Logaritmid: näited ja lahendused

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Nagu teate, avaldiste astmetega korrutamisel nende eksponendid alati liidetakse (a^ba^c=a^{b+ c). Selle matemaatilise seaduse tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvunäitajate tabeli. Just nemad teenisid logaritmide edasist avastamist. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikj alt, kus on vaja kohmakas korrutamine lihtsaks liitmiseks lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtne ja juurdepääsetav keel.}

Definitsioon matemaatikas

Logaritm on järgmise kuju avaldis: log_ab=c c", millesse peate tõstma baasi "a", et lõpuks saada väärtus " b". Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log_{28. Kuidas leida vastus? See on väga lihtne, tuleb leida selline kraad, et 2-st vajaliku kraadini saad 8. Mõttes arvutusi tehes saame numbri 3! Ja see on tõsi, sest2 tõstetud astmeni 3 annab vastuse 8.}

Logaritmide variandid

Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ning meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. On kolme erinevat tüüpi logaritmilisi avaldisi:

1. Naturaalne logaritm l a, kus aluseks on Euleri arv (e=2, 7).
2. Kümnendlogaritm lg a, kus alus on arv 10.
3. Suvalise arvu b logaritm alusele a>1.

Igaüks neist on lahendatud standardsel viisil, sealhulgas lihtsustamine, taandamine ja järgnev taandamine ühele logaritmile, kasutades logaritmilisi teoreeme. Logaritmide õigete väärtuste saamiseks tuleks meeles pidada nende omadusi ja toimingute järjekorda nende lahendamisel.

Reeglid ja mõned piirangud

Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, see tähendab, et need ei ole kaubeldavad ja on tõesed. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu võtta negatiivsetest arvudest paarisjuurt. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlps alt õppida, kuidas töötada isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:

• "a" alus peab alati olema suurem kui null ja samal ajal mitte võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, sest "1" ja "0" mis tahes määral on alati võrdne nende väärtustega;
• kui > 0, siis ab>0,selgub, et ka "c" peab olema suurem kui null.

Kuidas logaritme lahendada?

Näiteks, kui on antud ülesanne leida vastus võrrandile 10^x=100. See on väga lihtne, peate valima sellise võimsuse, tõstes arvu kümme, me saada 100. See muidugi Noh, ruutvõimsus! 10^2=100.

Nüüd esitame selle avaldise logaritmilise avaldisena. Saame log_{10100=2. Logaritmide lahendamisel koonduvad kõik toimingud praktiliselt selle astme leidmisele, millele tuleb antud arvu saamiseks sisestada logaritmi alus.}

Tundmatu kraadi väärtuse täpseks määramiseks peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:

Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõtteviis ja teadmised korrutustabelist. Suuremate väärtuste jaoks on aga vaja toitetabelit. Seda saavad kasutada ka need, kes keerulistes matemaatilistes teemades üldse millestki aru ei saa. Vasakpoolne veerg sisaldab numbreid (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, millele tõstetakse arv a. Ristmikul määratlevad lahtrid vastuseks olevate numbrite väärtused (ac=b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!

Võrrandid ja ebavõrdsused

Selgub, et millalTeatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seetõttu saab logaritmilise võrrandina kirjutada mis tahes matemaatilisi arvavaldisi. Näiteks 3⁴=81 saab kirjutada logaritmina 81-st aluseni 3, mis on neli (log₃81=4). Negatiivsete kraadide puhul on reeglid samad: 2^-5=1/32, mis on kirjutatud logaritmina, saame log_{2 (1/32)=-5. Matemaatika üks põnevamaid osi on "logaritmide" teema. Vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi veidi madalamal, kohe pärast nende omaduste uurimist. Praegu vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.}

Antud on järgmine avaldis: log_{2(x-1) > 3 - see on logaritmiline ebavõrdsus, kuna tundmatu väärtus "x" on märgi all. logaritm. Avaldis võrdleb ka kahte väärtust: soovitud arvu kahe põhilogaritm on suurem kui arv kolm.}

Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et võrrandid logaritmidega (näide – logaritm₂x=√9) _{viitavad vastuses üks või mitu konkreetset arvväärtust, samas kui ebavõrdsuse lahendamisel määratakse nii selle funktsiooni vastuvõetavate väärtuste vahemik kui ka murdepunktid. Selle tulemusena ei ole vastuseks lihtne üksikute arvude kogum, nagu võrrandi vastuses, vaid pidev arvude jada või komplekt.}

Logaritmide põhiteoreemid

Primitiivsete ülesannete lahendamisel logaritmi väärtuste leidmiseks ei pruugi te selle omadusi teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Tutvume võrrandite näidetega hiljem, analüüsime esm alt iga omadust täpsem alt.

1. Põhiidentiteet näeb välja selline: alogaB=B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
2. Toote logaritmi saab esitada järgmise valemiga: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Sel juhul on kohustuslik tingimus: d, s}1 _{ja s}2 _{> 0; a≠1. Selle logaritmi valemi kohta saate esitada tõestuse näidete ja lahendusega. Laske log}a_s1 _=f1 _{ja log}a_s 2_=f2_{, siis a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Saame aru, et s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(kraadi omadused) ja edasi definitsiooni järgi: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{mis tuli tõestada.}
3. Jagatise logaritm näeb välja selline: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.
4. Valemi kujul olev teoreem on järgmisel kujul: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika toetub tavalistele postulaatidele. Vaatame tõestust.

Las log_ab=t, saame a^t=b. Kui tõstate mõlemad pooled m astmeni: a^tn=b^;

aga kuna a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, seega log}aq _bn=(nt)/t, siis logi^a_q b_n=n/q log^ab. Teoreem tõestatud.

Näited probleemidest ja ebavõrdsusest

Kõige tavalisemad logaritmiülesannete tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis ülesannete raamatutes ja need sisalduvad ka matemaatika eksamite kohustuslikes osades. Ülikooli astumiseks või matemaatika sisseastumiskatsete sooritamiseks peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.

Kahjuks pole logaritmi tundmatu väärtuse lahendamiseks ja määramiseks ühtset plaani või skeemi, kuid iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul saab rakendada teatud reegleid. Kõigepe alt tuleks välja selgitada, kas väljendit saab lihtsustada või taandada üldisele kujule. Kui kasutate nende omadusi õigesti, saate pikki logaritmilisi avaldisi lihtsustada. Saame nendega varsti tuttavaks.

Logaritmvõrrandite lahendamiseltuleb kindlaks teha, milline logaritm meil ees on: avaldise näide võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.

Siin on kümnendlogaritmide näited: ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et peate määrama, mil määral on baas 10 võrdne vastav alt 100 ja 1026-ga. Naturaallogaritmide lahenduste puhul tuleb rakendada logaritmilisi identiteete või nende omadusi. Vaatame näiteid erinevat tüüpi logaritmiülesannete lahendamisest.

Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega

Niisiis, vaatame näiteid logaritmide põhiteoreemide kasutamisest.

1. Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja arvu b suur väärtus lagundada lihtsamateks teguriteks. Näiteks log₂4 + log₂128=log₂(4128)=logi_{2512. Vastus on 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - nagu näete, õnnestus meil logaritmi astme neljanda omaduse rakendamisel esmapilgul lahendada keeruline ja lahendamatu väljend. Kõik, mida pead tegema, on arvutada baas ja seejärel võtta logaritmi märgist võimsus välja.}

Eksamiülesanded

Logaritme leidub sageli sisseastumiskatsetel, eriti palju logaritmilisi ülesandeid ühtse riigieksami puhul (riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A-osas (kõige rohkemeksami kerge testosa), aga ka C-osas (kõige raskemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab teema "Looduslikud logaritmid" täpset ja täiuslikku tundmist.

Näited ja probleemide lahendused on võetud eksami ametlikest versioonidest. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.

Antud log₂(2x-1)=4. Lahendus:

kirjutage avaldis ümber, lihtsustades seda veidi log_2(2x-1)=22^{, logaritmi definitsiooni järgi saame, et 2x-1=2}4^{, seega 2x=17; x=8, 5.}

Järgides mõningaid juhiseid, mida järgides saate hõlpsasti lahendada kõik võrrandid, mis sisaldavad avaldisi, mis on logaritmi märgi all.

• Kõik logaritmid on kõige parem taandada samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
• Kõik logaritmimärgi all olevad avaldised on märgitud positiivsetena, nii et logaritmimärgi all oleva avaldise eksponendi korrutamisel ja selle alusena peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.