On võimatu väita, et tunnete matemaatikat, kui te ei tea, kuidas joonistada graafikuid, joonistada koordinaatjoonele ebavõrdusi ega töötada koordinaattelgedega. Visuaalne komponent teaduses on ülioluline, sest ilma visuaalsete näideteta valemites ja arvutustes võite mõnikord väga segadusse sattuda. Selles artiklis näeme, kuidas töötada koordinaattelgedega ja kuidas koostada lihtsaid funktsioonigraafikuid.
Rakendus
Koordinaadijoon on aluseks kõige lihtsamatele graafikutüüpidele, mida õpilane oma haridusteel kohtab. Seda kasutatakse peaaegu igas matemaatilises teemas: kiiruse ja aja arvutamisel, objektide suuruse projitseerimisel ja nende pindala arvutamisel, trigonomeetrias siinuste ja koosinustega töötamisel.
Sellise otseliini põhiväärtus on nähtavus. Kuna matemaatika on teadus, mis nõuab kõrgel tasemel abstraktset mõtlemist, aitavad graafikud objekti kujutada reaalses maailmas. Kuidas ta käitub? Millises ruumipunktis hakkabpaar sekundit, minutit, tundi? Mida saab selle kohta teiste objektidega võrreldes öelda? Kui suur on selle kiirus juhuslikult valitud ajal? Kuidas iseloomustada tema liikumist?
Ja me räägime kiirusest põhjusega – seda kuvatakse sageli funktsioonigraafikute abil. Samuti saavad nad kuvada temperatuuri või rõhu muutusi objekti sees, selle suurust, orientatsiooni horisondi suhtes. Seega on koordinaatide sirge koostamine sageli vajalik ka füüsikas.
Ühemõõtmeline graafik
On olemas mitmemõõtmelisuse kontseptsioon. Ühemõõtmelises ruumis piisab punkti asukoha määramiseks vaid ühest numbrist. Täpselt nii on ka koordinaatjoone kasutamisega. Kui ruum on kahemõõtmeline, on vaja kahte numbrit. Seda tüüpi diagramme kasutatakse palju sagedamini ja me käsitleme neid kindlasti artiklis veidi hiljem.
Mida saab näha telje punktide abil, kui telg on ainult üks? Näete objekti suurust, selle asukohta ruumis mingi "nulli", st võrdluspunktiks valitud punkti suhtes.
Parameetrite muutumine aja jooksul ei ole nähtav, kuna kõik näidud kuvatakse ühel kindlal hetkel. Kuskilt tuleb siiski alustada! Nii et alustame.
Kuidas koostada koordinaatide telge
Esm alt peate joonistama horisontaalse joone – see on meie telg. Paremal küljel "teritage" seda nii, et see näeks välja nagu nool. Seega näitame numbrite suunasuurendama. Allasuunas noolt tavaliselt ei asetata. Traditsiooniliselt osutab telg paremale, seega järgime seda reeglit.
Seadme nullmärgi, mis kuvab koordinaatide alguspunkti. See on koht, kust loendus võetakse, olgu selleks suurus, kaal, kiirus või midagi muud. Lisaks nullile peame tingimata määrama nn jagamishinna, st võtma kasutusele ühikustandardi, mille järgi joonistame teljele teatud kogused. Seda tuleb teha koordinaatjoone lõigu pikkuse leidmiseks.
Tehke üksteisest võrdsel kaugusel joonele punktid või "sälgud" ja kirjutage nende alla vastav alt 1, 2, 3 jne. Ja nüüd on kõik valmis. Kuid sellest tuleneva ajakavaga peate ikkagi õppima, kuidas töötada.
Punktide tüübid koordinaatjoonel
Esmapilgul õpikutes pakutud joonistele saab selgeks: telje punkte saab täita või mitte täita. Kas sa arvad, et see on kokkusattumus? Üldse mitte! "Tahket" punkti kasutatakse mitterange ebavõrdsuse jaoks - see, mis loeb "suurem või võrdne". Kui peame intervalli rangelt piirama (näiteks "x" võib võtta väärtused nullist üheni, kuid ei sisalda seda), kasutame "õõnest" punkti, see on tegelikult väike ring teljel. Tuleb märkida, et õpilastele väga ei meeldi range ebavõrdsus, sest nendega on raskem töötada.
Sõltuv alt sellest, milliseid punkte teKasuta graafikul, kutsutakse välja ka ehitatud intervallid. Kui mõlema poole ebavõrdsus ei ole range, saame segmendi. Kui ühest küljest selgub, et see on "avatud", nimetatakse seda poolintervalliks. Lõpuks, kui osa sirgest on mõlem alt poolt piiratud õõnespunktidega, nimetatakse seda intervalliks.
Lennuk
Koordinaatide tasapinnale kahe sirge konstrueerimisel saame juba arvestada funktsioonide graafikutega. Oletame, et horisontaaljoon on ajatelg ja vertikaaljoon on kaugus. Ja nüüd saame kindlaks teha, millise vahemaa objekt minuti või tunni jooksul läbib. Seega võimaldab tasapinnaga töötamine jälgida objekti oleku muutumist. See on palju huvitavam kui staatilise oleku uurimine.
Kõige lihtsam graafik sellisel tasapinnal on sirgjoon, see peegeldab funktsiooni Y(X)=aX + b. Kas joon paindub? See tähendab, et objekt muudab uuringu käigus oma omadusi.
Kujutage ette, et seisate hoone katusel ja hoiate väljasirutatud käes kivi. Kui vabastate selle, lendab see alla, alustades liikumist nullkiirusest. Kuid sekundiga ületab ta 36 kilomeetrit tunnis. Kivi jätkab kiirenemist ja selle liikumise graafikule joonistamiseks peate mõõtma selle kiirust mitmel ajahetkel, määrates teljele vastavatesse kohtadesse punktid.
Märgistusi horisontaalkoordinaadi joonel nimetatakse vaikimisi X1, X2, X3 ja vertikaalsel - vastav alt Y1, Y2, Y3. projitseerimineneed tasapinnale ja leides ristumiskohti, leiame saadud mustri killud. Ühendades need ühe joonega, saame funktsiooni graafiku. Kukkuva kivi puhul näeb ruutfunktsioon välja järgmine: Y(X)=aXX + bX + c.
Skaala
Muidugi ei ole vaja sirgjoonega jagamiste kõrvale täisarvulisi väärtusi panna. Kui kaalute kiirusega 0,03 meetrit minutis roomava teo liikumist, määrake väärtusteks koordinaatmurd. Sel juhul määrake skaalajaotise väärtuseks 0,01 meetrit.
Selliseid jooniseid on eriti mugav teha puuris olevas märkmikus - siin näete kohe, kas lehel on teie diagrammi jaoks piisav alt ruumi, kui lähete veeriste kaugemale. Oma tugevust pole keeruline arvutada, sest sellise märkmiku lahtri laius on 0,5 sentimeetrit. Võttis – vähendas pilti. Diagrammi skaalal tehtud muudatused ei kaota selle omadusi ega muuda selle omadusi.
Punkti ja lõigu koordinaadid
Kui tunnis esitatakse matemaatikaülesanne, võib see sisaldada erinevate geomeetriliste kujundite parameetreid nii küljepikkuste, perimeetri, pindala kui ka koordinaatide kujul. Sel juhul peate võib-olla looma kuju ja hankima sellega seotud andmeid. Tekib küsimus: kuidas leida koordinaadijoonelt vajalikku infot? Ja kuidas luua kuju?
Näiteks räägime punktist. Seejärel ilmub ülesande tingimusesse suur täht ja sulgudes mitu numbrit, enamasti kaks (see tähendab, et loeme kahemõõtmelises ruumis). Kui sulgudes on kolm numbrit, mis on eraldatud semikooloni või komaga, siis on tegemist kolmemõõtmelise ruumiga. Iga väärtus on koordinaat vastaval teljel: kõigepe alt piki horisontaali (X), seejärel piki vertikaali (Y).
Kas mäletate, kuidas lõiku joonistada? Sa andsid selle geomeetriast edasi. Kui on kaks punkti, saab nende vahele tõmmata joone. Nende koordinaadid on näidatud sulgudes, kui ülesandes esineb segment. Näiteks: A(15, 13) - B(1, 4). Sellise joone ehitamiseks peate leidma ja märgistama punktid koordinaattasandil ning seejärel ühendama need. See on kõik!
Ja nagu teate, saab mis tahes hulknurki joonistada segmentide abil. Probleem lahendatud.
Arvutused
Oletame, et on objekt, mille asukohta piki X-telge iseloomustavad kaks numbrit: see algab punktist koordinaadiga (-3) ja lõpeb punktiga (+2). Kui tahame teada selle objekti pikkust, siis peame suuremast arvust lahutama väiksema arvu. Pange tähele, et negatiivne arv neelab lahutamise märgi, sest "miinus korda miinus võrdub plussiga." Seega liidame (2+3) ja saame 5. See on nõutav tulemus.
Veel üks näide: meile on antud objekti lõpp-punkt ja pikkus, kuid mitte alguspunkt (ja me peame selle leidma). Olgu teadaoleva punkti asukoht (6) ja uuritava objekti suurus (4). Lõppkoordinaadist pikkuse lahutades saame vastuse. Kokku: (6–4)=2.
Negatiivsed numbrid
Praktikas on sageli vaja töötada negatiivsete väärtustega. Sel juhul teemeliikuda mööda koordinaattelge vasakule. Näiteks 3 sentimeetri kõrgune objekt hõljub vees. Üks kolmandik sellest on sukeldatud vedelikku, kaks kolmandikku on õhus. Seejärel, valides teljeks veepinna, saame kõige lihtsamate aritmeetiliste arvutuste abil kaks arvu: objekti ülemisel punktil on koordinaat (+2) ja alumisel - (-1) sentimeeter.
On lihtne näha, et tasapinna puhul on meil neli neljandikku koordinaatjoonest. Igal neist on oma number. Esimeses (paremas ülaosas) on punktid, millel on kaks positiivset koordinaati, teises - vasakus ülanurgas - on X-telje väärtused negatiivsed ja Y-telje väärtused on positiivsed. Kolmandat ja neljandat loendatakse edasi vastupäeva.
Oluline omadus
Te teate, et joont saab esitada lõpmatu arvu punktidena. Saame vaadata nii hoolik alt kui tahame suvalist arvu väärtusi igas telje suunas, kuid me ei kohta korduvaid väärtusi. See tundub naiivne ja arusaadav, kuid see väide tuleneb olulisest tõsiasjast: iga arv vastab koordinaatjoone ühele ja ainult ühele punktile.
Järeldus
Pidage meeles, et kõik teljed, kujundid ja võimalusel graafika peavad olema ehitatud joonlauale. Mõõtühikuid ei leiutanud inimene juhuslikult – kui teete joonistamisel vea, on oht, et näete teistsugust pilti, kui oleks pidanud.
Olge joonistamisel ja arvutustes ettevaatlik ja täpne. Nagu iga koolis õpitud teadus, armastab matemaatika täpsust. Näha natuke vaeva ja heahinnangud ei lase kaua oodata.
