Matemaatika on üsna keeruline teadus. Seda uurides ei pea mitte ainult näiteid ja probleeme lahendama, vaid ka töötama erinevate figuuride ja isegi tasapindadega. Üks matemaatikas enim kasutatavaid on koordinaatide süsteem tasapinnal. Lapsi on õpetatud sellega õigesti töötama üle ühe aasta. Seetõttu on oluline teada, mis see on ja kuidas sellega õigesti töötada.
Mõtleme välja, mis see süsteem on, milliseid toiminguid saate sellega teha, ning uurime välja ka selle peamised omadused ja omadused.
Mõtete määratlus
Koordinaaditasand on tasapind, millele on seatud kindel koordinaatsüsteem. Selline tasapind on määratletud kahe sirgjoonega, mis ristuvad täisnurga all. Nende sirgete lõikepunkt on koordinaatide alguspunkt. Iga punkt koordinaattasandil on antud arvupaariga, mida nimetatakse koordinaatideks.
Koolimatemaatika kursusel peavad koolilapsed tegema koordinaatide süsteemiga üsna tihedat koostööd – ehitama sellele kujundeid ja punkte, määrama, millisedüks või teine koordinaat kuulub tasapinnale, samuti punkti koordinaatide määramiseks ja nende kirjutamiseks või nimetamiseks. Seetõttu räägime üksikasjalikum alt kõigist koordinaatide omadustest. Kuid kõigepe alt puudutame loomise ajalugu ja seejärel räägime sellest, kuidas töötada koordinaattasandil.
Ajalooline taust
Ideed koordinaatsüsteemi loomise kohta olid Ptolemaiose päevil. Juba siis mõtlesid astronoomid ja matemaatikud, kuidas õppida tasapinnal punkti asukohta määrama. Kahjuks ei olnud sel ajal meile teadaolevat koordinaatsüsteemi ja teadlased pidid kasutama muid süsteeme.
Esialgu määravad nad punktid laius- ja pikkuskraadide abil. Pikka aega oli see üks enim kasutatud viise selle või teise teabe kaardistamiseks. Kuid 1637. aastal lõi Rene Descartes oma koordinaatide süsteemi, mida hiljem suure matemaatiku auks nimetati "kartesiaaniks".
Pärast teose "Geomeetria" avaldamist pälvis Rene Descartes'i koordinaatsüsteem teadusringkondades tunnustuse.
Juba 17. sajandi lõpus. matemaatikamaailmas on lai alt levinud mõiste "koordinaattasand". Vaatamata sellele, et selle süsteemi loomisest on möödunud mitu sajandit, kasutatakse seda matemaatikas ja isegi elus endiselt laialdaselt.
Koordinaaditasandi näited
Enne kui räägime teooriast, toome mõned illustreerivad näited koordinaattasandist, et saaksite seda ette kujutada. Koordinaatsüsteemi kasutatakse peamiselt males. Tahvlil on igal ruudul oma koordinaadid - üks täht koordinaat, teine - digitaalne. Selle abil saate määrata konkreetse nupu asukoha laual.
Teine kõige markantsem näide on armastatud mäng "Battleship". Pidage meeles, kuidas mängides nimetate koordinaadi, näiteks B3, näidates nii täpselt, kuhu sihite. Samal ajal määrate laevade paigutamisel punktid koordinaattasandil.
Seda koordinaatide süsteemi kasutatakse laialdaselt mitte ainult matemaatikas, loogikamängudes, vaid ka sõjanduses, astronoomias, füüsikas ja paljudes teistes teadustes.
Koordinaatide teljed
Nagu juba mainitud, on koordinaatsüsteemis kaks telge. Räägime neist veidi, kuna neil on suur tähtsus.
Esimene telg – abstsiss – on horisontaalne. Seda tähistatakse kui (Ox). Teine telg on y-telg, mis läbib võrdluspunkti vertikaalselt ja on tähistatud kui (Oy). Just need kaks telge moodustavad koordinaatsüsteemi, jagades tasapinna neljaks veerandiks. Algpunkt asub nende kahe telje lõikepunktis ja saab väärtuseks 0. Ainult siis, kui tasapinna moodustavad kaks risti ristuvat telge, millel on võrdluspunkt, on see koordinaattasapind.
Pange tähele, et igal teljel on oma suund. Tavaliselt on koordinaatsüsteemi koostamisel tavaks näidata telje suunda noole kujul. Lisaks märgitakse koordinaattasandi konstrueerimisel iga telg.
Kvartalid
Ütleme nüüd paar sõna sellise kontseptsiooni kohta nagu koordinaattasandi veerandid. Tasapind on jagatud kahe teljega neljaks veerandiks. Igal neist on oma number, samas kui tasandite nummerdamine on vastupäeva.
Igal kvartalil on oma eripärad. Niisiis, esimesel veerandil on abstsiss ja ordinaat positiivsed, teisel veerandil on abstsisstell negatiivsed, ordinaat on positiivsed, kolmandal on nii abstsiss kui ka ordinaat negatiivsed, neljandas on abstsiss positiivne ja ordinaat on negatiivne.
Neid funktsioone meeles pidades saate hõlps alt kindlaks teha, millisesse kvartalisse see või teine punkt kuulub. Lisaks võib see teave olla teile kasulik, kui peate tegema arvutusi Descartes'i süsteemi abil.
Koordinaatide tasapinnaga töötamine
Kui me mõtlesime välja lennuki mõiste ja rääkisime selle veeranditest, saame liikuda edasi sellise probleemi juurde nagu selle süsteemiga töötamine ja rääkida ka sellest, kuidas sellele punkte, kujundite koordinaate panna. Koordinaattasandil pole see nii keeruline, kui esmapilgul võib tunduda.
Esiteks on süsteem ise üles ehitatud, kõik olulised tähised on sellele kantud. Siis on töö otse punktide või kujunditega. Sel juhul kantakse isegi kujundite koostamisel punktid esm alt tasapinnale ja siis juba joonistatakse kujundid.
Järgmisena räägime lähem alt süsteemi loomisest ning punktide ja kujundite otsesest rakendamisest.
Reeglidlennuki ehitus
Kui otsustate hakata kujundeid ja punkte paberile märkima, vajate koordinaattasandit. Sellele kantakse punktide koordinaadid. Koordinaatide tasapinna koostamiseks on vaja ainult joonlauda ja pliiatsit või pliiatsit. Esiteks joonistatakse horisontaalne abstsiss, seejärel vertikaalne - ordinaat. Oluline on meeles pidada, et teljed lõikuvad täisnurga all.
Lisaks märkige igal teljel suund ja allkirjastage need, kasutades üldtunnustatud tähistusi x ja y. Telgede lõikepunkt on samuti tähistatud ja allkirjastatud numbriga 0.
Järgmine kohustuslik element on märgistus. Mõõtühikud-segmendid märgitakse ja märgitakse mõlemale teljele mõlemas suunas. Seda tehakse selleks, et saaksite lennukiga maksimaalselt mugav alt töötada.
Punkti märkimine
Räägime nüüd sellest, kuidas joonistada punktide koordinaate koordinaattasandil. Need on põhitõed, mida pead teadma erinevate kujundite tasapinnale edukaks paigutamiseks ja isegi võrrandite märgistamiseks.
Punktide joonistamisel pidage meeles, kuidas nende koordinaadid on õigesti kirjutatud. Seega kirjutatakse tavaliselt punkti määramisel sulgudesse kaks numbrit. Esimene number tähistab punkti koordinaati piki abstsisstellge, teine - piki ordinaattelge.
Ehitage punkt sel viisil. Esm alt märgi Ox-teljel antud punkt, seejärel märgi punkt Oy-teljel. Järgmiseks tõmmake nendest tähistest kujuteldavad jooned ja leidke nende ristumiskoht – see on antud punkt.
Te peate selle lihts alt märkima ja allkirjastama. Nagu näete, on kõik üsna lihtne ega vaja erilisi oskusi.
Paigutage kujund
Nüüd liigume edasi sellise küsimuse juurde nagu kujundite konstrueerimine koordinaattasandil. Koordinaatide tasapinnale mis tahes kujundi koostamiseks peaksite teadma, kuidas sellele punkte paigutada. Kui tead, kuidas seda teha, pole figuuri tasapinnale asetamine nii keeruline.
Kõigepe alt vajate kujundi punktide koordinaate. Nende peal rakendame teie valitud geomeetrilisi kujundeid meie koordinaatsüsteemis. Kaaluge ristküliku, kolmnurga ja ringi joonistamist.
Alustame ristkülikuga. Selle rakendamine on üsna lihtne. Esiteks kantakse tasapinnale neli punkti, mis tähistavad ristküliku nurki. Seejärel ühendatakse kõik punktid üksteisega järjestikku.
Kolmnurga joonistamine pole erinev. Ainus asi on see, et sellel on kolm nurka, mis tähendab, et tasapinnale kantakse kolm punkti, mis tähistavad selle tippe.
Seoses ringiga, siin peaksite teadma kahe punkti koordinaate. Esimene punkt on ringi keskpunkt, teine punkt, mis tähistab selle raadiust. Need kaks punkti on kantud tasapinnale. Seejärel võetakse kompass, mõõdetakse kahe punkti vaheline kaugus. Kompassi punkt asetatakse keskpunkti tähistavasse punkti ja kirjeldatakse ringi.
Nagu näete, pole ka siin midagi keerulist, peaasi, et joonlaud ja sirkel oleks alati käepärast.
Nüüd teate, kuidas joonistada kuju koordinaate. Koordinaatide tasapinnal pole seda nii raske teha, kui esmapilgul võib tunduda.
Järeldused
Nii, oleme teiega käsitlenud üht kõige huvitavamat ja põhilisemat matemaatika mõistet, millega iga õpilane peab tegelema.
Saime teada, et koordinaattasand on kahe telje lõikepunktist moodustunud tasapind. Selle abil saate määrata punktide koordinaate, panna sellele kujundeid. Lennuk on jagatud neljandikku, millest igaühel on oma omadused.
Peamine oskus, mida tuleks koordinaattasandiga töötamisel arendada, on oskus sellele antud punkte õigesti joonistada. Selleks peaksite teadma telgede õiget asukohta, veerandite omadusi, samuti reegleid, mille järgi punktide koordinaadid määratakse.
Loodame, et meie esitatud teave oli juurdepääsetav ja arusaadav ning ka teile kasulik ning aitas seda teemat paremini mõista.
