Planimeetria on geomeetria haru, mis uurib tasapinnaliste kujundite omadusi. Nende hulka kuuluvad mitte ainult tuntud kolmnurgad, ruudud, ristkülikud, vaid ka sirgjooned ja nurgad. Planimeetrias on ka selliseid mõisteid nagu nurgad ringis: kesk- ja sissekirjutatud. Aga mida need tähendavad?
Mis on kesknurk?
Et mõista, mis on kesknurk, peate määratlema ringi. Ringjoon on kõigi antud punktist (ringi keskpunktist) võrdsel kaugusel asuvate punktide kogum.
On väga oluline eristada seda ringist. Tuleb meeles pidada, et ring on suletud joon ja ring on osa sellega piiratud tasapinnast. Ringi saab kirjutada hulknurga või nurga.
Kesknurk on nurk, mille tipp langeb kokku ringi keskpunktiga ja mille küljed lõikavad ringi kahes punktis. Kaart, mida nurk piirab lõikepunktidega, nimetatakse kaareks, millel antud nurk toetub.
Võtke näidet 1.
Pildil on nurk AOB keskne, kuna nurga tipp ja ringi keskpunkt on üks punkt O. See toetub kaarele AB, mis ei sisalda punkti C.
Kuidas sisse kirjutatud nurk erineb kesknurgast?
Samas on peale keskmiste ka sissekirjutatud nurgad. Mis on nende erinevus? Täpselt nagu keskne, toetub ringi sisse kirjutatud nurk teatud kaarele. Kuid selle tipp ei lange kokku ringi keskpunktiga, vaid asub sellel.
Võtame järgmise näite.
Nurka ACB nimetatakse nurgaks, mis on kirjutatud ringi, mille keskpunkt on punkt O. Punkt C kuulub ringile, st asub sellel. Nurk toetub kaarele AB.
Mis on kesknurk
Selleks, et geomeetriaprobleemidega eduk alt toime tulla, ei piisa sissekirjutatud ja kesknurkade eristamise oskusest. Reeglina peate nende lahendamiseks teadma täpselt, kuidas leida ringi kesknurka, ja oskama arvutada selle väärtust kraadides.
Seega on kesknurk võrdne kaare astmega, millele see toetub.
Pildil toetub nurk AOB kaarele AB, mis on võrdne 66°. Seega on nurk AOB samuti võrdne 66°.
Seega on võrdsetel kaartel põhinevad kesknurgad võrdsed.
Joonisel on kaar DC võrdne kaarega AB. Seega on nurk AOB võrdne nurgaga DOC.
Kuidas leida sisse kirjutatud nurka
Võib tunduda, et ringi sisse kirjutatud nurk on võrdne kesknurgaga,mis toetub samale kaarele. See on aga ränk viga. Tegelikult näete isegi lihts alt joonist vaadates ja neid nurki üksteisega võrreldes, et nende kraadimõõtudel on erinevad väärtused. Mis on siis ringi sisse kirjutatud nurk?
Sisse kantud nurga kraadimõõt on pool kaarest, millele see toetub, või pool kesknurgast, kui need toetuvad samale kaarele.
Vaatleme näidet. Nurk ACB põhineb kaarel, mis on võrdne 66°.
Nii et nurk DIA=66°: 2=33°
Mõtleme selle teoreemi mõningaid tagajärgi.
- Sissekirjutatud nurgad, kui need põhinevad samal kaarel, kõõlul või võrdsetel kaartel, on võrdsed.
- Kui sisse kirjutatud nurgad põhinevad samal kõõlul, kuid nende tipud asuvad selle vastaskülgedel, on selliste nurkade astmemõõtude summa 180°, kuna sel juhul põhinevad mõlemad nurgad kaartel, mille kogu kraadimõõt on 360 ° (terve ring), 360 °: 2=180 °
- Kui sisse kirjutatud nurk põhineb antud ringi läbimõõdul, on selle astme mõõt 90°, kuna läbimõõt moodustab kaare, mis võrdub 180°, 180°: 2=90°
- Kui ringjoone kesknurk ja sisse kirjutatud nurk põhinevad samal kaarel või kõõlul, siis võrdub sisse kirjutatud nurk poolega kesknurgast.
Kust võib sellel teemal probleeme leida? Nende tüübid ja lahendused
Kuna ring ja selle omadused on geomeetria, eriti planimeetria, üks olulisemaid sektsioone, on ringi sisse kirjutatud ja kesknurgad teema, mis on lai alt ja üksikasjalikult käsitletavõppis kooli õppekavas. Nende omadustele pühendatud ülesanded leiate peamisest riigieksamist (OGE) ja ühtsest riigieksamist (USE). Reeglina tuleks nende ülesannete lahendamiseks leida ringil olevad nurgad kraadides.
Sama kaarel põhinevad nurgad
Seda tüüpi ülesanded on võib-olla üks lihtsamaid, kuna selle lahendamiseks on vaja teada ainult kahte lihtsat omadust: kui mõlemad nurgad on sisse kirjutatud ja toetuvad samale kõõlule, on need võrdsed, kui üks neist on keskne, siis on vastav sisse kirjutatud nurk võrdne poolega sellest. Nende lahendamisel tuleb aga olla äärmiselt ettevaatlik: mõnikord on seda omadust raske märgata ning õpilased satuvad nii lihtsate ülesannete lahendamisel ummikusse. Vaatleme näidet.
Probleem 1
Antud ringi, mille keskpunkt on punkt O. Nurk AOB on 54°. Leidke nurga DIA kraadimõõt.
See ülesanne lahendatakse ühe sammuga. Ainus, mida vajate, et sellele kiiresti vastust leida, on märgata, et kaar, millel mõlemad nurgad toetuvad, on ühine. Seda nähes saate rakendada juba tuttavat omadust. Nurk ACB on pool nurgast AOB. Nii et
1) AOB=54°: 2=27°.
Vastus: 54°.
Nurgad, mis põhinevad sama ringi erinevatel kaaretel
Mõnikord ei ole ülesande tingimustes otseselt määratud kaare suurus, millel nõutav nurk toetub. Selle arvutamiseks peate analüüsima nende nurkade suurust ja võrdlema neid ringi teadaolevate omadustega.
Probleem 2
Ringjoonel, mille keskpunkt on O, nurk AOCon 120° ja nurk AOB on 30°. Leidke nurk SINA.
Alustuseks tasub öelda, et seda ülesannet on võimalik lahendada võrdhaarsete kolmnurkade omadusi kasutades, kuid selleks on vaja rohkem matemaatilisi tehteid. Seetõttu analüüsime siin lahendust, kasutades ringi kesk- ja sissekirjutatud nurkade omadusi.
Niisiis, nurk AOC toetub kaarele AC ja on keskne, mis tähendab, et kaar AC on võrdne nurgaga AOC.
AC=120°
Samamoodi toetub nurk AOB kaarele AB.
AB=30°.
Seda ja kogu ringi astmemõõtu (360°) teades saate hõlpsasti leida kaare eKr suuruse.
BC=360° – AC – AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Nurga CAB tipp, punkt A, asub ringjoonel. Seega on nurk CAB sisse kirjutatud ja võrdne poolega kaarest CB.
CAB nurk=210°: 2=110°
Vastus: 110°
Kaaresuhetel põhinevad probleemid
Mõned ülesanded ei sisalda üldse andmeid nurkade kohta, seega tuleb neid otsida ainult teadaolevate teoreemide ja ringi omaduste põhjal.
Probleem 1
Leia nurk, mis on kirjutatud ringile, mida toetab antud ringjoone raadiusega võrdne kõõl.
Kui joonistate mõttes jooned, mis ühendavad lõigu otsad ringi keskpunktiga, saate kolmnurga. Olles seda uurinud, näete, et need sirged on ringi raadiused, mis tähendab, et kolmnurga kõik küljed on võrdsed. Teame, et võrdkülgse kolmnurga kõik nurgadon 60°. Seega on kaar AB, mis sisaldab kolmnurga tippu, 60°. Siit leiame kaare AB, millel põhineb soovitud nurk.
AB=360° - 60°=300°
Nurk ABC=300°: 2=150°
Vastus: 150°
Probleem 2
Ringjoonel, mille keskpunkt on Punktis O, on kaared seotud 3:7. Leidke väiksem sisse kirjutatud nurk.
Lahenduse jaoks tähistame ühte osa X-ga, siis üks kaar võrdub 3X ja teine vastav alt 7X. Teades, et ringi astmemõõt on 360°, saame kirjutada võrrandi.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Vastav alt tingimusele tuleb leida väiksem nurk. Ilmselgelt, kui nurga väärtus on otseselt võrdeline kaarega, millele see toetub, vastab nõutav (väiksem) nurk kaarele, mis on võrdne 3X.
Nii et väiksem nurk on (36°3): 2=108°: 2=54°
Vastus: 54°
Probleem 3
Ringjoonel, mille keskpunkt on Punktis O, on nurk AOB 60° ja väiksema kaare pikkus 50. Arvutage suurema kaare pikkus.
Suurema kaare pikkuse arvutamiseks tuleb teha proportsioon – kuidas on väiksem kaar seotud suuremaga. Selleks arvutame mõlema kaare suuruse kraadides. Väiksem kaar on võrdne sellele toetuva nurgaga. Selle kraadimõõt on 60°. Suurem kaar on võrdne ringi astmemõõte (see võrdub 360°, sõltumata muudest andmetest) ja väiksema kaare vahega.
Suur kaar on 360° – 60°=300°.
Kuna 300°: 60°=5, on suurem kaar 5 korda väiksem kui.
Suur kaar=505=250
Vastus: 250
Nii, loomulikult on ka teisilähenemisviise sarnaste probleemide lahendamiseks, kuid kõik need põhinevad kuidagi kesk- ja sissekirjutatud nurkade, kolmnurkade ja ringide omadustel. Nende edukaks lahendamiseks peate hoolik alt uurima joonist ja võrdlema seda ülesande andmetega, samuti suutma oma teoreetilisi teadmisi praktikas rakendada.
