Matemaatilisi ülesandeid kasutatakse paljudes teadustes. Nende hulka ei kuulu mitte ainult füüsika, keemia, tehnika ja majandus, vaid ka meditsiin, ökoloogia ja muud erialad. Üks oluline mõiste, mida tuleb omandada, et leida lahendusi olulistele dilemmadele, on funktsiooni tuletis. Selle füüsilist tähendust pole sugugi nii raske seletada, kui asja sisuliselt asjatundmatule võib tunduda. Piisab sellest, kui leiad selle kohta sobivad näited päriselus ja tavalistes igapäevastes olukordades. Tegelikult tuleb iga autojuht sarnase ülesandega toime iga päev, kui ta vaatab spidomeetrit, määrates oma auto kiiruse kindlal kindlal hetkel. Lõppude lõpuks peitub tuletise füüsilise tähenduse olemus selles parameetris.
Kuidas leida kiirust
Määrake teel oleva inimese kiirus, teades läbitud vahemaad ja sõiduaega, saab iga viienda klassi õpilane hõlpsasti kindlaks teha. Selleks jagatakse esimene antud väärtustest teisega. Agamitte iga noor matemaatik ei tea, et ta otsib praegu funktsiooni ja argumendi juurdekasvu suhet. Tõepoolest, kui kujutame ette liikumist graafiku kujul, joonistades tee piki y-telge ja aega piki abstsissit, on see täpselt selline.
Küll aga võib jalakäija või mõne muu objekti kiirus, mille me suurel teelõigul, arvestades liikumist ühtlaseks, määrame, võib muutuda. Füüsikas on palju liikumisvorme. Seda saab sooritada mitte ainult pideva kiirendusega, vaid suvaliselt aeglustada ja suurendada. Tuleb märkida, et sel juhul ei ole liikumist kirjeldav joon enam sirge. Graafiliselt võib see võtta kõige keerukamaid konfiguratsioone. Kuid graafiku mis tahes punkti jaoks saame alati joonistada puutuja, mida esindab lineaarfunktsioon.
Ajast sõltuva nihke muutumise parameetri selgitamiseks on vaja mõõdetud segmente lühendada. Kui need muutuvad lõpmatult väikeseks, on arvutatud kiirus hetkeline. See kogemus aitab meil tuletist määratleda. Sellisest arutluskäigust tuleneb loogiliselt ka selle füüsiline tähendus.
Geomeetria osas
On teada, et mida suurem on keha kiirus, seda järsem on nihke ajast sõltuvuse graafik ja sellest tulenev alt ka graafiku puutuja kaldenurk teatud punktis. Selliste muutuste indikaator võib olla x-telje ja puutuja vahelise nurga puutuja. See määrab lihts alt tuletise väärtuse ja arvutatakse pikkuste suhte järgiTäisnurkse kolmnurga külgneva jala vastas, mille moodustab mingist punktist x-teljele langenud risti.
See on esimese tuletise geomeetriline tähendus. Füüsiline avaldub selles, et vastasjala väärtus on meie puhul läbitud vahemaa ja kõrvaljala väärtus aeg. Nende suhe on kiirus. Ja jälle jõuame järeldusele, et hetkekiirus, mis määratakse siis, kui mõlemad lüngad kipuvad lõpmatult väikeseks jääma, on tuletise mõiste olemus, mis näitab selle füüsilist tähendust. Teine tuletis selles näites on keha kiirendus, mis omakorda näitab kiiruse muutumise kiirust.
Näited tuletiste leidmise kohta füüsikas
Tuletis on mis tahes funktsiooni muutumiskiiruse näitaja, isegi kui me ei räägi liikumisest selle sõna otseses tähenduses. Selle selgeks demonstreerimiseks toome mõned konkreetsed näited. Oletame, et voolutugevus, olenev alt ajast, muutub vastav alt järgmisele seadusele: I=0, 4t2. On vaja leida selle parameetri muutumise kiiruse väärtus protsessi 8. sekundi lõpus. Pange tähele, et soovitud väärtus ise, nagu võib võrrandi põhjal otsustada, kasvab pidev alt.
Selle lahendamiseks tuleb leida esimene tuletis, mille füüsikalist tähendust käsitleti varem. Siin dI / dt=0,8 t. Järgmisena leiame selle t \u003d 8 juures, saame, et voolutugevuse muutumise kiirus on 6,4 A / c. Siin peetakse sedavoolu mõõdetakse amprites ja aega vastav alt sekundites.
Kõik muutub
Nähtav ümbritsev, ainest koosnev maailm on pidevas muutumises, olles selles toimuvate erinevate protsesside liikumises. Nende kirjeldamiseks saab kasutada mitmesuguseid parameetreid. Kui neid ühendab sõltuvus, siis on nad matemaatiliselt kirjutatud funktsioonina, mis näitab selgelt nende muutusi. Ja seal, kus on liikumine (ükskõik millisel kujul see väljendub), eksisteerib ka tuletis, mille füüsikalist tähendust me praegu kaalume.
Sel korral järgmine näide. Oletame, et kehatemperatuur muutub vastav alt seadusele T=0, 2 t 2. Selle kuumenemise kiiruse peaksite leidma 10. sekundi lõpus. Probleem lahendatakse sarnaselt eelmisel juhul kirjeldatule. See tähendab, et leiame tuletise ja asendame sellega väärtuse t \u003d 10, saame T \u003d 0, 4 t \u003d 4. See tähendab, et lõplik vastus on 4 kraadi sekundis, see tähendab kuumutamisprotsess ja temperatuurimuutus, mõõdetuna kraadides, toimub täpselt sellise kiirusega.
Praktiliste probleemide lahendamine
Muidugi, päriselus on kõik palju keerulisem kui teoreetilistes ülesannetes. Praktikas määratakse suuruste väärtus tavaliselt katse käigus. Sel juhul kasutatakse instrumente, mis annavad mõõtmiste ajal näidud teatud veaga. Seetõttu tuleb arvutustes tegeleda parameetrite ligikaudsete väärtustega ja kasutada ebamugavate arvude ümardamist,samuti muid lihtsustusi. Olles seda arvesse võtnud, jätkame taas tuletise füüsikalise tähenduse probleemidega, kuna need on vaid omamoodi matemaatilised mudelid kõige keerulisematest looduses toimuvatest protsessidest.
Vulkaanipurse
Kujutame ette, et vulkaan purskab. Kui ohtlik ta võib olla? Sellele küsimusele vastamiseks tuleb arvestada paljude teguritega. Püüame ühe neist majutada.
Tulise koletise suudmest paisatakse kive vertikaalselt ülespoole, algkiirusega alates nende väljumise hetkest väljapoole 120 m/s. Tuleb välja arvutada, millise kõrguseni nad võivad jõuda.
Soovitud väärtuse leidmiseks koostame võrrandi meetrites mõõdetud kõrguse H sõltuvuse kohta muudest väärtustest. Nende hulka kuuluvad algkiirus ja aeg. Kiirenduse väärtus loetakse teadaolevaks ja ligikaudu võrdne 10 m/s2.
Osaline tuletis
Nüüd vaatleme funktsiooni tuletise füüsilist tähendust veidi teise nurga alt, sest võrrand ise võib sisaldada mitte ühte, vaid mitut muutujat. Näiteks eelmises ülesandes määrati vulkaani tuulutusavast välja paiskunud kivide kõrguse sõltuvus mitte ainult ajakarakteristikute muutumisest, vaid ka algkiiruse väärtusest. Viimast peeti püsivaks fikseeritud väärtuseks. Kuid teistes täiesti erinevate tingimustega ülesannetes võib kõik olla teisiti. Kui kogused, millel kompleksfunktsioon, mitu, arvutused tehakse allolevate valemite järgi.
Sagedase tuletise füüsiline tähendus tuleks kindlaks määrata nagu tavaliselt. See on kiirus, millega funktsioon muutub teatud punktis muutuja parameetri kasvades. See arvutatakse nii, et kõik muud komponendid võetakse konstantidena, muutujaks loetakse ainult ühte. Siis toimub kõik tavapäraste reeglite järgi.
Asendamatu nõustaja paljudes küsimustes
Tuletise füüsikalisest tähendusest aru saades ei ole raske tuua näiteid keeruliste ja keeruliste probleemide lahendamisest, millele selliste teadmistega vastuse saab. Kui meil on funktsioon, mis kirjeldab kütusekulu sõltuv alt auto kiirusest, saame arvutada, milliste viimase parameetrite juures on bensiinikulu kõige väiksem.
Meditsiinis saab ennustada, kuidas inimorganism reageerib arsti määratud ravimile. Ravimi võtmine mõjutab mitmesuguseid füsioloogilisi parameetreid. Nende hulka kuuluvad vererõhu, südame löögisageduse, kehatemperatuuri jm muutused. Kõik need sõltuvad võetud ravimi annusest. Need arvutused aitavad ennustada ravi kulgu nii soodsate ilmingute kui ka soovimatute õnnetuste korral, mis võivad surmav alt mõjutada muutusi patsiendi kehas.
Kahtlemata on oluline mõista tuletise füüsilist tähendust tehnilisesprobleeme, eelkõige elektrotehnika, elektroonika, projekteerimise ja ehituse vallas.
Pidurdusteekond
Mõtleme järgmise probleemi üle. Püsikiirusel liikudes pidi sillale lähenev auto 10 sekundit enne sissesõitu hoo maha võtma, kuna juht märkas liiklusmärki, mis keelas liikumiskiirusel üle 36 km/h. Kas juht rikkus reegleid, kui pidurdusteekonda saab kirjeldada valemiga S=26t - t2?
Esimese tuletise arvutamisel leiame kiiruse valemi, saame v=28 – 2t. Järgmisena asendage väärtus t=10 määratud avaldisega.
Kuna seda väärtust väljendati sekundites, on kiirus 8 m/s, mis tähendab 28,8 km/h. See võimaldab aru saada, et juht alustas õigel ajal hoo mahavõtmist ega rikkunud liikluseeskirju ning sellest ka kiirusmärgil märgitud piirnormi.
See tõestab tuletise füüsilise tähenduse tähtsust. Selle probleemi lahendamise näide näitab selle kontseptsiooni kasutamise ulatust erinevates eluvaldkondades. Ka igapäevastes olukordades.
Tuletisinstrument majandusteaduses
Kuni 19. sajandini tegutsesid majandusteadlased enamasti keskmiste näitajate alusel, olgu selleks siis tööviljakus või toodangu hind. Kuid mõnest hetkest alates muutusid piirväärtused selles valdkonnas tõhusate prognooside tegemiseks vajalikumaks. Nende hulka kuuluvad piirkasulikkus, sissetulek või kulu. Selle mõistmine andis tõuke majandusuuringutes täiesti uue tööriista loomisele,mis on eksisteerinud ja arenenud enam kui sada aastat.
Selliste arvutuste tegemiseks, kus domineerivad sellised mõisted nagu miinimum ja maksimum, on lihts alt vaja mõista tuletise geomeetrilist ja füüsikalist tähendust. Nende distsipliinide teoreetilise baasi loojatest võib nimetada selliseid silmapaistvaid Inglise ja Austria majandusteadlasi nagu USA Jevons, K. Menger jt. Loomulikult ei ole majandusarvutustes piirväärtusi alati mugav kasutada. Ja näiteks kvartaliaruanded ei pruugi sobida olemasolevasse skeemi, kuid siiski on sellise teooria rakendamine paljudel juhtudel kasulik ja tõhus.
