Matemaatika pärineb antiikajast. Tänu temale andsid arhitektuur, ehitus ja sõjateadus uue arenguringi, matemaatika abil saavutatud saavutused viisid progressi liikumiseni. Tänaseni on matemaatika peamine teadus, mida leidub kõigis teistes harudes.
Hariduse saamiseks hakkavad lapsed alates esimesest klassist järk-järgult sellesse keskkonda sulanduma. Matemaatika mõistmine on väga oluline, kuna see ühel või teisel määral esineb igal inimesel kogu tema elu jooksul. See artikkel analüüsib üht põhielementi – tuletisinstrumentide leidmist ja rakendamist. Mitte igaüks ei suuda ette kujutada, kui lai alt seda mõistet kasutatakse. Mõelge rohkem kui 10 tuletise rakendusele teatud valdkondades või teadustes.
Tuletise rakendamine funktsiooni uurimisel
Tuletis on selline piirfunktsiooni juurdekasvu ja selle argumendi juurdekasvu suhe, kui argumendi astendaja kipub olema null. Tuletis on funktsiooni uurimisel asendamatu. Näiteks saab selle abil määrata viimase suurenemise ja vähenemise, ekstreemsuse, kumeruse ja nõgususe. Diferentsiaalarvutus sisaldub matemaatikaülikoolide 1. ja 2. kursuse üliõpilaste kohustuslikus õppekavas.
Ulatusala ja funktsioonide nullid
Graafi mis tahes uurimise esimene etapp algab määratluspiirkonna, harvematel juhtudel väärtuse väljaselgitamisega. Määratluspiirkond on seatud piki abstsisstellge, teisisõnu, need on arvväärtused OX-teljel. Sageli on ulatus juba määratud, kuid kui see pole nii, siis tuleks hinnata argumendi x väärtust. Oletame, et kui mõne argumendi väärtuse puhul pole funktsioonil mõtet, jäetakse see argument ulatusest välja.
Funktsiooni nullkohad leitakse lihtsal viisil: funktsioon f(x) tuleb võrdsustada nulliga ja saadud võrrand lahendada ühe muutuja x suhtes. Saadud võrrandi juurteks on funktsiooni nullid, st nendes x on funktsioon 0.
Suurenda ja vähenda
Tuletise kasutamist monotoonsuse funktsioonide uurimiseks võib vaadelda kahest küljest. Monotoonne funktsioon on kategooria, millel on ainult tuletise positiivsed väärtused või ainult negatiivsed väärtused. Lihtsam alt öeldes funktsioon ainult suureneb või väheneb kogu uuritava intervalli jooksul:
- Suurenda parameetrit. Funktsioonf(x) suureneb, kui f`(x) tuletis on suurem kui null.
- Kahanev parameeter. Funktsioon f(x) väheneb, kui f`(x) tuletis on väiksem kui null.
Puutaja ja kalle
Tuletise rakendamise funktsiooni uurimisel määrab ka funktsiooni graafiku puutuja (nurga alla suunatud sirge) antud punktis. Puutuja punktis (x0) – sirge, mis läbib punkti ja kuulub funktsiooni, mille koordinaadid on (x0, f(x 0 )) ja kalle f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - funktsiooni graafiku antud punkti puutuja võrrand.
Tuletise geomeetriline tähendus: funktsiooni f(x) tuletis võrdub selle funktsiooni graafiku moodustatud puutuja kaldega antud punktis x. Nurgakoefitsient on omakorda võrdne OX-telje puutuja (abstsiss) kaldenurga puutujaga positiivses suunas. See tagajärg on funktsiooni graafikule tuletise rakendamisel põhiline.
Ekstreemsed punktid
Uuringule tuletise rakendamine hõlmab kõrgete ja madalate punktide leidmist.
Minimaalse ja maksimaalse punkti leidmiseks ja määramiseks peate:
- Leia funktsiooni f(x) tuletis.
- Määrake saadud võrrand nulliks.
- Leidke võrrandi juured.
- Leidke kõrged ja madalad punktid.
Et leida äärmusiomadused:
- Leidke ül altoodud meetodi abil miinimum- ja maksimumpunktid.
- Asendage need punktid algsesse võrrandisse ja arvutage ymax ja ymin
Funktsiooni maksimumpunkt on funktsiooni f(x) suurim väärtus intervallil, teisisõnu xmax.
Funktsiooni miinimumpunkt on funktsiooni f(x) väikseim väärtus intervallil, teisisõnu xname
Ekstreemumipunktid on samad, mis funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktid ning ekstreemum (ymax. ja yminimaalne) - funktsiooni väärtused, mis vastavad äärmuspunktidele.
Kumerus ja nõgusus
Saate määrata kumeruse ja nõgususe, kasutades joonistamisel tuletist:
- Väljal (a, b) uuritud funktsioon f(x) on nõgus, kui funktsioon asub selle intervalli kõigi puutujate all.
- Väljal (a, b) uuritud funktsioon f(x) on kumer, kui funktsioon asub selle intervalli sees kõigi puutujate kohal.
Punkti, mis eraldab kumerust ja nõgusust, nimetatakse funktsiooni käändepunktiks.
Käändepunktide leidmiseks:
- Leidke teist tüüpi kriitilised punktid (teine tuletis).
- Käändepunktid on need kriitilised punktid, mis eraldavad kaks vastandlikku märki.
- Arvutage funktsiooni väärtused funktsiooni käändepunktides.
Osalised tuletisväärtpaberid
Rakendusseda tüüpi tuletised on olemas ülesannetes, kus kasutatakse rohkem kui ühte tundmatut muutujat. Kõige sagedamini kohtab selliseid tuletisi funktsioonigraafiku, täpsem alt pindade ruumis joonistamisel, kus kahe telje asemel on kolm, seega kolm suurust (kaks muutujat ja üks konstant).
Põhireegel osatuletisi arvutamisel on valida üks muutuja ja käsitleda ülejäänud konstantidena. Seetõttu muutub konstant osatuletise arvutamisel justkui arvväärtuseks (paljudes tuletise tabelites on need tähistatud kui C=const). Sellise tuletise tähendus on funktsiooni z=f(x, y) muutumise kiirus piki OX ja OY telge ehk iseloomustab konstrueeritava pinna süvendite ja kühmude järsust.
Füüsika tuletis
Tuletise kasutamine füüsikas on lai alt levinud ja oluline. Füüsiline tähendus: tee tuletis aja suhtes on kiirus ja kiirendus on kiiruse tuletis aja suhtes. Füüsikalisest tähendusest võib paljusid harusid tõmmata erinevate füüsikaharude juurde, säilitades seejuures tuletise tähenduse täielikult.
Tuletise abil leitakse järgmised väärtused:
- Kiirus kinemaatikas, kus arvutatakse läbitud vahemaa tuletis. Kui leitakse tee teine tuletis või kiiruse esimene tuletis, siis leitakse keha kiirendus. Lisaks on võimalik leida ainelise punkti hetkekiirus, kuid selleks on vaja teada juurdekasvu ∆t ja ∆r.
- Elektrodünaamikas:vahelduvvoolu hetketugevuse, samuti elektromagnetilise induktsiooni EMF arvutamine. Arvutades tuletise, saate leida maksimaalse võimsuse. Elektrilaengu suuruse tuletis on voolutugevus juhis.
Keemia ja bioloogia tuletis
Keemia: tuletist kasutatakse keemilise reaktsiooni kiiruse määramiseks. Tuletise keemiline tähendus: funktsioon p=p(t), antud juhul p on aine hulk, mis astub keemilisesse reaktsiooni aja t jooksul. ∆t - aja juurdekasv, ∆p - aine koguse juurdekasv. ∆p ja ∆t suhte piiri, mille juures ∆t kipub olema null, nimetatakse keemilise reaktsiooni kiiruseks. Keemilise reaktsiooni keskmine väärtus on suhe ∆p/∆t. Kiiruse määramisel on vaja täpselt teada kõiki vajalikke parameetreid, tingimusi, teada aine ja voolukeskkonna agregatsiooni olekut. See on keemias üsna suur aspekt, mida kasutatakse laialdaselt erinevates tööstusharudes ja inimtegevuses.
Bioloogia: tuletise mõistet kasutatakse keskmise paljunemiskiiruse arvutamiseks. Bioloogiline tähendus: meil on funktsioon y=x(t). ∆t - aja juurdekasv. Seejärel saame mõne teisenduse abil funktsiooni y`=P(t)=x`(t) - aja t populatsiooni elutegevus (keskmine taastootmiskiirus). Selline tuletise kasutamine võimaldab teil pidada statistikat, jälgida paljunemiskiirust ja nii edasi.
Geograafia ja majanduse tuletis
Tuletis võimaldab geograafidel otsustadaülesanded nagu populatsiooni leidmine, seismograafia väärtuste arvutamine, tuumageofüüsikaliste indikaatorite radioaktiivsuse arvutamine, interpolatsiooni arvutamine.
Majandusteaduses on arvutuste oluline osa diferentsiaalarvutus ja tuletise arvutamine. Esiteks võimaldab see määrata vajalike majanduslike väärtuste piirid. Näiteks kõrgeim ja madalaim tööviljakus, kulud, kasumid. Põhimõtteliselt arvutatakse need väärtused funktsioonigraafikute põhjal, kus nad leiavad äärmused, määravad funktsiooni monotoonsuse soovitud piirkonnas.
Järeldus
Selle diferentsiaalarvutuse roll on, nagu artiklis märgitud, seotud erinevates teaduslikes struktuurides. Tuletisfunktsioonide kasutamine on oluline element teaduse ja tootmise praktilises osas. Pole asjata, et meid õpetati keskkoolis ja ülikoolis koostama keerulisi graafikuid, uurima funktsioone ja töötama nende kallal. Nagu näete, oleks ilma tuletisinstrumentide ja diferentsiaalarvutusteta elutähtsate näitajate ja suuruste arvutamine võimatu. Inimkond on õppinud erinevaid protsesse modelleerima ja neid uurima, keerulisi matemaatilisi probleeme lahendama. Tõepoolest, matemaatika on kõigi teaduste kuninganna, sest see teadus on kõigi teiste loodus- ja tehnikadistsipliinide aluseks.
