Matemaatikaõpetajat kuulates võtab enamik õpilasi materjali aksioomina. Samal ajal püüavad vähesed jõuda põhja ja aru saada, miks plussis olev miinus annab miinusmärgi ja kahe negatiivse arvu korrutamisel tuleb see positiivne.
Matemaatika seadused
Enamik täiskasvanuid ei suuda endale ega oma lastele selgitada, miks see nii juhtub. Nad olid koolis selle materjali põhjalikult omaks võtnud, kuid nad isegi ei püüdnud uurida, kust sellised reeglid pärit on. Aga asjata. Tihti pole tänapäeva lapsed nii kergeusklikud, nad peavad jõudma asja põhja ja mõistma näiteks, miks “pluss” “miinusel” annab “miinuse”. Ja mõnikord küsivad poisid tahtlikult keerulisi küsimusi, et nautida hetke, mil täiskasvanud ei suuda arusaadavat vastust anda. Ja see on tõesti katastroof, kui noor õpetaja sassi läheb…
Muide, tuleb märkida, et eelpool mainitud reegel kehtib nii korrutamisel kui ka jagamisel. Negatiivse ja positiivse arvu korrutis annab ainult miinuse. Kui me räägime kahest numbrist, millel on märk “-”, on tulemuseks positiivne arv. Sama kehtib ka jagamise kohta. Kui aüks arvudest on negatiivne, siis on jagatis ka "-" märgiga.
Selle matemaatikaseaduse õigsuse selgitamiseks on vaja sõnastada rõnga aksioomid. Kuid kõigepe alt peate mõistma, mis see on. Matemaatikas on tavaks nimetada rõngaks hulka, milles osaleb kaks tehtet kahe elemendiga. Kuid parem on käsitleda seda näitega.
Sõrmuse aksioom
Matemaatilisi seadusi on mitu.
- Esimene on kommutatiivne, tema sõnul C + V=V + C.
- Teist nimetatakse assotsiatiivseks (V + C) + D=V + (C + D).
Nad järgivad ka korrutamist (V x C) x D=V x (C x D).
Keegi pole tühistanud reegleid, mille järgi sulgud avatakse (V + C) x D=V x D + C x D, tõsi on ka see, et C x (V + D)=C x V + C x D.
Lisaks on kindlaks tehtud, et rõngasse saab sisestada spetsiaalse, liitmise mõttes neutraalse elemendi, mida kasutades on tõene: C + 0=C. Lisaks on iga C kohta on vastandelement, mida saab tähistada kui (-C). Sel juhul C + (-C)=0.
Negatiivsete arvude aksioomide tuletamine
Nõustudes ül altoodud väidetega, saame vastata küsimusele: Millise märgi ""Pluss" kuni "miinus" annab? Teades aksioomi negatiivsete arvude korrutamise kohta, on vaja kinnitada, et tõepoolest (-C) x V=-(C x V). Ja ka see, et järgmine võrdsus on tõene: (-(-C))=C.
Selleks peame esm alt tõestama, et igal elemendil on ainult üksvastas vend. Vaatleme järgmist tõestusnäidet. Proovime ette kujutada, et C - V ja D jaoks on kaks arvu vastandlikud. Sellest järeldub, et C + V=0 ja C + D=0, st C + V=0=C + D. Nihkeseaduste meelespidamine ja arvu 0 omaduste kohta saame arvestada kõigi kolme arvu summaga: C, V ja D. Proovime välja selgitada V väärtuse. On loogiline, et V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, kuna C + D väärtus, nagu eespool aktsepteeriti, võrdub 0-ga. Seega V=V + C + D.
D väärtus tuletatakse täpselt samal viisil: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Selle põhjal selgub, et V=D.
Selleks, et mõista, miks "pluss" miinusel annab "miinuse", peate mõistma järgmist. Seega on elemendi (-C) vastandid C ja (-(-C)), see tähendab, et nad on üksteisega võrdsed.
Siis on ilmne, et 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. Sellest järeldub, et C x V on (-)C x vastand. V, seega (-C) x V=-(C x V).
Täieliku matemaatilise ranguse jaoks on vaja ka kinnitada, et 0 x V=0 mis tahes elemendi puhul. Kui järgite loogikat, siis 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. See tähendab, et korrutise 0 x V lisamine ei muuda määratud summat kuidagi. Lõppude lõpuks on see toode võrdne nulliga.
Kõiki neid aksioome teades saate järeldada mitte ainult seda, kui palju "pluss" ja "miinus" annab, vaid ka seda, mis juhtub negatiivsete arvude korrutamisel.
Kahe arvu korrutamine ja jagamine märgiga "-"
Kui te ei süvene matemaatikassenüansse, võite proovida negatiivsete arvudega tehtereegleid lihtsam alt selgitada.
Oletame, et C - (-V)=D, seega C=D + (-V), st C=D - V. Viige üle V ja saate C + V=D. See tähendab, C + V=C- (-V). See näide selgitab, miks avaldises, kus on kaks "miinust" järjest, tuleks nimetatud märgid muuta "plussiks". Nüüd tegeleme korrutamisega.
(-C) x (-V)=D, saate avaldisele liita ja lahutada kaks identset korrutist, mis ei muuda selle väärtust: (-C) x (-V) + (C x V)) - (C x V)=D.
Sulgudega töötamise reegleid meeles pidades saame:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Sellest järeldub, et C x V=(-C) x (-V).
Samamoodi võime tõestada, et kahe negatiivse arvu jagamisel saadakse positiivne.
Üldised matemaatikareeglid
Loomulikult ei sobi see selgitus põhikooliõpilastele, kes alles hakkavad õppima abstraktseid negatiivseid numbreid. Parem on neil seletada nähtavatel objektidel, manipuleerides tuttava terminiga läbi vaateklaasi. Näiteks asuvad seal väljamõeldud, kuid mitte olemasolevad mänguasjad. Neid saab kuvada "-" märgiga. Kahe klaasist objekti korrutamine kannab need teise maailma, mis on võrdsustatud olevikuga, see tähendab, et selle tulemusena on meil positiivsed arvud. Kuid abstraktse negatiivse arvu korrutamine positiivsega annab ainult kõigile tuttava tulemuse. Sest "pluss"korrutamine "miinusega" annab "miinus". Tõsi, algkoolieas ei püüa lapsed tegelikult kõikidesse matemaatilisse nüanssidesse süveneda.
Kuigi tõele näkku vaadates jäävad paljud reeglid isegi kõrgharidusega inimeste jaoks saladuseks. Igaüks peab iseenesestmõistetavaks seda, mida õpetajad neile õpetavad, mitte süüvida matemaatika keerukusesse. "Miinus" "miinusel" annab "plussi" - kõik teavad seda eranditult. See kehtib nii täisarvude kui ka murdarvude kohta.
