Maatriksid ja determinandid avastati 18. ja 19. sajandil. Algselt puudutas nende väljatöötamine geomeetriliste objektide teisendamist ja lineaarvõrrandisüsteemide lahendamist. Ajalooliselt oli varane rõhk determinandil. Kaasaegsete lineaaralgebra töötlusmeetodite puhul võetakse esm alt arvesse maatrikseid. Selle küsimuse üle tasub veidi mõtiskleda.
Vastused sellelt teadmistevaldkonn alt
Maatriksid pakuvad teoreetiliselt ja praktiliselt kasulikku viisi paljude probleemide lahendamiseks, näiteks:
- lineaarvõrrandisüsteemid;
- tahkiste tasakaal (füüsikas);
- graafikuteooria;
- Leontiefi majandusmudel;
- metsandus;
- arvutigraafika ja tomograafia;
- geneetika;
- krüptograafia;
- elektrivõrgud;
- fraktal.
Tegelikult on "mannekeenide" maatriksalgebral lihtsustatud määratlus. Seda väljendatakse järgmiselt: see on teaduslik teadmiste valdkond, milleskõnealuseid väärtusi uuritakse, analüüsitakse ja uuritakse täielikult. Selles algebra osas uuritakse erinevaid tehteid uuritavate maatriksitega.
Kuidas maatriksitega töötada
Neid väärtusi peetakse võrdseteks, kui neil on samad mõõtmed ja ühe iga element on võrdne teise vastava elemendiga. Maatriksit on võimalik korrutada mis tahes konstandiga. Seda nimetatakse skalaarkorrutamiseks. Näide: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Sisenditega saab liita ja lahutada sama suurusega maatrikseid ning ühilduvate suuruste väärtusi saab korrutada. Näide: lisage kaks A ja B: A=[21–10]B=[1423]. See on võimalik, kuna A ja B on mõlemad maatriksid, millel on kaks rida ja sama arv veerge. Iga element A-s on vaja lisada vastavale elemendile B-s: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Maatriksid lahutatakse algebras samal viisil.
Maatrikskorrutamine toimib veidi teisiti. Pealegi võib olla palju juhtumeid ja võimalusi, aga ka lahendusi. Kui korrutada maatriks Apq ja Bmn, siis korrutis Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Kirje AB g-ndas ja h-ndas veerus on g A ja h B vastavate kirjete korrutise summa. Kahe maatriksi korrutamine on võimalik ainult siis, kui esimeses on veergude arv ja teises ridade arv. on võrdsed. Näide: täitke vaadeldava A ja B tingimus: A=[1–130]B=[2–11214]. See on võimalik, kuna esimene maatriks sisaldab 2 veergu ja teine 2 rida. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Põhiteave maatriksite kohta
Kõnealused väärtused korraldavad teavet, nagu muutujad ja konstandid, ning salvestavad need ridadesse ja veergudesse, mida tavaliselt nimetatakse C-ks. Maatriksi iga positsiooni nimetatakse elemendiks. Näide: C=[1234]. Koosneb kahest reast ja kahest veerust. Element 4 on reas 2 ja veerus 2. Tavaliselt saab maatriksile nime anda selle mõõtmete järgi, maatriksis nimega Cmk on m rida ja k veergu.
Laiendatud maatriksid
Kaalutlused on uskumatult kasulikud asjad, mis tulevad esile paljudes erinevates rakendusvaldkondades. Maatriksid põhinesid algselt lineaarvõrrandisüsteemidel. Arvestades järgmist ebavõrdsuse struktuuri, tuleb arvesse võtta järgmist täiendatud maatriksit:
2x + 3 a – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Kirjutage üles koefitsiendid ja vastuse väärtused, sealhulgas kõik miinusmärgid. Kui element on negatiivse arvuga, võrdub see "1". See tähendab, et (lineaarsete) võrrandite süsteemi korral on võimalik sellega seostada maatriksit (sulgudes olevate numbrite võrgustik). See on see, mis sisaldab ainult lineaarse süsteemi koefitsiente. Seda nimetatakse "laiendatud maatriksiks". Iga võrrandi vasaku poole koefitsiente sisaldav ruudustik on "polsterdatud" vastustega iga võrrandi parem alt küljelt.
Rekordid, see tähendabmaatriksi B väärtused vastavad algsüsteemi x-, y- ja z-väärtustele. Kui see on korralikult korraldatud, siis kõigepe alt kontrollige seda. Mõnikord peate uuritavas või uuritavas maatriksis termineid ümber korraldama või sisestama nullid kohahoidjatena.
Arvestades järgmist võrrandisüsteemi, saame kohe kirjutada seotud liitmaatriksi:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Esm alt korraldage süsteem kindlasti ümber järgmiselt:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Seejärel on võimalik seostatud maatriks kirjutada järgmiselt: [11000113-1012]. Laiendatud ühe moodustamisel tasub kasutada nulli iga kirje puhul, kus vastav koht lineaarvõrrandisüsteemis on tühi.
Maatriksalgebra: Tehte omadused
Kui elemente on vaja moodustada ainult koefitsiendi väärtustest, näeb vaadeldav väärtus välja järgmine: [110011-101]. Seda nimetatakse "koefitsiendi maatriksiks".
Võttes arvesse järgmist laiendatud maatriksalgebrat, on vaja seda täiustada ja lisada sellega seotud lineaarsüsteem. Sellegipoolest on oluline meeles pidada, et need nõuavad, et muutujad oleksid hästi korraldatud ja korras. Ja tavaliselt, kui on kolm muutujat, kasutage x, y ja z selles järjekorras. Seetõttu peaks seotud lineaarne süsteem olema:
x + 3a=4
2a – z=5
3x + z=-2.
Maatriksi suurus
Kõnealustele üksustele viitab sageli nende jõudlus. Maatriksi suurus algebras on antud kujulmõõtmised, kuna ruumi saab nimetada erinev alt. Mõõdetud väärtuste mõõdud on read ja veerud, mitte laius ja pikkus. Näiteks maatriks A:
[1234]
[2345]
[3456].
Kuna A-l on kolm rida ja neli veergu, on A suurus 3 × 4.
→
↓
Jooned lähevad külgsuunas. Veerud käivad üles ja alla. "Rida" ja "veerg" on spetsifikatsioonid ja neid ei saa omavahel asendada. Maatriksi suurused määratakse alati ridade arvu ja seejärel veergude arvuga. Selle kokkuleppe järgi on järgmine B:
[123]
[234] on 2 × 3. Kui maatriksil on sama arv ridu kui veergudel, siis nimetatakse seda "ruuduks". Näiteks koefitsientide väärtused ül alt:
[110]
[011]
[-101] on 3 × 3 ruutmaatriks.
Maatriksi märkimine ja vormindamine
Märkus vormindamise kohta. Näiteks kui teil on vaja kirjutada maatriksit, on oluline kasutada sulgusid . Absoluutväärtuse ribasid || ei kasutata, kuna neil on selles kontekstis erinev suund. Sulgusid ega lokkis sulgusid {} ei kasutata kunagi. Või mõni muu rühmitussümbol või üldse mitte, kuna neil esitlustel pole mingit tähendust. Algebras on maatriks alati nurksulgudes. Kasutada tuleb ainult õigeid märgendeid, vastasel juhul võidakse vastuseid pidada moonutatud.
Nagu varem mainitud, nimetatakse maatriksis sisalduvaid väärtusi kirjeteks. Mingil põhjusel on kõnealused elemendid tavaliselt kirjutatudsuured tähed, nagu A või B, ja kirjed määratakse vastavate väiketähtede abil, kuid koos alaindeksitega. Maatriksis A nimetatakse väärtusi tavaliselt "ai, j", kus i on A rida ja j on A veerg. Näiteks a3, 2=8. Kirje a1, 3 jaoks on 3.
Väiksemate maatriksite puhul, kus on vähem kui kümme rida ja veergu, jäetakse alamindeksi koma mõnikord välja. Näiteks "a1, 3=3" võib kirjutada kui "a13=3". Ilmselgelt see suurte maatriksite puhul ei tööta, kuna a213 jääb ebaselgeks.
Maatriksitüübid
Mõnikord klassifitseeritakse vastav alt nende kirjekonfiguratsioonidele. Näiteks sellist maatriksit, millel on kõik nullid allpool diagonaali ülev alt-vasak- alt-parem "diagonaal", nimetatakse ülemiseks kolmnurgaks. Muuhulgas võib olla ka teisi liike ja tüüpe, kuid need pole eriti kasulikud. Üldiselt tajutakse seda enamasti ülemise kolmnurksena. Väärtusi, mille eksponendid on nullist erinevad, ainult horisontaalselt, nimetatakse diagonaalväärtusteks. Sarnastel tüüpidel on nullist erinevad kirjed, milles kõik on 1, selliseid vastuseid nimetatakse identseteks (põhjustel, mis selguvad siis, kui kõnealuste väärtuste korrutamine on selgeks saanud ja mõistetav). Sarnaseid uurimisnäitajaid on palju. 3 × 3 identiteeti tähistatakse I3-ga. Samamoodi on 4 × 4 identiteet I4.
Maatriksalgebra ja lineaarruumid
Pange tähele, et kolmnurksed maatriksid on ruudukujulised. Kuid diagonaalid on kolmnurksed. Seda silmas pidades nad onruut. Ja identiteete peetakse diagonaalideks ja seetõttu kolmnurkseteks ja ruudukujulisteks. Kui on vaja maatriksit kirjeldada, määratakse tavaliselt lihts alt enda kõige spetsiifilisem klassifikatsioon, kuna see hõlmab kõiki teisi. Liigitage järgmised uurimisvõimalused:kui 3 × 4. Sel juhul ei ole need ruudukujulised. Seetõttu ei saa väärtused olla midagi muud. Järgmine klassifikatsioon:on võimalik kui 3 × 3. Kuid seda peetakse ruuduks ja selles pole midagi erilist. Järgmiste andmete klassifikatsioon:3 × 3 ülemise kolmnurgana, kuid see ei ole diagonaalne. Tõsi, vaadeldavates väärtustes võivad paikneva ja näidatud ruumi kohal või kohal olla täiendavad nullid. Uuritav klassifikatsioon on järgmine: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], kus see on kujutatud diagonaalina ja pealegi on kõik kirjed 1. Siis on see 3 × 3 identiteet, I3.
Kuna analoogsed maatriksid on definitsiooni järgi ruudukujulised, peate nende mõõtmete leidmiseks kasutama ainult ühte indeksit. Selleks, et kaks maatriksit oleksid võrdsed, peavad neil olema samad parameetrid ja samad kirjed samades kohtades. Oletame näiteks, et vaatluse all on kaks elementi: A=[1 3 0] [-2 0 0] ja B=[1 3] [-2 0]. Need väärtused ei saa olla samad, kuna need on erineva suurusega.
Isegi kui A ja B on: A=[3 6] [2 5] [1 4] ja B=[1 2 3] [4 5 6] – need pole ikka samad sama asi. A ja B on mõlemalkuus kirjet ja neil on ka samad numbrid, kuid maatriksite jaoks sellest ei piisa. A on 3 × 2. Ja B on 2 × 3 maatriks. A 3 × 2 jaoks ei ole 2 × 3. Pole tähtis, kas A-l ja B-l on sama hulk andmeid või isegi samad numbrid kui kirjetel. Kui A ja B ei ole sama suuruse ja kujuga, kuid neil on sarnastes kohtades identsed väärtused, ei ole need võrdsed.
Sarnased toimingud vaadeldavas piirkonnas
Seda maatriksvõrdsuse omadust saab muuta iseseisvate uuringute ülesanneteks. Näiteks antakse kaks maatriksit ja näidatakse, et need on võrdsed. Sel juhul peate kasutama seda võrdsust muutujate väärtuste uurimiseks ja neile vastuste saamiseks.
Algebra maatriksite näiteid ja lahendusi saab varieerida, eriti kui tegemist on võrdustega. Arvestades, et vaadeldakse järgmisi maatrikseid, on vaja leida x ja y väärtused. Et A ja B oleksid võrdsed, peavad need olema sama suuruse ja kujuga. Tegelikult on nad sellised, sest igaüks neist on 2 × 2 maatriksit. Ja neil peaks olema samades kohtades samad väärtused. Siis peavad a1, 1 võrduma b1, 1, a1, 2 peavad võrduma b1, 2 ja nii edasi. neid). Kuid a1, 1=1 ei ole ilmselgelt võrdne b1-ga, 1=x. Et A oleks identne B-ga, peab kirjes olema a1, 1=b1, 1, seega võib see olla 1=x. Samamoodi indeksid a2, 2=b2, 2, seega 4=y. Siis on lahendus: x=1, y=4. Arvestades, et järgminemaatriksid on võrdsed, peate leidma x, y ja z väärtused. Et A=B oleks, peavad koefitsientide kõik kirjed olema võrdsed. See tähendab, et a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 ja nii edasi. Eelkõige peab:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Nagu näete valitud maatriksitest: 1, 1-, 2, 2- ja 3, 1-elemendiga. Neid kolme võrrandit lahendades saame vastuse: x=4, y=-6 ja z=9. Maatriksalgebra ja maatrikstehted erinevad sellest, millega kõik on harjunud, kuid need ei ole reprodutseeritavad.
Lisainfo selles valdkonnas
Lineaarmaatriksalgebra on sarnaste võrrandikogumite ja nende teisendusomaduste uurimine. See teadmistevaldkond võimaldab analüüsida pöörlemisi ruumis, ligikaudselt arvutada vähimruutusid, lahendada nendega seotud diferentsiaalvõrrandeid, määrata kolme etteantud punkti läbivat ringjoont ja lahendada palju muid matemaatika, füüsika ja tehnoloogia ülesandeid. Maatriksi lineaaralgebra ei ole tegelikult kasutatud sõna tehniline tähendus, st vektorruum v üle välja f jne.
Maatriks ja determinant on äärmiselt kasulikud lineaaralgebra tööriistad. Üks keskseid ülesandeid on maatriksvõrrandi Ax=b lahendamine x jaoks. Kuigi teoreetiliselt saab seda lahendada pöördväärtusega x=A-1 b. Teised meetodid, nagu Gaussi eliminatsioon, on arvuliselt usaldusväärsemad.
Lisaks sellele, et seda kasutatakse lineaarsete võrrandikogumite uurimise kirjeldamiseks,ül altoodud terminit kasutatakse ka teatud tüüpi algebra kirjeldamiseks. Eelkõige L on väljal F rõnga struktuur, millel on kõik tavalised sisemise liitmise ja korrutamise aksioomid koos jaotusseadustega. Seetõttu annab see sellele rohkem struktuuri kui rõngas. Lineaarmaatriksalgebra lubab ka välist korrutamist skalaaridega, mis on aluseks oleva välja F elemendid. Näiteks moodustatakse kõigi vaadeldavate teisenduste hulk vektorruumist V iseendaks üle välja F. Teine näide lineaarsest algebra on kõigi reaalruutmaatriksite kogum väljal R reaalarvud.
