemaatikas asendavad sümbolid iga tähenduse identiteeti.
- Esiteks on tõhususe jaoks oluline lühidus. Sümboolne loogika ei saa hakkama ilma märkide ja tähistusteta, muidu jääks see ainult filosoofiliseks, ilma õiguseta tõelisele tähendusele.
- Teiseks muudavad sümbolid loogiliste tõdede nägemise ja sõnastamise lihtsamaks. Üksused 1 ja 2 julgustavad loogiliste valemitega "algebralist" manipuleerimist.
- Kolmandaks, kui loogika väljendab loogilisi tõdesid, julgustab sümboolne sõnastus uurima loogika struktuuri. See on seotud eelmise punktiga. Seega sobib sümboolne loogika loogika matemaatiliseks uurimiseks, mis on matemaatilise loogika aine haru.
- Neljandaks, vastust korrates on sümbolite kasutamine abivahend tavakeele ebamäärasuse (nt mitmetähenduslikkuse) ärahoidmisel. Samuti aitab see tagada, et tähendus on kordumatu.
Lõpuks võimaldab loogika sümboolne keel kasutada Frege poolt kasutusele võetud predikaatarvutust. Aastate jooksul on predikaatarvutuse enda sümboolset tähistust viimistletud ja tõhusamaks muudetud, kuna hea tähistus on matemaatikas ja loogikas oluline.
Aristotelese antiigiontoloogia
Teadlased hakkasid mõtleja töö vastu huvi tundma, kui nad hakkasid oma tõlgendustes kasutama Slinini meetodeid. Raamat esitab klassikalise ja modaalse loogika teooriaid. Kontseptsiooni oluline osa oli propositsiooniloogika valemi taandamine CNF-iks sümboolses loogikas. Lühend tähendab muutujate konjunktsiooni või disjunktsiooni.
Slinin Ya. A. soovitas, et keerulised eitused, mis nõuavad valemite korduvat redutseerimist, peaksid muutuma alamvalemiks. Seega teisendas ta mõned väärtused minimaalseteks ja lahendas probleemid lühendatud versioonis. Töö eitustega taandus de Morgani valemitele. De Morgani nime kandvad seadused on seotud teoreemide paar, mis võimaldavad väiteid ja valemeid muuta alternatiivseteks ja sageli mugavamateks. Seadused on järgmised:
- Disjunktsiooni eitus (või ebaühtlus) võrdub alternatiivide eituse ühendusega – p või q ei võrdu p ja mitte q või sümboolselt ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- Konjunktsiooni eitus on võrdne algsete sidendite eituse disjunktsiooniga, st mitte (p ja q) ei võrdu mitte p või mitte q-ga või sümboolselt ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Tänu nendele algandmetele hakkasid paljud matemaatikud keeruliste loogiliste ülesannete lahendamiseks rakendama valemeid. Paljud teavad, et on olemas loengukursus, kus uuritakse funktsioonide ristumisala. Ja ka maatrikstõlgendus põhineb loogikavalemitel. Mis on loogika olemus algebralises ühenduses? See on lineaarne funktsioon, mille puhul saate arvuteaduse ja filosoofia samasse kaussi panna "hingetu" ja mittetuluva arutlusvaldkonnana. Kuigi E. Kant arvas teisiti, olles matemaatik ja filosoof. Ta märkis, et filosoofia pole midagi enne, kui pole tõestatud vastupidist. Ja tõendid peavad olema teaduslikult usaldusväärsed. Ja nii juhtuski, et tänu sellele hakkas filosoofial tähtsus olemavastavus arvude ja arvutuste tegelikule olemusele.
Loogika rakendamine teaduses ja reaalsuse materiaalses maailmas
Filosoofid ei rakenda tavaliselt loogilise arutluse teadust ainult mõne ambitsioonika kraadiõppe järgse projekti puhul (tavaliselt kõrge spetsialiseerumisastmega, näiteks sotsia alteaduste, psühholoogia või eetilise kategoriseerimise lisamine). On paradoksaalne, et filosoofiateadus "sünnitas" tõe ja vale arvutamise meetodi, kuid filosoofid ise seda ei kasuta. Kelle jaoks nii selgeid matemaatilisi süllogisme luuakse ja teisendatakse?
- Programmeerijad ja insenerid kasutasid sümboolset loogikat (mis ei erine niivõrd originaalist), et juurutada arvutiprogramme ja isegi kujundada tahvleid.
- Arvutite puhul on loogika muutunud piisav alt keeruliseks, et käsitleda arvukaid funktsioonikutseid, samuti edendada matemaatikat ja lahendada matemaatilisi probleeme. Suur osa sellest põhineb teadmistel matemaatiliste probleemide lahendamise ja tõenäosuse kohta koos kõrvaldamise, laiendamise ja taandatavuse loogiliste reeglitega.
- Arvutikeeltest ei saa lihts alt aru, et need töötaksid matemaatikateadmiste piires loogiliselt ja täidaksid isegi erifunktsioone. Tõenäoliselt on suur osa arvutikeelest patenteeritud või sellest saavad aru ainult arvutid. Programmeerijad lasevad nüüd sageli arvutitel teha loogikaülesandeid ja neid lahendada.
Selliste eelduste käigus eeldavad paljud teadlased kõrgtasemelise materjali loomist mitte teaduse, vaid selleks, etmeedia ja tehnoloogia kasutamise lihtsus. Võib-olla imbub loogika peagi majanduse, äri ja isegi "kahe näoga" kvanti, mis käitub nii aatomi kui lainena.
Kvantloogika kaasaegses matemaatilise analüüsi praktikas
Kvantloogika (QL) töötati välja katsena luua propositsiooniline struktuur, mis võimaldaks kirjeldada huvitavaid sündmusi kvantmehaanikas (QM). QL asendas Boole'i struktuuri, millest aatomivaldkonna esindamiseks ei piisanud, kuigi see sobib klassikalise füüsika diskursusesse.
Klassikaliste süsteemide propositsioonikeele matemaatiline struktuur on astmete kogum, mis on osaliselt järjestatud kaasamishulga järgi, tehtepaariga, mis esindavad liitu ja disjunktsiooni.
See algebra on kooskõlas nii klassikaliste kui ka relativistlike nähtuste diskursusega, kuid ei sobi kokku teooriaga, mis keelab näiteks anda samaaegseid tõeväärtusi. QL-i asutajate ettepanek loodi asendada klassikalise loogika Boole'i struktuur nõrgema struktuuriga, mis nõrgestaks konjunktsiooni ja disjunktsiooni jaotusomadusi.
Väljakujunenud sümboolse läbitungimise nõrgenemine: kas matemaatikas kui täppisteaduses on tõesti vaja tõde
Oma väljatöötamise käigus hakkas kvantloogika viitama mitte ainult traditsioonilistele, vaid ka mitmele kaasaegsele uurimisvaldkonnale, mis püüdsid mehaanikat mõista loogika vaatenurgast. Mitukvantkäsitlused, et tutvustada erinevaid kvantmehaanika kirjanduses käsitletud strateegiaid ja probleeme. Võimaluse korral kõrvaldatakse mittevajalikud valemid, et anda mõistetest intuitiivne arusaam enne seotud matemaatika omandamist või kasutuselevõttu.
Kvantmehaanika tõlgendamisel on püsiv küsimus, kas kvantmehaanika nähtustele on olemas põhimõtteliselt klassikalised seletused. Kvantloogika on mänginud suurt rolli selle arutelu kujundamisel ja viimistlemisel, eriti võimaldades meil olla üsna täpne selles, mida me klassikalise seletuse all mõtleme. Nüüd on võimalik täpselt kindlaks teha, milliseid teooriaid võib pidada usaldusväärseteks ja millised on matemaatiliste otsuste loogiline järeldus.
