Tavaline kuusnurkne püramiid. Mahu ja pinna valemid. Geomeetrilise ülesande lahendus

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Stereomeetria kui geomeetria haru ruumis uurib prismade, silindrite, koonuste, kuulide, püramiidide ja muude kolmemõõtmeliste kujundite omadusi. See artikkel on pühendatud kuusnurkse korrapärase püramiidi omaduste ja omaduste üksikasjalikule ülevaatele.

Millist püramiidi uuritakse

Regulaarne kuusnurkne püramiid on kujund ruumis, mis on piiratud ühe võrdkülgse ja võrdnurkse kuusnurga ning kuue identse võrdhaarse kolmnurgaga. Need kolmnurgad võivad teatud tingimustel olla ka võrdkülgsed. See püramiid on näidatud allpool.

Sama joonis on näidatud siin, ainult ühel juhul on see pööratud külgpinnaga lugeja poole ja teisel juhul külgservaga.

Tavalisel kuusnurksel püramiidil on 7 tahku, mida mainiti eespool. Sellel on ka 7 tippu ja 12 serva. Erinev alt prismadest on kõigil püramiididel üks spetsiaalne tipp, mis moodustub külgmiste lõikumispunktidest.kolmnurgad. Tavalise püramiidi jaoks mängib see olulist rolli, kuna sellest joonise põhjale langetatud risti on kõrgus. Lisaks tähistatakse kõrgust tähega h.

Kuvatud püramiidi nimetatakse õigeks kahel põhjusel:

• selle põhjas on kuusnurk võrdsete külgede pikkuste a ja võrdsete nurkadega 120o;
• Püramiidi h kõrgus lõikab kuusnurka täpselt selle keskpunktis (lõikepunkt asub kuusnurga kõikidest külgedest ja tippudest samal kaugusel).

Pinnaala

Regulaarse kuusnurkse püramiidi omadusi arvestatakse selle pindala määratlusest lähtudes. Selleks on esm alt kasulik kujund tasapinnal lahti voltida. Selle skemaatiline esitus on näidatud allpool.

On näha, et pühkimispind ja seega kogu vaadeldava joonise pind on võrdne kuue identse kolmnurga ja ühe kuusnurga pindalade summaga.

Kuusnurga pindala S_{6 määramiseks kasutage tavalise n-nurga universaalset valemit:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Kus a on kuusnurga külje pikkus.

Kolmnurga külgmise külje pindala S₃ on leitav, kui tead selle kõrguse väärtust h_b:

S₃=1/2h_ba.

Sest kõik kuuskolmnurgad on üksteisega võrdsed, siis saame tööavaldise õige alusega kuusnurkse püramiidi pindala määramiseks:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Püramiidi helitugevus

Just nagu pindala, on ka kuusnurkse korrapärase püramiidi ruumala selle oluline omadus. See maht arvutatakse kõigi püramiidide ja koonuste üldvalemiga. Paneme selle kirja:

V=1/3S_oh.

Siin on sümbol S_o kuusnurkse aluse pindala, st S_o=S _6.

Asendades ül altoodud avaldise S_{6 valemis V, saame lõpliku võrdsuse korrapärase kuusnurkse püramiidi ruumala määramiseks:}

V=√3/2a2h.

Näide geomeetrilisest ülesandest

Tavalise kuusnurkse püramiidi korral on külgserv kaks korda pikem kui aluskülg. Teades, et viimane on 7 cm, on vaja arvutada selle joonise pindala ja maht.

Nagu võite arvata, hõlmab selle ülesande lahendus ül altoodud avaldiste kasutamist S ja V jaoks. Sellegipoolest ei saa neid kohe kasutada, kuna me ei tea apoteemi ja korrapärase kuusnurkse püramiidi kõrgus. Arvutame need välja.

Apoteemi h_b saab määrata, võttes arvesse täisnurkset kolmnurka, mis on ehitatud külgedele b, a/2 ja h_{b. Siin b on külgserva pikkus. Kasutades probleemi tingimust, saame:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Püramiidi kõrgust h saab määrata täpselt samamoodi nagu apoteemi, kuid nüüd tuleks vaadelda kolmnurka külgedega h, b ja a, mis asuvad püramiidi sees. Kõrgus on:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

On näha, et arvutatud kõrguse väärtus on väiksem kui apoteemi väärtus, mis kehtib iga püramiidi puhul.

Nüüd saate kasutada helitugevuse ja pindala jaoks väljendeid:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48 cm^3.

Seega, et korrapärase kuusnurkse püramiidi tunnuseid üheselt määrata, peate teadma selle kahte lineaarset parameetrit.