Lennuk kosmoses. Lennukite paiknemine ruumis

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2024-01-02 17:45

Tasand on geomeetriline objekt, mille omadusi kasutatakse punktide ja sirgete projektsioonide koostamisel, samuti ruumiliste kujundite elementide vaheliste kauguste ja kahetahuliste nurkade arvutamisel. Vaatleme selles artiklis, milliseid võrrandeid saab kasutada tasandite asukoha uurimiseks ruumis.

Lennuki määratlus

Igaüks kujutab intuitiivselt ette, millist objekti arutatakse. Geomeetrilisest vaatenurgast on tasapind punktide kogum, mille vahelised vektorid peavad olema risti mingi ühe vektoriga. Näiteks kui ruumis on m erinevat punkti, siis saab neist teha m(m-1) / 2 erinevat vektorit, mis ühendavad punktid paarikaupa. Kui kõik vektorid on risti mingi ühe suunaga, siis on see piisav tingimus, et kõik punktid m kuuluksid samale tasapinnale.

Üldvõrrand

Ruumigeomeetrias kirjeldatakse tasapinda võrrandite abil, mis tavaliselt sisaldavad kolme tundmatut koordinaati, mis vastavad x-, y- ja z-telgedele. Tosaada üldvõrrand ruumi tasapinnalistes koordinaatides, oletame, et on olemas vektor n¯(A; B; C) ja punkt M(x₀; y₀; z_{0). Neid kahte objekti kasutades saab tasapinna üheselt määratleda.}

Tõepoolest, oletame, et on mõni teine punkt P(x; y; z), mille koordinaadid on teadmata. Vastav alt ül altoodud definitsioonile peab vektor MP¯ olema n¯-ga risti, see tähendab, et nende skalaarkorrutis on võrdne nulliga. Seejärel saame kirjutada järgmise avaldise:

(n¯MP¯)=0 või

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Sulud avades ja uue koefitsiendi D sisestamisel saame avaldise:

Ax + By + Cz + D=0 kus D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Seda avaldist nimetatakse tasandi üldvõrrandiks. Oluline on meeles pidada, et x, y ja z ees olevad koefitsiendid moodustavad tasapinnaga risti oleva vektori n¯(A; B; C) koordinaadid. See langeb kokku tavalisega ja on lennuki juhiseks. Üldvõrrandi määramiseks pole vahet, kuhu see vektor on suunatud. See tähendab, et vektoritele n¯ ja -n¯ ehitatud tasapinnad on samad.

Ül altoodud joonisel on kujutatud tasapind, selle suhtes normaalne vektor ja tasapinnaga risti asetsev joon.

Telgede tasapinna ja vastava võrrandi poolt ära lõigatud lõigud

Üldvõrrand võimaldab määrata lihtsaid matemaatilisi tehteidmillistes punktides lõikub tasapind koordinaattelgedega. Seda teavet on oluline teada, et saada ettekujutus tasapinna asukohast ruumis, samuti selle kujutamisel joonistel.

Nimetatud lõikepunktide määramiseks kasutatakse lõikudes võrrandit. Seda nimetatakse seetõttu, et see sisaldab selgesõnaliselt koordinaattelgedel tasapinna poolt ära lõigatud segmentide pikkuste väärtusi punktist (0; 0; 0) loendamisel. Võtame selle võrrandi.

Kirjutage tasapinna üldavaldis järgmiselt:

Ax + By + Cz=-D

Vasakpoolse ja parema osa saab võrdsust rikkumata jagada tähega -D. Meil on:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 või

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Kujundage iga termini nimetajad uue sümboliga, saame:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C, seejärel

x/p + y/q + z/r=1

See on ülalpool segmentides mainitud võrrand. Sellest järeldub, et iga liikme nimetaja väärtus näitab lõikumiskoha koordinaati tasandi vastava teljega. Näiteks lõikub y-teljega punktis (0; q; 0). Seda on lihtne mõista, kui asendate võrrandis koordinaadid nulli x ja z.

Pange tähele, et kui lõikudes võrrandis muutujat pole, tähendab see, et tasapind ei ristu vastava teljega. Näiteks võttes arvesse avaldist:

x/p + y/q=1

See tähendab, et tasapind lõikab lõiked p ja q vastav alt x- ja y-teljel, kuid see on paralleelne z-teljega.

Järeldus lennuki käitumise kohta, kuimõne muutuja puudumine tema võrrandis kehtib ka üldtüüpi avaldise puhul, nagu on näidatud alloleval joonisel.

Vektori parameetriline võrrand

On olemas kolmandat tüüpi võrrand, mis võimaldab kirjeldada tasandit ruumis. Seda nimetatakse parameetriliseks vektoriks, kuna selle annavad kaks tasapinnal asuvat vektorit ja kaks parameetrit, mis võivad võtta suvalisi sõltumatuid väärtusi. Näitame, kuidas seda võrrandit saada.

Oletame, et on paar teadaolevat vektorit u ¯(a₁; b₁; c₁) ja v¯(a₂; b₂; c₂). Kui need ei ole paralleelsed, saab neid kasutada kindla tasandi seadmiseks, fikseerides ühe nendest vektoritest alguse tuntud punktis M(x₀; y₀; z_{0). Kui suvalist vektorit MP¯ saab esitada lineaarvektorite u¯ ja v¯ kombinatsioonina, siis see tähendab, et punkt P(x; y; z) kuulub samale tasapinnale kui u¯, v¯. Seega võime kirjutada võrdsuse:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Või kirjutades selle võrdsuse koordinaatidena, saame:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Esitatav võrdsus on tasandi parameetriline vektorvõrrand. ATvektorruumi tasapinnal u¯ ja v¯ nimetatakse generaatoriteks.

Järgmiseks ülesande lahendamisel näidatakse, kuidas saab selle võrrandi taandada tasapinna üldkujuks.

Tasapindadevaheline nurk ruumis

Intuitiivselt võivad 3D-ruumi tasapinnad ristuda või mitte. Esimesel juhul on huvitav leida nendevaheline nurk. Selle nurga arvutamine on keerulisem kui joontevahelise nurga arvutamine, kuna me räägime kahetahulisest geomeetrilisest objektist. Appi tuleb aga juba mainitud lennuki juhtvektor.

Gomeetriliselt on kindlaks tehtud, et kahe risuva tasandi vaheline kahetahuline nurk on täpselt võrdne nende juhtvektorite vahelise nurgaga. Tähistame need vektorid kui n¯(a₁; b₁; c_{1) ja n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Nendevahelise nurga koosinus määratakse skalaarkorrutise põhjal. See tähendab, et nurga enda tasapindadevahelises ruumis saab arvutada järgmise valemiga:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Siin kasutatakse nimetaja moodulit nürinurga väärtuse kõrvalejätmiseks (ristuvate tasandite vahel on see alati väiksem või võrdne 90o).

Koordinaatide kujul saab selle avaldise ümber kirjutada järgmiselt:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Tasapinnad risti ja paralleelsed

Kui tasapinnad lõikuvad ja nende poolt moodustatud kahetahuline nurk on 90o, siis on need risti. Selliste tasapindade näide on ristkülikukujuline prisma või kuup. Need kujundid on moodustatud kuuest tasapinnast. Nimetatud kujundite igas tipus on kolm üksteisega risti olevat tasapinda.

Selleks, et teada saada, kas vaadeldavad tasandid on risti, piisab nende normaalvektorite skalaarkorrutise arvutamisest. Tasapindade ruumi perpendikulaarsuse piisav tingimus on selle korrutise nullväärtus.

Paralleelseid nimetatakse mittelõikuvateks tasapindadeks. Mõnikord öeldakse ka, et paralleelsed tasandid lõikuvad lõpmatuses. Tasapindade ruumi paralleelsuse tingimus langeb kokku selle tingimusega suunavektorite n₁¯ ja n_{2¯ jaoks. Saate seda kontrollida kahel viisil:}

Arvutage skalaarkorrutise abil kahetahulise nurga koosinus (cos(φ)). Kui tasapinnad on paralleelsed, on väärtus 1.

Proovige esitada üht vektorit teise kaudu, korrutades mõne arvuga, st n₁¯=kn_{2¯. Kui seda saab teha, siis vastavad tasapinnad onparalleelselt.}

Joonis näitab kahte paralleelset tasapinda.

Nüüd toome näiteid kahe huvitava ülesande lahendamisest, kasutades saadud matemaatilisi teadmisi.

Kuidas saada vektorvõrrandist üldkuju?

See on tasapinna parameetriline vektoravaldis. Tehtevoo ja kasutatavate matemaatiliste nippide mõistmise hõlbustamiseks vaadake konkreetset näidet:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Laienda seda avaldist ja väljenda tundmatuid parameetreid:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Siis:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Avades viimase avaldise sulgud, saame:

z=2x-2 + 3y - 6 või

2x + 3y - z - 8=0

Saime ülesande avalduses määratud tasandi võrrandi üldkuju vektorkujul

Kuidas ehitada tasapinda läbi kolme punkti?

Võimalik on joonistada üks tasapind läbi kolme punkti, kui need punktid ei kuulu mõnele üksikule sirgele. Selle probleemi lahendamise algoritm koosneb järgmisest toimingute jadast: